A szinusz-tétel és alkalmazása

Az előadások a következő témára: "A szinusz-tétel és alkalmazása"— Előadás másolata:

1 A szinusz-tétel és alkalmazása
: kattintás; : tilos kattintani. ×  Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével

2 Nem kérem a tétel ismertetését!
Tétel (szinusz-tétel): A háromszögben két oldal aránya a velük szemközti szögek arányával egyenlő. C γ γ γ sin a a a = b b b sin sin = α α α β β β sin c c c A B A fenti összefüggéseket más alakban is fel szokás írni; ezek az egyenletek átrendezéséből adódnak: sin = sin a b sinα sinβ = a c sinα sinγ = b c sinβ sinγ = b c sinβ sinγ = a sinα ; ; ; avagy . Szavakban megfogalmazva: A háromszögben az oldalaknak és a velük szemben fekvő szögek szinuszának hányadosa állandó. Ezeknek a hányadosoknak a jelentésére később visszatérünk.    Nem kérem a tétel ismertetését!

3 Nem kérem ezeket a tételeket!
Most megismerkedünk néhány olyan tétellel, amelyeknek vagy a szinusztétellel, vagy annak a bizonyításával, ill. a feladatok megoldásához hasznos segítséget nyújtanak Nem kérem ezeket a tételeket! 

4 Tétel: A háromszög területe egyenlő két oldal hossza és a közbezárt szög szinusza szorzatának a felével. absinγ 2 acsinβ 2 bcsinα 2 C T = = = . γ γ a a a b b b Bizonyítás: Tételezzük először fel azt, hogy a háromszög hegyesszögű: Rajzoljuk be a magasságvonalakat! α α c c c β β A B A B C β γ α c b a Az ACR derékszögű háromszögben sinγ = mA/b  mA = bsinγ. Tehát T = amA/2  T = (absinγ)/2. A PBC derékszögű háromszögben sinβ = mC/a  mC = asinβ. Tehát T = cmC/2  T = (acsinβ)/2. Az ABQ derékszögű háromszögben sinα = mB/c  mB = csinα. Tehát T = bmB/2  T = (bcsinα)/2. Legyen a háromszög tompaszögű, s legyen γ a tompaszög. R mA  Q  mC mB P  B Berajzoljuk a magasságokat; γ’ = 180° – γ  sinγ’ = sinγ. BCQ-ban sinγ’ = mB/a  mB = asinγ’  T = bmB/2 = = (absinγ’)/2 = (absinγ)/2. ABR-ben sinβ = mA/c  mA = csinβ  T = amA/2 = (acsinβ)/2. APC-ben sinα = mC/b  mC = bsinα  T = cmC/2 = (cbsinα)/2. β c mB P a mC  γ’ γ  b α A Q    C mA      R Nem kérem ezt a tételt! Teljes a bizonyítás!

5 Érdemes ezt a tételt még egyszer szemügyre venni!
C absinγ 2 acsinβ 2 bcsinα 2 γ T = = = . a b absinγ 2 acsinβ 2 bcsinα 2 Ha az , és egyaránt a háromszög területével egyenlő, akkor ezek közül bármelyik kettő egymással is egyenlő! α c A β B bsinγ absinγ b csinβ acsinβ sinβ Nézzük az első kettőt! = / :c – megtehetjük, mert c  0! :sinγ – megtehetjük, mert γ  0°  sinγ  0 2 :a – megtehetjük, mert a  0! 2c 2 c sinγ 2sinγ 2 asinγ absinγ a csinα bcsinα sinα Nézzük a két szélsőt! = / :b – megtehetjük, mert b  0! :c – megtehetjük, mert c  0! :sinγ – megtehetjük, mert γ  0°  sinγ  0 2 2c 2 c sinγ 2sinγ 2 asinβ acsinβ a bsinα bcsinα sinα Nézzük az utolsó kettőt! = / :sinβ – megtehetjük, mert β  0°  sinβ  0 :b – megtehetjük, mert b  0! :c – megtehetjük, mert c  0! 2 2b 2 b sinβ 2sinβ 2 Mi adódott??? Az átalakítások után a szinusz-tételt kaptuk! A háromszög területének „kétféle felírása”, majd a „jobb oldalak” egyenlővé tétele, végül egyenlet-átalakítások a szinusz-tétel egyik bizonyítását eredményezik.   

6 Most kimondunk és bebizonyítunk egy másik összefüggést a háromszög területének a kiszámítására
A háromszöget egyértelműen meghatározza egy oldala és a rajta fekvő két szög. Elvárható, hogy akkor a területe is kiszámítható legyen ezekből az adatokból. Ha két szög ismert, akkor a háromszög belső szögösszege miatt a harmadik is ismert. A képlet egyszerűbb megfogalmazása miatt célszerű mind a három szöget felhasználni. Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a hossza a, a rajta fekvő két szög β és γ, a harmadik α, akkor a háromszög területe: T = a2sinβsinγ 2sinα A C B a b c α γ β Bizonyítás: Rajzoljuk fel a háromszöget! (Piros: adottak, kék: adottnak vehető). T = (absinγ)/2 Mivel b nem ismert, kiszámításához írjuk fel a szinusz-tételt: b/a = (sinβ)/sinα  b = (asinβ)/sinα Helyettesítsünk be az előbbi területképletbe: T = (aasinβsinγ)/2sinα  T = a2sinβsinγ 2sinα Ezzel a tételt igazoltuk! Nem kérem ezt a tételt! 

7 Most kimondunk és bebizonyítunk egy olyan tételt, amely a háromszög területe és a köré írt kör sugara közti kapcsolatot adja meg Tétel: Ha egy háromszög oldalainak a hossza a, b és c, a köré írt kör sugara R, akkor a háromszög területe: abc 4R T = A C c a b γ Bizonyítás: Rajzoljunk egy (általános!) hegyesszögű háromszöget! Rajzoljuk meg a köré írt körét! Kössük össze a középpontot a háromszög két csúcsával! AKB = 2γ a kerületi és középponti szögek tétele értelmében. Rajzoljuk meg az ABK háromszög AB-hez tartozó magasságát! AKB egyenlőszárú, így az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárszöget. A háromszög területe két oldal és a közbezárt szög felhasználásával: T = (absinγ)/2. KBF háromszögben sinγ = (c/2)/R = c/2R. Behelyettesítünk: Most rajzoljunk egy tompaszögű háromszöget! 2γ-t kiegészítjük 360°-ra. Megrajzoljuk az AKB háromszög magasságát. Észrevesszük, hogy sin(180° – γ) = sinγ. KBF háromszögben sin(180° – γ) = (c/2)/R = c/2R  sinγ = c/2R. Felírjuk a háromszög területét: T = (absinγ)/2. Behelyettesítés után most is ezt kapjuk: T = (abc)/(4R). K + R R 2γ γ c 2  F B = ab c 2R 2 T = absinγ 2 = abc 4R C γ b a 180° – γ A 360° – 2γ c/2 B c R F + R K 2γ  Nem kérem ezt a tételt!

8 Most megvizsgáljuk a szinusz-tétel egy következményét, ami a tétel egy másik alakjából adódik.
Tétel: Egy háromszög bármely oldalának és a szemközti belső szögének a hányadosa a háromszög körülírt köre sugarának a kétszeresével egyenlő: C a sinα b sinβ a sinα = = = 2R γ b 2 Bizonyítás: A húrnégyszögek tétele miatt K-nál 2α, 2β és 2γ szögek adódnak. Bocsássunk K-ból merőlegeseket a háromszög oldalaira! ABK, BCK és CAK egyenlőszárú háromszögek, ezért az alaphoz tartozó magasság felezi a szárszöget és az alapot. Az AKH, BKF, ill. CKG háromszögekben: R a β F  a 2 b  G 2α α 2β + R K 2γ R β γ B sinα =  2R = a a 2R sinα  c α c 2 H A sinβ =  2R = b b 2R sinβ sinγ =  2R = c c 2R sinγ Mivel ezek az arányok mindegyike 2R-rel egyenlők, ezért egymással is egyenlők. A most bebizonyított összefüggés a szinusz-tételnek egy másik alakja. Ha a háromszög tompaszögű, a bizonyítás hasonlóképp történik; ezt bemutattuk az előbbi tétel igazolása során is. Kihasználjuk, hogy sin(180°-α) = sinα; sin(180°-β) = sinβ; sin(180°-γ) = sinγ. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.  Nem kérem ezt a tételt!

9    Egy utolsó megjegyzés Legutóbb ezt az összefüggést kaptuk: a
sinα b sinβ a sinα = = = 2R Nem különös, hogy a háromszög egyetlen oldala és a vele szemközti szög már meghatározza a körülírt kört? A többi adatnak nincs is ebben szerepe? Tekintsük meg a következő ábrát: Mit jelent az, hogy az a-val szemközti szög α? Azt is, hogy az A-ból a BC szakasz α szög alatt látszik! Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyekből egy szakasz adott szög alatt látszik? Két köríven! Emlékeztetőül lássuk a megszerkesztésüket! Így már nem meglepő, hogy egyetlen oldal és a vele szemközti szög meghatározza nemcsak a háromszög köré írt körénak a sugarát, hanem magát a köré írt kör is. A α K + B  a C +  F α    Ezt ki akarom hagyni!

10 Összefoglaljuk a tudnivalókat az alkalmazáshoz
Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben két oldal és az oldalakkal szemközti szögek közül hármat ismerünk, és a negyedikre szükségünk van, felírhatjuk a szinusz-tételt. Ha abban a formában használjuk a tételt, hogy az egyik tört a két oldal hosszát, a másik a szemközti szögek szinuszait tartalmazzák, ügyeljünk arra, hogy a két számlálóba ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön. S hasonlóan: a két nevezőbe ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön. Ügyeljünk akkor, ha a szinusz-tétel alkalmazásával szöget számolunk! A tétel a keresett szög szinuszát szolgáltatja; visszakereséssel kapjuk a szöget. A ]0; 1[ intervallumbeli szám azonban két olyan szög szinusz, amely 0° és 180° közé esik. Megoldás azonban – korrekt feladat kitűzés esetén – csak az egyik lehet. Azt, hogy a hegyes- vagy tompaszög-e az egyetlen megoldás, úgy dönthetjük el, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb, rövidebb oldallal szemben kisebb szög van! Olykor az is segít, hogy a tompa szög választása esetén a háromszög belső szögeinek összege 180°-nál nagyobbra adódna. Ha egy háromszögben két oldalt, és a rövidebbel szemközti szöget adják meg ismertként, több eset lehetséges! (A feladat kitűzése ekkor nem tekinthető korrektnek.) Ha a rövidebb oldal „túl rövid”, nincs megoldás (a szög szinuszára egynél nagyobb szám adódik); ha a rövidebb oldal hossza „speciális”, a háromszög derékszögű, s egy megoldást kapunk (a szög ekkor szinusza 1); ha a rövidebb oldal „elég hosszú”, két, nem egybevágó háromszög lesz a megoldás (a szög szinusza ebben az esetben egynél kisebb). 

11 Most nem kérek feladatokat!


12 Ezt a feladatot nem kérem!
Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szög 84°-os. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát. Megoldás: Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? Írjuk fel a szinusz-tételt! C 84° a = ? b = 8 cm α A c = 10 cm β B Igen, ABC-ben β számítandó. sinβ 8 = sin84° 10 8 5. Fejezzük ki a sinβ értékét! sinβ = sin84°  0,7956 10 6. Keressük vissza a β-t! 7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből! 8. Mivel minden szög ismert, az a kiszámításához is felírható a szinusz-tétel: β  52,71°. 84° + 52,71° + α  180°  α  43,29°. a sin43,29°  sin84° sin43,29° 9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki! a  10  6,89 cm. sin84° Ezt a feladatot nem kérem! 

13 Ezt a feladatot nem kérem!
Egy háromszög két oldala 8,6 cm, illetve 10,3 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szög 62°15’. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megoldás: Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? Írjuk fel a szinusz-tételt! C γ a = ? b = 8,6 cm α A c = 10,3 cm 62°15’ B Igen, ABC-ben γ számítandó. sinγ 10,3 = sin62°15’ 8,6 10,3 5. Fejezzük ki a sinγ értékét! sinγ = sin62°15’  1,0599 > 1 8,6 6. Mivel sinγ-ra 1-nél nagyobb érték adódott, ezért ennek a feladatnak nincs megoldása – ilyen háromszög nem létezik. A feladatban a rövidebb oldallal szemközti szöget adták meg. Egy háromszög egyértelmű szerkeszthetőségének egyik alapesete az, amikor két oldal, és a hosszabb oldallal szemközti szög adott. Esetünkben azonban nem így definiálták a háromszöget. Ezt a feladatot nem kérem! 

14 Ezt a feladatot nem kérem!
Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megoldás: Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? Írjuk fel a szinusz-tételt! C γ a = ? b = 8 cm α A c = 10 cm 33° B Igen, ABC-ben γ számítandó. sinγ 10 = sin33° 8 10 5. Fejezzük ki a sinγ értékét! sinγ = sin33°  0,6808 8 6. Keressük vissza a γ-t! 7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből! 8. Mivel minden szög ismert, az a kiszámításához is felírható a szinusz-tétel: γ1  42,91°; γ2 = 180° – γ1; γ2  137,09°. 33° + γ + α  180°  α 1  104,09°; α2  9,91°. a sin104,09° a sin9,91°  ;  sin33° sin33° sin104,09° 9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki! a1  8   14,25 cm. sin33° sin9,91° a2  8   2, 53 cm. sin33° Ezt a feladatot nem kérem! 

15 Most nem kérem ezt a feladatot!
Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, míg a kerülete 18 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? C γ Megoldás: 80° Készítsünk vázlatot! Számoljuk ki a belső szögeket a 180° arányos osztásával! Megmutatjuk, hogyan folytatnánk a feladat megoldását akkor, ha szigorúan csak a már ismertetett képlethez ragaszkodnánk. Ismeretlen az a, b és c. Felírhatjuk a szinusz-tételeket: b a A 40° α c 60° β B a sinα b sinβ = a sinα b sinβ = α:β:γ = 2:3:4; =9 (arányszámok összege); 180°:9 = 20°  1 részre jut 20°; α = 220° = 40°; β = 320° = 60°; γ = 420° = 80°. Az egyenletrendszer kiegészül: a + b + c = 18 Majd megoldjuk ezt az egyenletrendszert… De van egyszerűbb eljárás is! A szinusz-tétel így is megfogalmazható: sin40°  0,6428; sin60°  0,8660; sin80°  0,9848 0, , ,9848  2,4936 18 : 2,4936  7,218 (egy részre jutó hosszúság) a  0,64287,218  4,640 cm; b  0,86607,218  6,251 cm; c  0,98487,218  7,109 cm. Ugye, így sokkal egyszerűbb?... Egy háromszögben az oldalak aránya a szemközti szögek szinuszainak arányával egyenlő: a : b : c = sinα : sinβ : sinγ A megoldást egyszerűen így folytathatjuk:   Most nem kérem ezt a feladatot!  

16 Most nem kérem ezt a feladatot!
Egy paralelogramma egyik szöge 112°. Az adott szöggel szemközti átló hossza 18 cm. Ez az átló a paralelogramma hegyesszögét 2:3 arányban osztja. Számítsuk ki a paralelogramma oldalainak a hosszát. D C Megoldás: 40,8° 18 cm b 1. Készítsünk vázlatot, és tüntessük fel rajta az adatokat! α2 2. Kiszámítjuk az A csúcsnál lévő belső szöget; a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°. α1 + α ° = 180°  α1 + α2 = 68°. 3. Ezt a szöget 2:3 arányban felosztjuk. 4. Találunk olyan háromszöget, amelyben két oldal és a szemközti szögek közül három ismert, és a negyediket ki kellene számolni? 5. Írjuk fel a szinusz-tétel! 40,8° 112° A 27,2° α1 a B 2 + 3 = 5; 68°:5 = 13,6° (egy részre jut) α1 = 213,6 = 27,2°; α2 = 313,2° = 40,8°. Igen, ABC-ben ismert a 112°, a 27,2°, a 18 cm, ki kellene számolni a b-t. b sin27,2° sin112° = sin27,2° sin112° b = 18  8,87 cm. 6. Számoljuk ki b-t! 7. Újabb alkalmas háromszöget keresünk. ABC alkalmas, de kellene az ACB. ACB és DAC váltószögek, így egyenlők. 8. Szinusz-tétel felírás és a kiszámolása. a sin40,8° sin112° = sin40,8° sin112° a = 18  12,69 cm.  Most nem kérem ezt a feladatot!  

17 Most nem kérem ezt a feladatot!
Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenessel három egyenlő részre osztjuk. Mekkora részekre osztják ezen egyenesek a szöggel szemközti oldalt? A B C 10 cm 60° x y z P Q Megoldás: Nem három egyenlő részre!!! Készítsünk vázlatot, tüntessük fel az adatokat és a kiszámítandó mennyiségeket! Találunk olyan háromszöget, amelyben két oldal és a szemközti szögek közül három ismert, és a negyediket ki kellene számolni? Majdnem. APC-ben AC ismert, x-et számítani kellene; de a szemközti szögek pillanatnyilag ismeretlenek. A még ismeretlen szögeket ki tudjuk számítani! 100° 20° CAP = 60°:3 = 20°. CPA = 108°–20°–60° = 100° x sin20° sin100° = 4. Felírjuk a szinusz-tételt az APC háromszögben: sin20° sin100° x = 10  3,47 cm. 5. Kiszámoljuk x-et: 6. A szimmetria miatt z = x: 7. Az y a „maradék”: z  3,47 cm. y = 10 – x – z  3,06 cm. Most nem kérem ezt a feladatot! 

18 Most nem kérem ezt a feladatot!
Egy háromszög területe 4920 cm2 és két oldalának a szorzata ab = cm2 és az a oldallal szemközti szöge 64,01°. Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát. Megoldás: C γ 72,39° Készítsünk vázlatot! Keressünk a háromszög területére olyan összefüggést, amelyben lehetőleg két oldal szorzata is szerepel. Találunk ilyet; a T = (absinγ)/2 ilyen. Hasznos-e ez nekünk? b a Ha meggondoljuk, ebből ki tudjuk számítani γ-t. Ha γ ismert, β is számítható (belső szögek összege 180°). Az ab = ből egy oldal felírható a másik segítségével! Így olyan egyenletet írhatunk fel a szinusz-tétellel, amelyben csak egy ismeretlen oldal szerepel, s az kiszámítható. A c β B 64,01° 3. Számoljuk ki a γ szöget a fenti fejtegetés alapján! 4920 = absinγ 2 4920 = 10324sinγ 2  sinγ  0,9531  γ  72,39°  β  43,6°  ab = 10324 ab =  b = 10342 a 4. Küszöböljük ki az egyik oldalt: a sin64,01° a sin64,01° b sin43,6° sin43,6° =  = 5. Írjuk fel a szinusz-tételt és számoljuk ki a-t és b-t: a  116 cm; b = 10324/a  89 cm. c sin72,39° sin72,39° sin43,6° sin43,6°   c  89  123 cm. 6. Szinusz-tétellel c-t kiszámoljuk:  Most nem kérem ezt a feladatot!

19 Most nem kérem ezt a feladatot!
Egy szimmetrikus trapéz átlója 6,8 dm, rövidebb alapja 2,6 dm, egyik szöge 68°36’. Számítsuk ki a trapéz oldalait és a területét. 2,6 dm D C 47,75° γ Megoldás: 111°24’ 63,65° Készítsünk vázlatot, tüntessük fel rajta az adatokat és a kiszámítandó mennyiségeket! A szimmetria miatt AD = BC = b; bejelöljük. A trapéz szárain fekvő szögek összege 180°, továbbá a szimmetria miatt ADC = BCD = 180° – 68°36’ = 111°24’ Találunk-e olyan háromszöget, amelyben két oldal közül az egyik a b, a másik ismert, s a velük szemközti szögek ismertek? (Mivel szinusz-tételt szeretnénk alkalmazni.) Nem, mert sem az ACD, sem az ABC háromszögben nem ismert a b-vel szemközti szög! Két lehetőségünk van: vagy koszinusz-tételt alkalmazunk, vagy kiszámoljuk a b-vel szemközti szöget. Legyen az utóbbi. Találunk-e olyan háromszöget, amelyben ismert két oldal és a velük szemközti szög, ill. egy oldal? Szinusz-tétel felírása, abból egy szög kiszámítása: b 6,8 dm b 20,85° α a 68°36’ A B Igen, az ACD háromszög erre alkalmas. 2, sinα 6, sin111°24’ = sinα = sin111°24’  0,3560  α  20,85° 2,6 6,8 A γ szög kiszámítása a háromszög belső szögösszegéből: Szinusz-tétellel b kiszámítása: ACB  111°24’ – 47,75°  63,65°. Szinusz-tétellel az a kiszámítása: Magasság: m = bsin68°36’  5,04 dm; γ  180° – 111°24’ – 20,85°  47,75° b sin47,75° sin47,75° 2,6 sin20,85° sin20,85°   b  2,6  5,41 dm. a sin63,85° sin63,65° 6,8 sin68°36’ sin68°36’   a  6,8  6,54 dm. 12. T = (a + c)m/2  (6,54 + 2,6)5,04/2  23,03 dm2.  Most nem kérem ezt a feladatot!  

20 További sikereket a matematikához (is)!
Felhasznált irodalom: Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika) További sikereket a matematikához (is)! 