Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani."— Előadás másolata:

1

2 A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani. ×

3 Tétel (koszinusz-tétel): Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. AB C γ b c a a a b  × = c  ×+ + + – – – 2 γ b cos cos cos b   ×b = a c 2 a c ββ   ×a = b 2 c 2 b c αα 

4 Értelmezzük a tétel állítását!  általánosmegoldásához A koszinusz-tétel az általános háromszög megoldásához használható (egyik) eszköz. általánosmegoldása Mit jelent az általános háromszög megoldása? általános Az általános azt jelenti, hogy sem a háromszög oldalaira, sem a szögeire nincsenek kikötések. is Ezek tehát tetszőlegesek lehetnek, de a tétel állítása akkor is érvényes, ha a háromszög valamilyen nevezetes háromszög (pl. szabályos, derékszögű, egyenlő szárú, stb.). megoldása:független A háromszög megoldása: elegendő számú, egymástól független adatból a háromszög hiányzó adatainak a meghatározása. függetlensége Mit jelent az adatok függetlensége? Azt, hogy egyiket sem határozza meg egyértelműen a többi adat. Pl. ha a háromszögnek mindhárom belső szögét megadnánk, ezek az adatok nem volnának függetlenek: kettő ismeretében a harmadik már kiadódik. (α + β + γ = 180°!) Ezt most kihagyom!

5  három független Az általános háromszög egyértelmű megadásához három, egymástól független adatra van szükség. Nézzük most meg újra a tételt (szöveg nélkül) ábrával és képlettel! Nem sérül az általánosság akkor, ha a három lehetséges eset közül csak az egyiket vizsgáljuk: AB C a b c γ c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cosγ  × Hány megadható, betűvel jelölt adat található a képletben? abcγ Négy: a, b, c és γ. épp ennyi határozza meg az általános háromszöget! Tehát három (épp ennyi határozza meg az általános háromszöget!) ismeretében a negyedik kiszámítható!

6 Most felidézzük, melyek a háromszög megszerkesztésének alapesetei, s megnézzük a koszinusz-tétellel a kapcsolatukat. A háromszög (egyértelműen) megszerkeszthető, ha adott: cαβαβ 1.egy oldal: c, és a rajta fekvő két szög: α, β (α + β < 180°); abγ 2.két oldal: a, b, és a közbezárt szög: γ; abc 3.három oldal: a, b, c (ahol teljesül a háromszög-egyenlőtlenség); abαab 4.két oldal: a, b, és a hosszabbik oldallal szemközti szög: α (a > b)  AB C ab c α β γ  × c 2 = a 2 + b 2 – 2abcosγ  Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? NEM! A két darab szög sok, az egyetlen oldal kevés! Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? IGEN! Alapesetből indulunk:  ×c 2 = a aa a 2 + b bb b 2 – 2abcosγ; innen behelyettesítés és négyzetgyökvonás után c cc c adódik. aa2aa2 bb2bb2 cc2cc2 bc2bcbc2bc α cosα= +– bc2bcbc2bc aa2aa2 bb2bb2 + cc2cc2 – aa2aa2 bc2bcbc2bc α Innen α visszakereséssel kiszámítható. αβγ α + β + γ = 180°  γ αβ γ = 180° – α – β. Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? IGEN! Alapesetből indulunk: c 2 = a aa a 2 + b bb b 2 – 2abcosγ; az előbb látottak szerint cosγ kifejezhető, majd γ γγ γ számítható. abcbcααα a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosα  cosα = ; innen α kiszámítható. bca b 2 + c 2 – a 2 bc2bcbc2bc α + β ββ β + γ γγ γ = 180°  γ γγ γ = 180° – α αα α – β ββ β.   × Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? IGEN! A feladat megoldható, de ehhez nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb.  × a A szög miatt csak az „a oldalra” írható fel a koszinusz-tétel: abcbcα a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosα aa2aa2 b= b2b= b2 c+ c2c+ c2 bcα – 2bccosα c+ c2c+ c2 0 aa2aa2 – bpozitív A b ismeretlen, erre nézve az egyenlet másodfokú – pozitív gyöke csak egy lesz! 

7 Összefoglaljuk a tapasztalatainkat Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben a három oldal és az egyik szög közül, mint adatok közül, hármat ismerünk, a negyedikre pedig a megoldáshoz szükségünk volna, felírhatjuk a koszinusz- tételt. szöggel szemközti Mindig az (ismert vagy kiszámítandó) szöggel szemközti oldal négyzete lesz egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva ennek a két oldalnak és a közbezárt szög koszinuszának a kétszeres szorzatát! Meg kell gondolni, hogy biztosan a koszinusz-tétel alkalmazása-e a legjobb választás! (Ha pl. ha a háromszög derékszögű háromszög, akkor ugyan a koszinusz-tétel is felírható, de a Pitagorasz-tétel választása célszerűbb!) adott A koszinusz-tételhez nem mindig az adott háromszög oldalait használjuk fel. a= 5 cmb= 8 cm γ= 70°bs b Ha pl. adott egy háromszög két oldala: a = 5 cm, b = 8 cm, a közbezárt szög γ = 70°, és ki kell számítani a b oldalt felező s b súlyvonal hosszát: C A B 5 cm 8 cm F 70° sbsbsbsb Most nem az ABC, hanem az AFB háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt (mert ismerjük a CF szakasz hosszát: CF = 4 cm – az AC fele).   ×

8 A tétel igazolása Nem kérem a bizonyítást! Nem kérem a bizonyítást! Helyezzük el a háromszöget egy koordinátarendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa (pl. a C) illeszkedjen az origóra! Az A és a B csúcs egy-egy helyvektorral megadható. A harmadik AB oldal egy különbségvektorral kifejezhető. Írjuk ezt fel egy vektoregyenletként! Szorozzuk meg mindkét oldalt skalárisan -ral! Használjuk ki, hogy a skaláris szorzás disztributív, azaz a szokásos módon bonthatjuk fel a zárójelet. A jobb oldalon írjunk helyett a vele egyenlő -t! Mivel (mert α = 0°, tehát cosα =1), ezért és. Viszont a skaláris szorzat definíciója szerint. Ha az oldalakat a-val, b-vel és c-vel jelöljük, s felhasználjuk (az ábra alapján), hogy,,, akkor épp a tétel állítását kapjuk: CAB  x ya b c = a b c = a – b a– =bc ab –ab – /  ( ) ab – c aa  – 2  +  =  bbab cc aa  =      cosα =   2aaa ba  =      cosγb a   = aa bb  =   2b cc c a  2 2b  2 2 c  2 2 – 2  + = ab   = bb   = cc c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cosγ A tételt bebizonyítottuk!

9 Alapvető feladatok Kihagyom a feladatokat, jöjjön a záró dia A sorszámok példatári sorszámokat jelentenek

10 Kihagyom ezt a feladatot Kihagyom ezt a feladatot 2976.a) feladat Egy háromszög két oldala 12 cm, illetve 10 cm hosszúságú. E két oldal által bezárt szög 42°-os. Határozzuk meg a háromszög harmadik oldalának a hosszát. Megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiséget! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 5.) Melyik a szöggel szemközti oldal? Írjuk fel! 6.) Akkor ennek a négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegének, ill. e két oldal kétszeres szorzatának és a közbezárt szög koszinuszának a különbségével! Írjuk fel! 7.) Helyettesítsünk be! 8.) Végezzük el a számítást! 9.) Vonjunk négyzetgyököt! BA C a b c γ  = 1 0 c m = 1 2 c m = 42° = ? Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c. A c oldal.  c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cosγ c 2 = – 2  10  12  cos42° c 2  – 178,35  65,65 c  8,1 cm. (–8,1 nem megoldás) 

11 Kihagyom ezt a feladatot Kihagyom ezt a feladatot 2976.b) feladat Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 7 cm, 8 cm és 9 cm. Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét. Megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Hogyan dönthető el, melyik a háromszög legnagyobb szöge? Válaszunkat indokoljuk! 4.) Jelöljük be a kiszámítandó szöget! 5.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 6.) Melyik a szöggel szemközti oldal? 7.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! A bal oldal c 2 ! 8.) Helyettesítsük be az adatokat! 9.) Végezzük el a kijelölt műveleteket! 10.) Fejezzük ki γ-t, a törtet egyszerűsítsük! 11.) Keressük vissza a γ szöget! BA C a b c  = 7 c m = 8 c m = 9 cm Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c.  c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cosγ 9 2 = – 2  7  8  cosγ 81 = – 112cosγ cosγ = γ  73,40°. A 9 cm-es oldallal szemközti. Hosszabb oldallal szemközt nagyobb szög van! γ A c oldal == 

12 Kihagyom ezt a feladatot Kihagyom ezt a feladatot Egy feladat, nem minden tanulság nélkül! Első megoldásként mi is ezt az utat választjuk – a koszinusz-tétel alkalmazását. 1. megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiségeket! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, mely három oldala és egy szöge közül három ismert, egy számítandó? B A C  b a c  Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Határozzuk meg a háromszög belső szögeit! Gyakori, hogy a diák gondolkodás nélkül kezd a feladat megoldásához, s azt a módszert választja, ami először eszébe jut – tehát nem mindig a legegyszerűbbet. = 3 c m = 4 cm = 5 c m γ=? β=? α=? Igen, ABC háromszög, a, b, c és γ.5.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Helyettesítsünk be az összefüggésbe! 7.) cosγ kifejezése, majd keressük vissza γ-t! 8.) Ismételjük meg az eljárást az α számítására! c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cosγ 5 2 = – 2  3  4  cosγ 24cosγ = 0  cosγ = 0  γ = 90°. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc  cosα3 2 = – 2  4  5  cosα   cosα = =  α  36,9°.  × 9.) Számítsuk ki a β szöget a háromszög belső szögeinek összegéből! α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β  53,1°. 

13 Miért tanulságos ez a feladat? Az először kiszámított belső szög 90°  derékszögű a háromszög! A derékszögű háromszög belső szögei egyszerűbben is kiszámíthatók. Honnan tudhattuk volna, hogy a háromszög derékszögű háromszög? Idézzük csak fel a Pitagorasz-tételt! Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. ÉS MEGFORDÍTVA: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Mekkorák is a feladatban megadott oldalak hossza? 3 cm, 4 cm és 5 cm. Mivel = 5 2, ezért a háromszög derékszögű! Ennek megfelelően készítsünk vázlatot! Az egyik belső szög már ismert: γ = 90°. Egy másik egyszerű szögfüggvénnyel számolható:  B A C a b c  = 3 c m = 4 cm = 5 c m α = ? β = ?  × γ = 90°  cosα =  4 5 α  36,9°. A harmadik szög az előbbiekhez hasonlóan: α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β  53,1°. A feladat megoldása előtt célszerű a lehetőségeket átgondolni!     ×

14 Kihagyom ezt a feladatot Kihagyom ezt a feladatot feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szöge 122°-os a háromszögnek. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát! Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.Megoldás:  1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) γ-val szemközt c  a bal oldalon c 2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: A B C a b cα β γ = 8 c m = 10 cm = 122° = ?  × Igen, ABC háromszög; a, b, c és γ. c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cosγ 100  a – 16a  (-0,5299) a 2 + 8,4787a – 36  0 a 1,2   ; – 8,4787   71, – 8,4787  14, x 1  – 11,5859 cm < 0; nem megoldás. x 2  3,12 cm > 0; megoldás!

15 A B C a b cα β γ = 8 c m = 10 cm = 122° = ? 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a 2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t!    ×  3,107 cm Legyen ez az α! Az a oldal. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc  cosα 3,107 2  – 160cosα 160cosα  154,4347  cosα  0,9647 α  15,28°. 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 15,28° + β + 122°  180° β  42,72°.  14.) Keressük vissza az α szöget! 

16 Kihagyom ezt a feladatot Kihagyom ezt a feladatot feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.Megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b 2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: AB C a b cα β γ = 8 c m = 10 cm = ? = 33° Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b 2 = a 2 + c 2 – 2ac  cosβ 64  a – 20a  (0,8387) a 2 – 16,7734a + 36  0 a 1,2   ; 16,7734   281,347 – ,7734  11, a 1  14,25 cm > 0; megoldás. a 2  2,53 cm > 0; megoldás!   ×

17 10 cm 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a 2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc  cosα 14,25 2  – 160cosα 160cosα  – 39,0625  cosα  – 0,2441 α  104,13°. 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 104,13° + β + 33°  180° β  42,87°. 14.) Keressük vissza az α szöget! Két megoldás adódott; okát a szerkesztés elvi menetén érthetjük meg: 33° A C1C1 C2C2 B r = 8 cm 2,53 cm 14,25 cm  b „elég nagy” ahhoz, hogy két megoldást kapjunk. A B C1C1 a b c α β γ = 8 c m = 10 cm = 3 3 ° = ?  14,25 cm 1. megoldás  ×  ×

18  8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a 2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 14.) Keressük vissza az α szöget! 2. megoldás Legyen ez az α! Az a oldal. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc  cosα 2,53 2  – 160cosα 160cosα  157,5991  cosα  0,9850 α  9,94°. 9,94° + β + 33°  180° β  167,06°. A B C1C1 a b c α β γ = 8 c m = 10 cm = 3 3 ° = ?  2,53 cm   ×

19 Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia) Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia) feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 54°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.Megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b 2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: AB C a b cα β γ = 8 c m = 10 cm = ? = 54° Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b 2 = a 2 + c 2 – 2ac  cosβ 64  a – 20a  0,5878 a 2 – 11,7557a + 36  0 A négyzetgyök alatt negatív szám áll! Nincs megoldás. (Nem létezik ilyen háromszög.)   × a 1,2   ; 11,7557   138,197 – ,7557   – 5,803 2 

20 Felhasznált irodalom: Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika) Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 9 (Sokszínű matematika) További sikereket a matematikához (is)!  ×


Letölteni ppt "A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével  : kattintás;  : tilos kattintani."

Hasonló előadás


Google Hirdetések