Kockázat és megbízhatóság

Az előadások a következő témára: "Kockázat és megbízhatóság"— Előadás másolata:

1 Kockázat és megbízhatóság
Helyreállítható rendszerek megbízhatósága

2 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága
67 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága 1. elem t 2. elem t 3. elem t n. elem t Rendszer t . t t1 t2 t3 tn tn+1 Kockázat és megbízhatóság

3 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága
68 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága H(t) felújítási függvény Ha minden elem exponenciális működésű Kockázat és megbízhatóság

4 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága
69 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Felújítás alatt kikapcsolt rendszer - n elem soros kapcsolása t 1. elem 2. elem t 3. elem t Rendszer t Kockázat és megbízhatóság

5 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága
70 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Exponenciális működés és helyreállítás Soros kapcsolás Kockázat és megbízhatóság

6 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága
71 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Felújítás alatt bekapcsolt rendszer - n elem soros kapcsolása 1. elem t 2. elem t 3. elem t Rendszer t Kockázat és megbízhatóság

7 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága
71 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága υk(t)=0 k-adik elem nem működik υk(t)=1 k-adik elem működik Kockázat és megbízhatóság

8 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága
72 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Exponenciális működés esetén Kockázat és megbízhatóság

9 A megbízhatóság elemzésére szolgáló módszerek
Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal

10 Sztochasztikus folyamatok
A sztochasztikus folyamatok elmélete meghatározott valószínűségi törvényszerűségeket követő, időben lejátszódó (az időtől is függő) véletlen jelenségek vizsgálatával foglalkozik. Sztochasztikus folyamatnak nevezzük a (t) valószínűségi változók t paramétertől függő összességét, ahol t egy adott T paraméterhalmaz eleme.

11 Sztochasztikus folyamatok
Osztályozás a T paraméterhalmaz szerint: - diszkrét paraméterű (időben diszkrét), - folytonos paraméterű. Osztályozás az állapottér szerint: - diszkrét állapotterű, - folytonos állapotterű.

12 Markov folyamatok Azokat a folyamatokat, amelyeknél a folyamat egymást követő állapotai mindig csak a közvetlen megelőző állapottól függnek, Markov-folyamatoknak nevezzük. A diszkrét állapotterű Markov-folyamatok a Markov-láncok.

13 Kockázat és megbízhatóság
Markov-lánc A rendszer lehetséges állapotainak halmaza, az ún. állapottér: Véges Megszámlálhatóan végtelen Kockázat és megbízhatóság

14 Kockázat és megbízhatóság
Markov-lánc S értékű valószínűségi változók végtelen sorozata Markov-lánc, ha minden n és esetén Markov tulajdonság: az egymást követő állapotok csak a közvetlenül megelőző állapottól függnek. Adott jelen esetén a jövő feltételesen független a múlttól. Kockázat és megbízhatóság

15 Kockázat és megbízhatóság
Markov-lánc Egylépéses állapotátmenet valószínűség Esetén a Markov-lánc stacionárius átmenetvalószínűségű (homogén) Ismert kezdeti eloszlás esetén Kockázat és megbízhatóság

16 Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal
73 Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal F A Kockázat és megbízhatóság 16

17 Kockázat és megbízhatóság
74 28. példa Egy sok elemből álló berendezés hibamentes működési ideje λ = 0,1 paraméterű exponenciális eloszlással jellemezhető, helyreállítási ideje pedig μ = 0,67 paraméterű exponenciális eloszlással. a.) Írja fel a berendezés lehetséges állapotait, határozza meg az átmenet- és állapotvalószínűségeket! b.) Határozzuk meg az előző jellemzőket, ha a gyártórendszer két egymástól független azonos berendezésből (A és B) épül fel! Kockázat és megbízhatóság

18 Kockázat és megbízhatóság
74 a.) feladat Kétállapotú rendszer: működőképes (A) és hibás (F) állapot E1 = jó állapot E2 = rossz állapot l = 0,1 1-l = 0,9 1-m = 0,33 jó rossz m = 0,67 Kockázat és megbízhatóság

19 Kockázat és megbízhatóság
74 a.) feladat E2 = 0,1·E1 + 0,33·E2 E1 + E2 = 1 E1 = 0,87 E2 = 0,13 Kockázat és megbízhatóság

20 Kockázat és megbízhatóság
75 b.) feladat 0,33·0,9 E2 0,1·0,9 0,33·0,1 0,67·0,9 0,9·0,9 0,33·0,67 0,33·0,33 0,67·0,1 0,1·0,1 E4 E1 0,67·0,67 0,1·0,67 0,9·0,67 0,67·0,33 0,9·0,1 0,1·0,33 E3 0,9·0,33 Kockázat és megbízhatóság

21 Egyegységes javítás nélküli rendszer
2 1 t-től (t+Δt)-ig, 1-ből a 2-be megy át Kockázat és megbízhatóság

22 Egyegységes javítás nélküli rendszer
(elsőrendű lineáris diff. egyenlet) vagy t-ig hibásodik meg vagy Δt alatt Kockázat és megbízhatóság

23 Egyegységes javítható rendszer
F A átmeneti mátrix Kockázat és megbízhatóság 23

24 Egyegységes javítható rendszer
Kockázat és megbízhatóság 24