Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. Kosztyán Zsolt Tibor 1.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. Kosztyán Zsolt Tibor 1."— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. Kosztyán Zsolt Tibor 1.

2 A Kvantitatív módszerek c. tárgy célja Oktatási cél: A hallgatók megismerjék a legfontosabb mennyiségi módszereket, melyeket mind a termelésirányításban, mind a projektek, mind pedig a logisztika területén hatékonyan tudnak alkalmazni. Ezenkívül a hallgatók ismerkedjenek meg a legfontosabb statisztikai módszerekkel.

3 Tantárgyi tematika 1. hét: Gráfelméleti módszerek (legrövidebb út számítása; szűk keresztmetszet számítása maximális folyamok segítségével; minimális költségű feszítőfák alkalmazása; hozzárendelési, párosítási feladatok gyakorlati alkalmazása) 2. hét: Lineáris programozási feladatok alkalmazása (termelési és szállítási feladatok) 3. hét: Sorbanállási modellek. Készletgazdálkodási modellek kezelése. 4. hét: Ütemezés (projektek és egyedi gyártások, illetve sorozatgyártás esetén) 5. hét: Költség- és erőforrás-tervezés, aggregált tervezés hét: Matematikai-statisztikai módszerek és elemzések (hipotézisvizsgálat, többváltozós regressziószámítás, keresztmetszeti és idősoros vizsgálatok problémái, kezelése) 10. hét: Előrejelzés hét: Statisztikai minőség- (megfelelőség-)szabályozás. Mérési bizonytalanság kezelése. 14. hét: Zárthelyi dolgozat. Szimuláció: Monte Carlo módszerek. 15. hét: Pótzárthelyi dolgozat. Szoftvercsomagok szolgáltatásai, alkalmazásuk a mennyiségi problémák megoldásánál. KZST HCS KZST HCS KZST

4 A gráfelméleti kutatások kezdete 1735 Euler megoldja a Königsbergi-hidak problémáját Kirchoff gráfelmélet és alkalmazása elektromos hálózatokban F. Guthrie: Négy szín probléma Cayley gráfelmélet alkalmazása szerves- kémiában Kuratowski síkba teríthetőség. II. világháború – minimális költségű folyamok, Ford-Fulkerson –as évek CPM, PERT.

5 Eljárások csoportosítása Heurisztikus módszerek –hamar adnak gyors megoldást –nem garantálják az optimális megoldás megtalálását Algoritmikus módszerek –garantálják az optimális megoldást –általában jóval lassabbak a heurisztikus módszereknél Evolúciós módszerek –a kettő közti átmenetet képviselik –egy heurisztikus módszer által megadott megengedett megoldásból indulnak, amelyet fokozatosan javítanak –nem garantált az optimális megoldás megtalálása (véges lépésben)

6 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf: G = (N,A) egy véges ponthalmaz (csúcsok), és egy véges pontpár halmaz (élek) együttese. N ponthalmaz a pontok=csúcsok halmaza N={N 1, N 2,.., N n }. A pontpár halmaz az élek=pont párok halmaza A={A 1, A 2,.., A m }, ahol A k =(N i,N j )  A. –Irányított gráf esetén a pontpárok rendezettek, ekkor N i az A k él kezdőpontja, N j pedig a végpontja. –Irányítatlan gráf esetén a pontpárok nem rendezettek, vagyis (N i, N j ) = (N j, N i ).

7 Gráfelméleti alapfogalmak 1.Példa: Irányítatlan gráf megadása: G 1 :=(N 1,A 1 ); N 1 :={1;2;3;4;5}, A 1 :={(1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4)} 2.Példa: Irányított gráf megadása: G 2 :=(N 2,A 2 ); N 2 :={1;2;3;4;5}, A 2 :={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}

8 Gráfelméleti alapfogalmak Hurokél: Ha A j =(N i, N i )  A, akkor azt mondjuk, hogy A j egy hurokél. Többszörös él: Ha  m,n, melyre (N i,N j )=A m =A n =(N i,N j ), és A m,A n  A; N i,N j  N, akkor a gráfban N i és N j között többszörös él van. Példa: G 3 :=(N 3,A 3 ); N 3 :={1;2}, A 3 :={(1,2); (1,2); (2,2)}

9 Gráfelméleti alapfogalmak (Valódi) részgráf: Azt mondjuk, hogy egy G p =(N p,A p ) gráf (valódi) részgráfja egy G=(N,A) gráfnak, ha N p  N, A p  A (N p  N, A p  A). Jelölés: G p  G (G p  G) Példa: G 2 :=(N 2,A 2 ); N 2 :={1;2;3;4;5}, A 2 :={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}, G 4 :=(N 4,A 4 ); N 4 :={1;3;5}, A 4 :={(1,2);(2,3);(3,5)}

10 Gráfelméleti alapfogalmak Irányítatlan út: Az élek olyan sorozata, melyben bármely két szomszédos élnek van közös pontja. Irányított út: Élek olyan sorozata, amelyben bármely él végpontja azonos a következő él kezdőpontjával (kivéve az utolsót).

11 Gráfelméleti alapfogalmak 1.Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): pl , Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): (Irányított) egyszerű út: Olyan (irányított) út, ahol minden él csak egyszer szerepel. (Irányított) kör: Olyan (irányított) út, amelyben az első él kezdőpontja azonos az utolsó él végpontjával. (Irányított) egyszerű kör: Olyan (irányított) kör, amelyben egy él csak egyszer szerepel.

12 Gráfelméleti alapfogalmak Legyen adott G=(N,A), N={N 1, N 2,.., N n }, A={A 1, A 2,.., A m } Izolált pont: olyan csúcs, melyhez nem kapcsolódik él. Legyen G a továbbiakban irányított gráf. Csúcsok száma: Élek száma: Bejövő élek száma:

13 Gráfelméleti alapfogalmak Kimenő élek száma: Egy csúcs fokszáma: Példa:  + (1)=0,  - (1)=2,  (1)=2, |N|=5, |A|=6 Aciklikus gráf: Kört nem tartalmazó gráf.

14 Gráfelméleti alapfogalmak Súlyozott gráf: irányított vagy irányítatlan gráf súlyozott akkor, ha minden éléhez egy vagy több számot rendelünk. Ez a szám az él súlya. Erdő: körmentes gráf. Összefüggő gráf: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két pontja között létezik egy irányítatlan út. Fa: Összefüggő, kört nem tartalmazó gráf.

15 Gráfelméleti alapfogalmak Egyszerű gráf: Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha nem tartalmaz hurokélt és többszörös élt. Szomszédos csúcsok: Két csúcs szomszédos, ha közöttük van olyan út, amely csak egy élet tartalmaz. Teljes gráf: Egy gráfot teljesnek nevezünk, ha bármely két csúcs szomszédos egymással.

16 Gráfelméleti alapfogalmak Feszítőfa: Egy gráf részgráfja feszítőfa, ha a részgráf a gráf valamennyi csúcsát tartalmazza és összefüggő, körmentes.

17 Gráfok reprezentálása Adjacencia mátrix Incidencia mátrix Adjacencia lista

18 Minimális költségű feszítőfa keresése Minimális költségű feszítőfa: Egy súlyozott gráf részgráfja minimális költségű feszítőfa (minimal spanning tree) ha: –Feszítőfa (a gráf valamennyi csúcsát tartalmazza, összefüggő, körmentes) és –a lehetséges feszítőfák közül minimális költségű.

19 Kruskál algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

20 Prim algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

21 Legrövidebb út keresése – Dijkstra algoritmussal O(n 2 )

22 Izomorfia, automorfizmus Egy G 1 =(N 1,A 1 ) gráf izomorf egy G 2 =(N 2,A 2 ) gráffal, ha létezik  :N 1  N 2, és  :A 1  A 2 kölcsönösen egyértelmű függvény. Egy gráf önmagával vett izomorf leképzését automorfizmusnak nevezzük.

23 Topológikus rendezés Egy G=(N,A) irányított körmentes gráf topologikus rendezésén a csúcsainak egy olyan sorba rendezését értjük, melyre teljesül, hogy ha N 1,N 2  N és (N 1,N 2 )  A akkor N 1,N 2 –t előzze meg a listában.

24 Topológikus rendezés – szintekre bontás 1.Első szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyeknek csak kimenő élük van. (források) 2.Ezekből a csúcsokból kimenő éleket töröljük. Majd a következő szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyek a módosított gráfban források addig ismételjük, ameddig az összes csúcsot szintekbe nem soroltuk. 4.Összekötjük a csúcsokat az eredeti gráfnak megfelelően.

25 Topológikus rendezés – szintekre bontás

26 Minimális út keresése – topologikus rendezéssel O(n+m)

27 Maximális folyamok - fogalmak

28 Ha f(n 1,n 2 )=c(n 1,n 2 ) akkor az (n 1,n 2 ) párat telítettnek nevezzük. Az f folyam értéke, melyet |f|-fel jelölünk, az s-ből kimenő összes folyam, azaz Legyen G=(N,A) egy hálózat. Legyen adott a hálózatban egy s forrás és egy t nyelő. Legyen N 1,N 2  N egy partíciója N-nek, vagyis N 1  N 2 =N, és N 1  N 2 = . Legyen továbbá s  N 1, t  N 2. Ekkor N 1,N 2 halmazt s,t-vágásnak hívjuk. Az N 1,N 2 kapacitásán a mennyiséget értjük.

29 Maximális folyamok - fogalmak Ha f egy folyam G-hálózaton, akkor definiáljuk az N 1,N 2 vágáson áthaladó folyamot. Ezt jelöljük f(N 1,N 2 )-vel, ahol Tetszőleges N 1,N 2,s,t - vágásra igazak a következők: –|f|=f(N 1,N 2 ) –|f|  c(N 1,N 2 ) és az egyenlőség elérhető

30 Maximális folyamok - fogalmak

31

32 Maximális folyamok – a probléma

33 Ford-Fulkerson algoritmus f 0,f 1,..,f k =f* folyamok sorozatát konstruáljuk a következőképpen: –f 0 folyam az azonosan nulla folyam. –Az f i birtokában f i+1 –et úgy kapjuk, hogy G fi javító gráfban keresünk egy javító utat. Az út mentén a d i kapacitással növelve kapjuk az f i+1 – folyamot. Érvényes tehát az |f i+1 |=|f i |+d i összefüggés. –Akkor állunk meg, ha a folyamhoz már nem létezik növelő út.

34 Ford-Fulkerson algoritmus - példák

35

36 Edmondson – Karp heurisztika O(m 2 n) A folyam növelésére mindig a legrövidebb, vagy a legkevesebb élből álló növelő utak egyikét válasszuk.

37 Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő Több forrás, illetve több nyelő esetén a feladat bonyolultsága nem változik, mert a problémát vissza lehet vezetni az eredeti maximális folyam problémára. Be kell vezetni egy S, ún. „szuper termelőt” és egy T, ún. „szuper fogyasztót”. S-sel s 1,s 2,..,s n termelőket végtelen kapacitással össze kell kötni. t 1,t 2,..,t m fogyasztókat T-vel végtelen kapacitással össze kell kötni. Ezen a módosított hálózaton kell maximális folyamot keresni. A módosított hálózatból elhagyjuk S,T csúcsot, valamint S,T éleit.

38 Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő

39 Köszönöm a megtisztelő figyelmet!

40 Irodalom Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnant, James B. Orlin: Network Flows. PRENTICE HALL, Upper Saddle River, New Jersey

41 1.


Letölteni ppt "Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. Kosztyán Zsolt Tibor 1."

Hasonló előadás


Google Hirdetések