Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Tételek, bizonyítások tanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Tételek, bizonyítások tanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert."— Előadás másolata:

1 Tételek, bizonyítások tanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert

2 2 Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban  A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogás  A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyett  A matematikai nyelv jelentésaspektusa fontosabb a szimbolikus aspektusnál  A gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosakká váltak, mint az eredmények  A bizonyítások elfogadása egy szociális folyamat

3 3 Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban  Kalmár László (1986): „…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni.”  Halmos Pál (1976): „A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: egyszerűség, összefüggések szervezése, és mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”

4 4 Logikai alapkérdések  Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy hamis lehet. Pl.: az ABC háromszög derékszögű  Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi képződmény, mely változót tartalmaz és a kijelentéshez hasonló formája van. Igazságértéke a változó behelyettesítésétől függően lehet igaz, vagy hamis. Pl.: 6x + 3 = 12

5 5 Logikai alapkérdések  Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák között (A(x)): NegációNegáció Konjunkció („és”)Konjunkció („és”) Diszjunkció („vagy”)Diszjunkció („vagy”) ImplikációImplikáció EkvivalenciaEkvivalencia  Kijelentések osztályozása: Egyedi kijelentés (állítás)Egyedi kijelentés (állítás) Létezési kijelentés (létezik)Létezési kijelentés (létezik) Általános kijelentés (minden)Általános kijelentés (minden)

6 6 Logikai alapkérdések Következmény: Az A kijelentésformából következik a B kijelentésforma, ha minden olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, a B-t is kielégíti. Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög derékszögű voltából következik, hogy a befogók összege megegyezik az átfogó négyzetével.

7 7 Argumentációk, indoklások, bizonyítások  Egy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalom  Winter (1978) a következőket sorolja az argumentációk közé: Megállapodásokhoz való alkalmazkodásMegállapodásokhoz való alkalmazkodás Általános állítások konkrét példákon való kipróbálásaÁltalános állítások konkrét példákon való kipróbálása Indoklás, következtetés, bizonyításIndoklás, következtetés, bizonyítás Indoklások érvényességének vizsgálataIndoklások érvényességének vizsgálata Álbizonyítások felfedéseÁlbizonyítások felfedése Matematikai megfontolások jelentőségének értékeléseMatematikai megfontolások jelentőségének értékelése

8 8 Pszichológiai kérdések  A bizonyítási tevékenység feltételezi a következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló részéről  A formális szintig a gyermek gondolkodása fokozatosan „jut el”: Műveletek előtti szakaszMűveletek előtti szakasz Konkrét műveletek szakaszaKonkrét műveletek szakasza Formális műveletek szakasza (ált éves korban, azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek)Formális műveletek szakasza (ált éves korban, azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek)  PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség miatt)

9 9 Prematematikai bizonyítások  Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás konkrét cselekvésekből áll: Konkrét fizikai cselekvésekKonkrét fizikai cselekvések  Tárgyakkal végzett cselekvések  Képek rajzolása  Ábra alapján történő okoskodás Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése)Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése) ÁltalánosításÁltalánosítás

10 10 Prematematikai bizonyítások  Példák: Az első n természetes szám összege S = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra)Az első n természetes szám összege S = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra) Háromszögszámok 1,3,6,10,…Háromszögszámok 1,3,6,10,… Négyzetszámok 1,4,9,16,…Négyzetszámok 1,4,9,16,… Trapézszámok 1,5,12,… T(n) = n^2 + n(n-1)/2 n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámotTrapézszámok 1,5,12,… T(n) = n^2 + n(n-1)/2 n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámot

11 11 Prematematikai bizonyítások  T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot adják 3-mal való osztásnál, mint n Szemléletes bizonyításSzemléletes bizonyítás Formális bizonyításFormális bizonyítás  A prematematikai bizonyításokat „példához kötött” bizonyításoknak is nevezik.  Konkrét példán keresztül mutatja meg az állítás helyességét

12 12 Prematematikai bizonyítások  Párhuzamos szelők tétele + bizonyítása  Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával.  Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra): Egyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek megEgyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek meg Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakraEgyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakra 3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt…3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt… p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…

13 13 Matematikai bizonyítási koncepciók  „Korrekt lépések sorozat”-ának meghatározása  Stein (1986): Matematikai-logikai elmélet szintje Az elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van advaMatematikai-logikai elmélet szintje Az elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van adva Matematikai elmélet szintje Az elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnekMatematikai elmélet szintje Az elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnek Lokálisan rendezett elmélet szintjeLokálisan rendezett elmélet szintje Mindennapi okoskodások szintjeMindennapi okoskodások szintje

14 14 Matematikai bizonyítási koncepciók Lokálisan rendezett elmélet  Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata áll előtérben  Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet nyelvére támaszkodik  Az állítások anyanyelven vannak megfogalmazva  Axiómák Explicite nem adunk megExplicite nem adunk meg Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóakImplicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóak  Definíciók Csak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljukCsak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljuk Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész axióma-e, vagy tételEsetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész axióma-e, vagy tétel

15 15 Matematikai bizonyítási koncepciók Lokálisan rendezett elmélet  Következtetési szabályok A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnakA logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnak Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés)Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés)  Bizonyítás Nincs konkrétan rögzítveNincs konkrétan rögzítve Gyakran használ fel nem bizonyított segédtételeketGyakran használ fel nem bizonyított segédtételeket Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos formábanCsak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos formában

16 16 Példa egy lokálisan rendezett elméletre

17 17 Matematikai bizonyítási koncepciók Mindennapi okoskodások elmélete  Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve, ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok)  Nyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmak  Axióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznek  Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk kikövetkeztetni  Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus egyaránt  Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: sakk, dominó)

18 18 Bizonyítások tanítási fázisai  Tételek megsejtése  Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási módszerek, stratégiák alkalmazása  Bizonyítás rögzítése, leírása, reflexió

19 19 Tételek megsejtését szolgáló eljárások  Tételek megfordítása  Analógia  Általánosítás  Indukció  Számítási feladat megoldása, elemzése  Szerkesztési feladat megoldása, elemzése  Egy geometriai konfiguráció elemzése  Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása geometriai szemléltetés alapján

20 20 Tételek megfordítása  „Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor A”  Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma”  Megfordítva: „Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”

21 21 Tételek megfordítása Logikai négyszög Tétel A → B Tétel megfordításának kontrapozíciója ┐A → ┐B Tétel kontrapozíciója ┐B → ┐A Tétel megfordítása B → A

22 22 Tételek megfordítása Többfeltételes tételek megfordítása  Ha egy természetes szám osztója egy összeg mindkét tagjának, akkor a természetes szám osztója az összegnek is (a|b és a|c) → a|(b+c)  A tétel szerkezete: (F 1 ^ F 2 ) → K  Három megfordítás: K → (F 1 ^ F 2 )K → (F 1 ^ F 2 ) (F 1 ^ K) → F 2(F 1 ^ K) → F 2 (K ^ F 2 ) → F 1(K ^ F 2 ) → F 1  Hamis, Igaz, Igaz  Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó minden kerületi szög derékszög

23 23 Analógia, analógiás következtetések  Olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjük  Példa: Téglalap – téglatest Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy másik oldallal és merőleges a többi oldalraTéglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy másik oldallal és merőleges a többi oldalra Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy másik lappal és merőleges a többi lapraTéglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy másik lappal és merőleges a többi lapra  Háromszög – tetraéder

24 24 Analógia, analógiás következtetések  Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis állításhoz is Háromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igazHáromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igaz Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy pontban metszik egymást. HamisHáromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy pontban metszik egymást. Hamis  ab = ba → a^b = b^a  ab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / c  Didaktikai megjegyzés: térben is használható síkgeometriai eljárások alkalmazása Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!

25 25 Általánosítás  Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeire  Pl.: Pitagorasz-tétel → Cosinus tételPitagorasz-tétel → Cosinus tétel Thalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tételeThalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tétele Rolle tétele → Differenciálszámítás középértéktételeRolle tétele → Differenciálszámítás középértéktétele 9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-gyel való oszthatóság9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-gyel való oszthatóság  Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú egyenlethez is létezik

26 26 Indukció  Az adott osztály megvizsgált elemei alapján szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek mindegyikére  Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ?  Sejtés: = n-1 / n

27 27 Tételek és bizonyítási ötletek megsejtése egy számolási példa alapján  Két fázis: I.: a konkrét számolási feladat elvégzéseI.: a konkrét számolási feladat elvégzése II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét számok változókkal való felcserélése révénII.: általános összefüggés megsejtése a konkrét számok változókkal való felcserélése révén  Példák: Cosinus tételCosinus tétel Thalész tételThalész tétel Kerületi és középponti szögek tételeKerületi és középponti szögek tétele Másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetéseMásodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

28 28 Tételek megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy szerkesztési feladat megoldása, elemzése révén  I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot oldanak meg és indokolják a szerkesztés helyességét  II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével megsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességét  Példa: a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymásta háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást SúlyvonaltételSúlyvonaltétel BefogótételBefogótétel

29 29 Tétel megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy adott geometriai konfiguráció elemzése alapján  I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…) megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy geometriai ábrát  II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók felfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyítását  Példa: HúrnégyszögtételHúrnégyszögtétel HúrtételHúrtétel

30 30 Algebrai tételek és bizonyítási ötletek megsejtése geometriai szemléltetés segítségével  A geometriai modell izomorf legyen az eredeti szituációval  Példák megfeleltetésekre: Pozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszokPozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszok Pozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzetPozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzet Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú téglalap területeKét valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú téglalap területe  Példák: Kéttagú összeg négyzeteKéttagú összeg négyzete Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggésKét pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggés

31 31 Bizonyítási stratégiák  Szintézis Célirányos okoskodásCélirányos okoskodás  Analízis Fordított irányú okoskodásFordított irányú okoskodás  Nem teljes analízis

32 32 Bizonyítási módszerek  Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek: Direkt bizonyításokDirekt bizonyítások Teljes indukciós bizonyításokTeljes indukciós bizonyítások Indirekt bizonyításokIndirekt bizonyítások  Teljes indukció A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv)A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv) A teljes indukció elvének alkalmazásaA teljes indukció elvének alkalmazása  Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások

33 33 Bizonyítási módszerek  I.: Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások csoportosítása: Direkt kipróbálásDirekt kipróbálás Létezési állítások igazságának megmutatásaLétezési állítások igazságának megmutatása Általános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségévelÁltalános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségével Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségévelÁltalános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségével

34 34 Bizonyítási módszerek  II.: Reductio ad absurdum Ellentmondás az indirekt feltevésnekEllentmondás az indirekt feltevésnek Következtetés egy állításra és annak tagadásáraKövetkeztetés egy állításra és annak tagadására Ellentmondás a tétel feltételénekEllentmondás a tétel feltételének Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómánakEllentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának  III.: Elimináció módszere

35 35 Bizonyítási módszerek  Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatban  Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatban  Feladattípusok a bizonyítások tanításával kapcsolatban

36 36 Köszönjük a figyelmet!


Letölteni ppt "Tételek, bizonyítások tanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert."

Hasonló előadás


Google Hirdetések