Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek

Az előadások a következő témára: "Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek"— Előadás másolata:

1 Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek
Diplomamunka Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek Valasek Gábor ELTE IK, 2008

2 Tartalom Bevezetés Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai Felosztási algoritmusok Felosztási felületek Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

3 Görbe- és felületdefiniáló sémák
A modellező és animációtervező rendszerekben a szabadformájú felületek és görbék fontos tervezési eszközök Miként tároljuk őket?

4 Görbék reprezentálása

5 Görbék reprezentálása

6 Görbék reprezentálása

7 Görbék és felületek A görbék és felületek reprezentációja tehát függ attól, hogy milyen sémák, felületeket és görbéket előállító algoritmusok segítségével számítjuk ki a tényleges térbeli objektumokat Ha növeljük a tárolt információk rendjét, azaz nem csak alappontadatokat, hanem például érintőket, felületi normálisokat stb. is figyelembe veszünk csökken a tárolandó pontok száma

8 Tartalom Bevezetés Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai Felosztási algoritmusok Felosztási felületek Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

9 Feladat Egy adott, geometriai adatokat tartalmazó halmaz elemeihez egy olyan görbét vagy felületet adni, amely rekonstruálja az alappontokat és az ott megadott magasabb rendű mennyiségeket is

10 Magasabb rendű adatok interpolálása
Több megoldás alappontok és első deriváltak vagy érintőirányok ismeretében görbékre: Harmadfokú Hermite interpoláció Összetett Bézier görbék Felületeknél pontok és parciális deriváltak vagy felületi normálisok ismeretében: Hermite patch Nielson és Piper

11 Tartalom Bevezetés Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai Felosztási algoritmusok Felosztási felületek Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

12 Görbék és felületek A '90-es évek elején két főbb reprezentáció a modellező és animációtervező rendszerekben: Poligonhálók NURBS-ök

13 Poligonháló

14 NURBS

15 Felosztási sémák Egy kiindulási pontháló rekurzív sűrítésével kapott ponthalmaz hatérértékeként definiálják a felületet Az előző kettő ennek speciális esete '90-es évek közepétől animációtervező rendszerekben:

16 Felosztási sémák

17 Felosztási sémák Előnyök: Problémák: Általános kiindulási topológia
Jól skálázható Numerikus stabilitás Hatékony implementáció ... Problémák: NURBS-ös és poligonhálós eszközök átültetése

18 Tartalom Bevezetés Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai Felosztási algoritmusok Felosztási felületek Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

19 Catmull-Clark séma Approximációs séma
Mindkét paraméterirányban harmadfokú Bézier felületdarabok vizsgálatából indult ki C2 folytonos határfelület, ami C1 folytonos extremális pontokban

20 Lapokból származó pontok
bi: szülő lap csúcsai

21 Élekből származó pontok
bi: szülő él végpontjai qi: szülő él két oldalán lévő lapok középpontjai

22 Csúcsokból származó pontok
Q: szülő csúcsba befutó lapokból származó pontok R: szülő csúcsra illeszkedő élekből származó pontok S: szülő csúcs

23 Catmull-Clark kiterjesztése pont-normális interpolációra
Az interpolálandó pontok I halmazához kell egy Catmull-Clark kiindulási M ponthalmazt konstruálni Felírhatjuk mátrix-vektor szorzások sorozataként a felosztás műveletét egy-egy csúcspont környezetében Az ehhez használt felosztási mátrix sajátvektorainak segítségével kifejezhető az eredményfelület pontja és a felületi normális is

24 Catmull-Clark kiterjesztése pont-normális interpolációra
Lineáris egyenletrendszer formájában megfogalmazhatóak az pont és felületi normáls interpolálásának feltételei Az egyenletrendszer felírásának van olyan módja, amely mellett az nem lesz szinguláris

25 Doo-Sabin séma Chaikin saroklevágási algoritmusának ötletét vitték tovább felületekre Szintén approximáló séma G1 folytonos határfelület

26 Új pontok

27 Csúcsokból származó új lapok

28 Élekből származó új lapok

29 Lapokból származó új lapok

30 Doo-Sabin séma kiterjesztése pont-normális interpolációra
Szintén I-hez kell kiindulási M A lapközéppontok a séma lépéseiben fixpontok És egyúttal a normálisok is azok lesznek, ha a definiáló topologikus lapoknak megfelelő pontok a térben síklapokat alkotnak

31 Tartalom Bevezetés Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai Felosztási algoritmusok Felosztási felületek Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

32 Magasabb rendű alapadatok
Az igény mindig is megvolt a felosztási sémák határfelületének görbületfolytonossága iránt Ezért konstruáltunk egy sémát alappontok, felületi normálisok, görbületi főirányok és főgörbületi értékeket interpoláló felületet létrehozására

33 A séma váza Pontonkénti határfelület konstruálása, amely interpolálja az összes megadott mennyiséget A topologikus élek mentén a szomszédos pontpárok közé hordozófelület konstruálása A hordozófelület segítségével a ponthálóba új pontok és mennyiségek beszúrása A topológia frissítése

34 Pontonkénti határfelület

35 Szomszédos pontok közti átmeneti felület

36 Új pont

37 Topológia frissítése

38 Pontonkénti határfelület
A tóruszt választottuk és a bemeneti adat típusától függően annak is csak speciális pontjait:

39 Elliptikus interpolálandó pont

40 Parabolikus interpolálandó pont

41 Hiperbolikus interpolálandó pont

42 Átmeneti felület és új pont
A szomszédos pontok egymáshoz való térbeli viszonyaitól és típusoktól függ Másodfokú racionális Bézier felületdarabbal írjuk le A ponthálóhoz hozzávételre kerülő pont ezen felületdarab (0.5, 0.5) paraméterértékéhez tartozik

43 Topológia frissítése A legegyszerűbb valamilyen heurisztika szerint szétvágni a lapokat Most úgy, hogy a keletkező két lap kerületének különbsége minimális legyen Azonban ritkítható a keletkező pontháló Pl. legnagyobb görbületű pontok megtartásával stb.

44 Összefoglalás Magasabb rendű adatok előnyei Felosztási sémák
Kiterjesztések interpolálásra