Fraktálok

Motiváció Three-Dimensional Mapping of Dislocation Avalanches: Clustering and Space/Time Coupling Jérôme Weiss and David Marsan Science 3 January 2003: 299 (5603), [DOI: /science ] Kristályos anyagok plasztikus deformációja során mintázatok figyelhetőek meg. A kezdetben sima felszín új felszíni profiljában A kialakuló diszlokációk elrendeződésében (cellaszerkezet) Lavinák középpontjainak elhelyezkedésében (jelzett cikk) – Mintázat időben és térben

Three-Dimensional Mapping of Dislocation Avalanches: Clustering and Space/Time Coupling Jérôme Weiss and David Marsan Science 3 January 2003: 299 (5603), [DOI: /science ]

Mintázat a szimulációkban is: – Az egy lavina által érintett cellák eloszlása nem véletlenszerű (videó a köv lapon) – Lokális deformáció eloszlásában erős korreláció és mintázat – a lokális feszültségekben erős (anti)korreláció

– Lokális deformáció eloszlásában erős korreláció és mintázat – a lokális feszültségekben erős (anti)korreláció

Fraktál-e, amit látunk? Mi a fraktál?

Cantor halmaz Ez is iteratív konstrukció n=1: az 1/3 és 2/3 közti nyílt intervallumot töröljük n=i+1: az előzőben megmaradt szakaszok közepét ismét kivágjuk Tekintjük azt a ponthalmazt, amihez ez a sorozat tart Szegmensek száma exponenciális an nő

Hány dimenziós? Topológiailag 0, mert nincs hossza Mivel több, mint egy pont? Kapacitás dimenzió: Egyes szegmensek hossza (1/3, 1/9, …) Felbontás (3, 9, …)

Fraktáldimenzió Milyen hosszú Nagy-Britannia partja?

Koch-görbe

Hausdorff dimenzió

Példák fraktálokra Geológia alakzatok – Geológiai képződményeken mindig van skála, különben nem lehetne tudni, hogy mekkora – Egy kő pont úgy néz ki, mint egy kietlen hegyoldal Törési rendszerek – Az Arab lemez 1m-től 400km-ig fraktál tulajdonságokat mutat Földrengés epicentrumok, kráterek, folyóhálózatok, felhők

Szimulálni is lehet Egyszerű szabály, rekurzív lépések Diffúzió limitált növekedés: széles csoportja a fraktáloknak – Mindig új és új részecskéket adunk a rendszerhez, amik kötődési valószínűsége függ a felület közelségétől A külső részek leárnyékolják a belsőket, így a külsők jobban növekednek Csúcsok fajlagos felülete nagyobb, ez jobban növekszik

Multifraktálok

Minden monofraktál multifraktál

Saját szimuláció, 1D

Edward-Wilkinson A random walk-ot gyorsan lehet szimulálni, de gyakran bonyolultabb az időfejlődés A kívánt fraktált csak sokára éri el Az idő függ λ-tól, nem lehet akármennyi Hogyan lehet számolni a mennyiségeket konkrétan? Véges rendszerre hogyan értékeljünk ki?

Hosszmérés

Boxcounting