Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A szinusz-tétel és alkalmazása Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani. ×

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A szinusz-tétel és alkalmazása Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani. ×"— Előadás másolata:

1

2 A szinusz-tétel és alkalmazása Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani. ×

3 Tétel (szinusz-tétel): A háromszögben két oldal aránya a velük szemközti szögek arányával egyenlő. AB C a c b α β γ  a b = sin α β a c = α γ b c = β γ  A fenti összefüggéseket más alakban is fel szokás írni; ezek az egyenletek átrendezéséből adódnak: a b sinα sinβ = a c sinα sinγ = b c sinβ sinγ = ; ; ; avagy A háromszögben az oldalaknak és a velük szemben fekvő szögek szinuszának hányadosa állandó. Szavakban megfogalmazva: A háromszögben az oldalaknak és a velük szemben fekvő szögek szinuszának hányadosa állandó. b c sinβ sinγ = a sinα =. Ezeknek a hányadosoknak a jelentésére később visszatérünk. Nem kérem a tétel ismertetését!

4 Most megismerkedünk néhány olyan tétellel, amelyeknek vagy a szinusztétellel, vagy annak a bizonyításával, ill. a feladatok megoldásához hasznos segítséget nyújtanak Nem kérem ezeket a tételeket!

5 Tétel: A háromszög területe egyenlő két oldal hossza és a közbezárt szög szinusza szorzatának a felével. Nem kérem ezt a tételt! AB C a b c α β β γ’γ’ γ T = bc  sinα 2 ac  sinβ 2 ab  sinγ 2 ==. γ a b a c β c α b Bizonyítás: Tételezzük először fel azt, hogy a háromszög hegyesszögű: Rajzoljuk be a magasságvonalakat! α A B C β γ α c b a mCmC    P mBmB mAmA Q R Az ACR derékszögű háromszögben sinγ = m A /b  m A = b  sinγ. Tehát T = a  m A /2  T = (a  b  sinγ)/2. A PBC derékszögű háromszögben sinβ = m C /a  m C = a  sinβ. Tehát T = c  m C /2  T = (a  c  sinβ)/2. Az ABQ derékszögű háromszögben sinα = m B /c  m B = c  sinα. Tehát T = b  m B /2  T = (b  c  sinα)/2. Legyen a háromszög tompaszögű, s legyen γ a tompaszög. A B C a b c Q R P γ mBmB mAmA mCmC Berajzoljuk a magasságokat; γ’ = 180° – γ  sinγ’ = sinγ. BCQ-ban sinγ’ = m B /a  m B = a  sinγ’  T = b  m B /2 = = (a  b  sinγ’)/2 = (a  b  sinγ)/2. ABR-ben sinβ = m A /c  m A = c  sinβ  T = a  m A /2 = (a  c  sinβ)/2. APC-ben sinα = m C /b  m C = b  sinα  T = c  m C /2 = (c  b  sinα)/2.     Teljes a bizonyítás!

6 Érdemes ezt a tételt még egyszer szemügyre venni! AB C a b c α β γ  T = bc  sinα 2 ac  sinβ 2 ab  sinγ 2 ==. Ha az, és egyaránt a háromszög területével egyenlő, akkor ezek közül bármelyik kettő egymással is egyenlő! ab  sinγ 2 ac  sinβ 2 bc  sinα 2 Nézzük az első kettőt!  ab  sinγ 2 ac  sinβ 2 = / :a – megtehetjük, mert a  0! b  sinγc  sinβ :sinγ – megtehetjük, mert γ  0°  sinγ  0 b 2  sinγ :c – megtehetjük, mert c  0! 2c sinβ 22 csinγ Nézzük a két szélsőt! ab  sinγ 2 bc  sinα 2 = / :b – megtehetjük, mert b  0! a  sinγ c  sinα :sinγ – megtehetjük, mert γ  0°  sinγ  0 a 2  sinγ :c – megtehetjük, mert c  0! 2c sinα 22 c sinγ Nézzük az utolsó kettőt! ac  sinβ 2 bc  sinα 2 = / :c – megtehetjük, mert c  0! a  sinβb  sinα :sinβ – megtehetjük, mert β  0°  sinβ  0 a 2  sinβ :b – megtehetjük, mert b  0! 2b sinα 22 bsinβ Mi adódott??? szinusz-tételt Az átalakítások után a szinusz-tételt kaptuk! A háromszög területének „kétféle felírása”, majd a „jobb oldalak” egyenlővé tétele, végül egyenlet-átalakítások a szinusz-tétel egyik bizonyítását eredményezik.

7 Most kimondunk és bebizonyítunk egy másik összefüggést a háromszög területének a kiszámítására A háromszöget egyértelműen meghatározza egy oldala és a rajta fekvő két szög. Elvárható, hogy akkor a területe is kiszámítható legyen ezekből az adatokból. Ha két szög ismert, akkor a háromszög belső szögösszege miatt a harmadik is ismert. A képlet egyszerűbb megfogalmazása miatt célszerű mind a három szöget felhasználni. Tétel: a β γα Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a hossza a, a rajta fekvő két szög β és γ, a harmadik α, akkor a háromszög területe:  T = a 2  sinβ  sinγ 2sinα Bizonyítás: Rajzoljuk fel a háromszöget! (Piros: adottak, kék: adottnak vehető). T = (a  b  sinγ)/2 Mivel b nem ismert, kiszámításához írjuk fel a szinusz-tételt: b/a = (sinβ)/sinα  b = (a  sinβ)/sinα Helyettesítsünk be az előbbi területképletbe: T = (a  a  sinβ  sinγ)/2sinα  A C B a b c α γ β T = a 2  sinβ  sinγ 2sinα Ezzel a tételt igazoltuk! Nem kérem ezt a tételt! Nem kérem ezt a tételt!

8  Most kimondunk és bebizonyítunk egy olyan tételt, amely a háromszög területe és a köré írt kör sugara közti kapcsolatot adja meg Tétel: a b és c, a köré írt kör sugara R, Tétel: Ha egy háromszög oldalainak a hossza a, b és c, a köré írt kör sugara R, akkor a háromszög területe: abc 4R T = Bizonyítás: Rajzoljunk egy (általános!) hegyesszögű háromszöget! Rajzoljuk meg a köré írt körét! Kössük össze a középpontot a háromszög két csúcsával! AKB  = 2γ a kerületi és középponti szögek tétele értelmében. Rajzoljuk meg az ABK háromszög AB-hez tartozó magasságát! AKB egyenlőszárú, így az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárszöget. T = (ab  sinγ)/2 A háromszög területe két oldal és a közbezárt szög felhasználásával: T = (ab  sinγ)/2. KBF háromszögben sinγ = (c/2)/R = c/2R. Behelyettesítünk: Most rajzoljunk egy tompaszögű háromszöget! Rajzoljuk meg a köré írt körét! Kössük össze a középpontot a háromszög két csúcsával! AKB  = 2γ a kerületi és középponti szögek tétele értelmében. 2γ-t kiegészítjük 360°-ra. Megrajzoljuk az AKB háromszög magasságát. AKB egyenlőszárú, így az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárszöget. Észrevesszük, hogy sin(180° – γ) = sinγ. KBF háromszögben sin(180° – γ) = (c/2)/R = c/2R  sinγ = c/2R. Felírjuk a háromszög területét: T = (ab  sinγ)/2. Behelyettesítés után most is ezt kapjuk: T = (abc)/(4R). B γ 2γ2γ A C c a b γ + K 180° – γ  c 2 F R R T = ab  sinγ 2 = ab  c 2R 2 = abc 4R A B C c a b γ + K R R 2γ2γ 360° – 2γ F c/2 Nem kérem ezt a tételt! Nem kérem ezt a tételt!

9 Most megvizsgáljuk a szinusz-tétel egy következményét, ami a tétel egy másik alakjából adódik. Nem kérem ezt a tételt! Nem kérem ezt a tételt! Tétel: Tétel: Egy háromszög bármely oldalának és a szemközti belső szögének a hányadosa a háromszög körülírt köre sugarának a kétszeresével egyenlő: a sinα b sinβ a sinα === 2R A B C + R R R K Bizonyítás: A húrnégyszögek tétele miatt K-nál 2α, 2β és 2γ szögek adódnak. Bocsássunk K-ból merőlegeseket a háromszög oldalaira! ABK, BCK és CAK egyenlőszárú háromszögek, ezért az alaphoz tartozó magasság felezi a szárszöget és az alapot. Az AKH, BKF, ill. CKG háromszögekben: α β γ a b c    2α2α 2β2β 2γ2γ α a 2 b 2 c 2 β γ F G H sinα =  2R = a 2R sinα sinβ =  2R = b 2R sinβ sinγ =  2R = c 2R sinγ Mivel ezek az arányok mindegyike 2R-rel egyenlők, ezért egymással is egyenlők. A most bebizonyított összefüggés a szinusz-tételnek egy másik alakja. Ha a háromszög tompaszögű, a bizonyítás hasonlóképp történik; ezt bemutattuk az előbbi tétel igazolása során is. Kihasználjuk, hogy sin(180°-α) = sinα; sin(180°-β) = sinβ; sin(180°-γ) = sinγ. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

10  Ezt ki akarom hagyni! Ezt ki akarom hagyni! Egy utolsó megjegyzés a sinα b sinβ a sinα === 2R Legutóbb ezt az összefüggést kaptuk: Nem különös, hogy a háromszög egyetlen oldala és a vele szemközti szög már meghatározza a körülírt kört? A többi adatnak nincs is ebben szerepe? Tekintsük meg a következő ábrát: Mit jelent az, hogy az a-val szemközti szög α? Azt is, hogy az A-ból a BC szakasz α szög alatt látszik! Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyekből egy szakasz adott szög alatt látszik? Két köríven! Emlékeztetőül lássuk a megszerkesztésüket! Így már nem meglepő, hogy egyetlen oldal és a vele szemközti szög meghatározza nemcsak a háromszög köré írt körénak a sugarát, hanem magát a köré írt kör is. A BC a α + + K F α   

11 Összefoglaljuk a tudnivalókat az alkalmazáshoz Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben két oldal és az oldalakkal szemközti szögek közül hármat ismerünk, és a negyedikre szükségünk van, felírhatjuk a szinusz-tételt. ugyanazon ugyanazon Ha abban a formában használjuk a tételt, hogy az egyik tört a két oldal hosszát, a másik a szemközti szögek szinuszait tartalmazzák, ügyeljünk arra, hogy a két számlálóba ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön. S hasonlóan: a két nevezőbe ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön. Ügyeljünk akkor, ha a szinusz-tétel alkalmazásával szöget számolunk! A tétel a keresett szög szinuszát szolgáltatja; visszakereséssel kapjuk a szöget. A ]0; 1[ intervallumbeli szám azonban két olyan szög szinusz, amely 0° és 180° közé esik. Megoldás azonban – korrekt feladat kitűzés esetén – csak az egyik lehet. hosszabb oldallal szemben nagyobb, rövidebb oldallal szemben kisebb szög van! Azt, hogy a hegyes- vagy tompaszög-e az egyetlen megoldás, úgy dönthetjük el, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb, rövidebb oldallal szemben kisebb szög van! Olykor az is segít, hogy a tompa szög választása esetén a háromszög belső szögeinek összege 180°-nál nagyobbra adódna. Ha egy háromszögben két oldalt, és a rövidebbel szemközti szöget adják meg ismertként, több eset lehetséges! (A feladat kitűzése ekkor nem tekinthető korrektnek.) Ha a rövidebb oldal „túl rövid”, nincs megoldás (a szög szinuszára egynél nagyobb szám adódik); ha a rövidebb oldal hossza „speciális”, a háromszög derékszögű, s egy megoldást kapunk (a szög ekkor szinusza 1); ha a rövidebb oldal „elég hosszú”, két, nem egybevágó háromszög lesz a megoldás (a szög szinusza ebben az esetben egynél kisebb). 

12 Feladatok  Most nem kérek feladatokat! Most nem kérek feladatokat!

13 Ezt a feladatot nem kérem! Ezt a feladatot nem kérem! feladat: Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szög 84°-os. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát.Megoldás: 1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! 2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! 3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? 4. Írjuk fel a szinusz-tételt! AB C c = 10 cm b = 8 cm a = ? 84° α β Igen, ABC-ben β számítandó = sinβ sin84° 5. Fejezzük ki a sinβ értékét! sinβ = sin84°   0, Keressük vissza a β-t! 7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből! a 8. Mivel minden szög ismert, az a kiszámításához is felírható a szinusz-tétel: β  52,71°. α  43,29°. 84° + 52,71° + α  180°  α  43,29°. a sin43,29° 10 sin84°  a 9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki! sin43,29° sin84° 6,89 cm. a  10   6,89 cm.

14 Ezt a feladatot nem kérem! Ezt a feladatot nem kérem! feladat: Egy háromszög két oldala 8,6 cm, illetve 10,3 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szög 62°15’. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?Megoldás: 1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! 2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! 3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? 4. Írjuk fel a szinusz-tételt! AB C c = 10,3 cm b = 8,6 cm a = ? γ α 62°15’ Igen, ABC-ben γ számítandó. 10,3 8,6 = sinγ sin62°15’ 5. Fejezzük ki a sinγ értékét! sinγ = sin62°15’   1,0599 > 1 10,3 8,6 a feladatnak nincs megoldása 6. Mivel sinγ-ra 1-nél nagyobb érték adódott, ezért ennek a feladatnak nincs megoldása – ilyen háromszög nem létezik. A feladatban a rövidebb oldallal szemközti szöget adták meg. Egy háromszög egyértelmű szerkeszthetőségének egyik alapesete az, amikor két oldal, és a hosszabb oldallal szemközti szög adott. Esetünkben azonban nem így definiálták a háromszöget.

15 Ezt a feladatot nem kérem! Ezt a feladatot nem kérem! feladat: Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?Megoldás: 1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat! 2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket! 3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy számítandó? 4. Írjuk fel a szinusz-tételt! AB C c = 10 cm b = 8 cm a = ? 33° α γ Igen, ABC-ben γ számítandó = sinγ sin33° 5. Fejezzük ki a sinγ értékét! sinγ = sin33°   0, Keressük vissza a γ-t! 7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből! a 8. Mivel minden szög ismert, az a kiszámításához is felírható a szinusz-tétel: 42,91°137,09°. γ 1  42,91°; γ 2 = 180° – γ 1 ; γ 2  137,09°. 104,09° 9,91° 33° + γ + α  180°  α 1  104,09°; α 2  9,91°. a 1 sin104,09° 8 sin33°  ; a 9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki! sin104,09° sin33° 14,25 cm. a 1  8   14,25 cm. a 2 sin9,91° 8 sin33°  sin9,91° sin33° 2, 53 cm. a 2  8   2, 53 cm.

16 Most nem kérem ezt a feladatot! Most nem kérem ezt a feladatot! feladat: Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, míg a kerülete 18 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? Megoldás: Készítsünk vázlatot! Számoljuk ki a belső szögeket a 180° arányos osztásával! Megmutatjuk, hogyan folytatnánk a feladat megoldását akkor, ha szigorúan csak a már ismertetett képlethez ragaszkodnánk. abc Ismeretlen az a, b és c. Felírhatjuk a szinusz-tételeket: A B C a b c α β γ α:β:γ = 2:3:4; =9 (arányszámok összege); 180°:9 = 20°  1 részre jut 20°; α = 2  20° = 40°; β = 3  20° = 60°; γ = 4  20° = 80°. 40° 60° 80°  a sinα b sinβ = a sinα b sinβ = Az egyenletrendszer kiegészül: a + b + c = 18 Majd megoldjuk ezt az egyenletrendszert… De van egyszerűbb eljárás is! A szinusz-tétel így is megfogalmazható: Egy háromszögben az oldalak aránya a szemközti szögek szinuszainak arányával egyenlő: a : b : c = sinα : sinβ : sinγ A megoldást egyszerűen így folytathatjuk: sin40°  0,6428; sin60°  0,8660; sin80°  0,9848 0, , ,9848  2, : 2,4936  7,218 (egy részre jutó hosszúság) 4,640 cm a  0,6428  7,218  4,640 cm; 6,251 cm b  0,8660  7,218  6,251 cm; 7,109 cm c  0,9848  7,218  7,109 cm. Ugye, így sokkal egyszerűbb?...

17 Most nem kérem ezt a feladatot! Most nem kérem ezt a feladatot! feladat: Egy paralelogramma egyik szöge 112°. Az adott szöggel szemközti átló hossza 18 cm. Ez az átló a paralelogramma hegyesszögét 2:3 arányban osztja. Számítsuk ki a paralelogramma oldalainak a hosszát. Megoldás: 1. Készítsünk vázlatot, és tüntessük fel rajta az adatokat! A B C D 112° 18 cm α1α1 α2α2 2. Kiszámítjuk az A csúcsnál lévő belső szöget; a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°. 68° α 1 + α ° = 180°  α 1 + α 2 = 68°. 3. Ezt a szöget 2:3 arányban felosztjuk. 4. Találunk olyan háromszöget, amelyben két oldal és a szemközti szögek közül három ismert, és a negyediket ki kellene számolni? 5. Írjuk fel a szinusz-tétel! = 5; 68°:5 = 13,6° (egy részre jut) α 1 = 2  13,6 = 27,2°; α 2 = 3  13,2° = 40,8°. Igen, ABC-ben ismert a 112°, a 27,2°, a 18 cm, ki kellene számolni a b-t. b a27,2° 40,8°  b sin27,2° 18 sin112° = a sin40,8° 18 sin112° = b 6. Számoljuk ki b-t! 7. Újabb alkalmas háromszöget keresünk. ABC alkalmas, de kellene az ACB . ACB  és DAC  váltószögek, így egyenlők. a 8. Szinusz-tétel felírás és a kiszámolása. sin27,2° sin112° 8,87 cm b = 18   8,87 cm. 40,8° sin40,8° sin112° 12,69 cm a = 18   12,69 cm.

18 Most nem kérem ezt a feladatot! Most nem kérem ezt a feladatot! feladat: Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenessel három egyenlő részre osztjuk. Mekkora részekre osztják ezen egyenesek a szöggel szemközti oldalt? Megoldás: Nem három egyenlő részre!!! 1.Készítsünk vázlatot, tüntessük fel az adatokat és a kiszámítandó mennyiségeket! 2.Találunk olyan háromszöget, amelyben két oldal és a szemközti szögek közül három ismert, és a negyediket ki kellene számolni? 3.Majdnem. APC-ben AC ismert, x-et számítani kellene; de a szemközti szögek pillanatnyilag ismeretlenek. A még ismeretlen szögeket ki tudjuk számítani! AB C 10 cm 60° x y z 10 cm P Q 60° CAP  = 60°:3 = 20°. CPA  = 108°–20°–60° = 100° 20° 100° x sin20° 10 sin100° = sin20° sin100° 3,47 cm x = 10   3,47 cm. 4. Felírjuk a szinusz-tételt az APC háromszögben: 5. Kiszámoljuk x-et: 6. A szimmetria miatt z = x: 7. Az y a „maradék”: 3,47 cm z  3,47 cm. 3,06 cm y = 10 – x – z  3,06 cm.

19 Most nem kérem ezt a feladatot! Most nem kérem ezt a feladatot! feladat: a Egy háromszög területe 4920 cm 2 és két oldalának a szorzata a  b = cm 2 és az a oldallal szemközti szöge 64,01°. Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát. Megoldás: 1.Készítsünk vázlatot! 2.Keressünk a háromszög területére olyan összefüggést, amelyben lehetőleg két oldal szorzata is szerepel. Találunk ilyet; a T = (ab  sinγ)/2 ilyen. Hasznos-e ez nekünk? A B C a b c 64,01° β γ Ha meggondoljuk, ebből ki tudjuk számítani γ-t. Ha γ ismert, β is számítható (belső szögek összege 180°). Az a  b = ből egy oldal felírható a másik segítségével! Így olyan egyenletet írhatunk fel a szinusz-tétellel, amelyben csak egy ismeretlen oldal szerepel, s az kiszámítható. 3.Számoljuk ki a γ szöget a fenti fejtegetés alapján! 4920 = ab  sinγ 2 ab = =  sinγ 2  sinγ  0,9531  γ  72,39° 72,39°  4.Küszöböljük ki az egyik oldalt: a  b =  b = a ab 5.Írjuk fel a szinusz-tételt és számoljuk ki a-t és b-t:  β  43,6° a sin64,01° a 2 sin64,01° b sin43,6° sin43,6° =  = 116 cm89 cm a  116 cm; b = 10324/a  89 cm. c 6.Szinusz-tétellel c-t kiszámoljuk: c sin72,39° sin72,39° 89 sin43,6° sin43,6° 123 cm   c  89   123 cm.

20 Most nem kérem ezt a feladatot! Most nem kérem ezt a feladatot! feladat:  Egy szimmetrikus trapéz átlója 6,8 dm, rövidebb alapja 2,6 dm, egyik szöge 68°36’. Számítsuk ki a trapéz oldalait és a területét. Megoldás: 1.Készítsünk vázlatot, tüntessük fel rajta az adatokat és a kiszámítandó mennyiségeket! b 2.A szimmetria miatt AD = BC = b; bejelöljük. 3.A trapéz szárain fekvő szögek összege 180°, továbbá a szimmetria miatt ADC  = BCD  = 180° – 68°36’ = 111°24’ b 4.Találunk-e olyan háromszöget, amelyben két oldal közül az egyik a b, a másik ismert, s a velük szemközti szögek ismertek? (Mivel szinusz- tételt szeretnénk alkalmazni.) b Nem, mert sem az ACD, sem az ABC háromszögben nem ismert a b- vel szemközti szög! bLegyen az utóbbi. Két lehetőségünk van: vagy koszinusz-tételt alkalmazunk, vagy kiszámoljuk a b-vel szemközti szöget. Legyen az utóbbi. 5.Találunk-e olyan háromszöget, amelyben ismert két oldal és a velük szemközti szög, ill. egy oldal? 6.Szinusz-tétel felírása, abból egy szög kiszámítása: AB C D 2,6 dm 68°36’ 6,8 dm a b b 111°24’ Igen, az ACD háromszög erre alkalmas. α 2,6 sinα 6,8 sin111°24’ = sinα = sin111°24’   0,3560  α  20,85° 2,6 6,8 7.A γ szög kiszámítása a háromszög belső szögösszegéből: b 8.Szinusz-tétellel b kiszámítása: 9.ACB   111°24’ – 47,75°  63,65°. a 10.Szinusz-tétellel az a kiszámítása: 11.Magasság: m = b  sin68°36’  5,04 dm; 20,85° γ γ  180° – 111°24’ – 20,85°  47,75° 47,75° b sin47,75° sin47,75° 2,6 sin20,85° sin20,85° 5,41 dm   b  2,6   5,41 dm. 63,65° a sin63,85° sin63,65° 6,8 sin68°36’ sin68°36’ 6,54 dm   a  6,8   6,54 dm. 23,03 dm 2 12.T = (a + c)  m/2  (6,54 + 2,6)  5,04/2  23,03 dm 2.

21 Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika) Felhasznált irodalom: További sikereket a matematikához (is)! 


Letölteni ppt "A szinusz-tétel és alkalmazása Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani. ×"

Hasonló előadás


Google Hirdetések