Egyszerű rendszerek Dr. Nagy Miklós

Forrás nélküli, konvektív áram nélküli (csak egyetlen extenzív tulajdonság terjed konduktív áramlással ) rendszerek vizsgálata. A valódi rendszerek mindig összetettek, több extenzív mennyiség egyidejű áramlásával kapcsolatosak, és igen gyakran a folyamat során a forrás erőssége is változik. Számos olyan műszaki folyamatot ismerünk azonban, amelynek vizsgálatához elegendő egyetlen extenzív mennyiség áramát tekintenünk. Ettől függetlenül, két okból is helyes, ha előbb az elképzelt, egészen egyszerű feladatokat elemezzük. így jobban tudunk magáról a módszerről beszélni a legbonyolultabb rendszer is egyszerű jelenségekből tevődik össze Előbb tehát részeire kell bontani a folyamatot és a részeket külön kell tanulmányozni. E nélkül nem tudunk majd kellőképpen tájékozódni az összetett jelenség törvényszerűségei között. A műszaki rendszerek általában annyira bonyolultak, hogy még akkor sem tudjuk megmondani hogyan fog egy összetett rendszer viselkedni, ha előre ismerjük az összes egyszerű részfolyamatot.

A műszaki rendszerek általában annyira bonyolultak, hogy még akkor sem tudjuk megmondani hogyan fog egy összetett rendszer viselkedni, ha előre ismerjük az összes egyszerű részfolyamatot. A részfolyamatok ismerete valóban nem elegendő az összetett rendszer viselkedésének leírásához. Ennek az az oka, hogy - mint azt a következő egyenlet is tükrözi - az egyes részfolyamatok között is fellépnek kölcsönhatások. Ezt Onsager összefüggésnek nevezik, ahol az Lik vezetési tényezők azt jelzik, hogy a k-adik intenzív mennyiség egységnyi különbsége az i-edik extenzív mennyiség milyen intenzitású áramát váltja ki. Az Onsager-összefüggés a kereszteffektusokat is tartalmazza és egyben azt is kifejezi, hogy egyensúly csakis akkor lehetséges, ha valamennyi jellemző intenzív mennyiség homogén eloszlású.

Valamely jelenség, vizsgálatakor nem lehet mindent regisztrálni, leírni, megismerni, a legkisebb részletet sem hagyva ki. De erre nincs is szükség. A vizsgálatok során csak arra kell törekedni ,hogy a folyamatra vonatkozó lényeges, meghatározó jellemzőket, törvényeket ismerjük meg. A legbonyolultabb technikai rendszerek működése is "elemi kiegyenlítődési folyamatok összessége". E kiegyenlítődési folyamatok felismeréséhez elegendő viszonylag rövid ideig tanulmányozni a szakterületet. Ennek alapján már mindazon fizikai változók, jellemző extenzív és intenzív mennyiségek is megismerhetők, amelyek a folyamat szempontjából lényegesek. Az összetett rendszer részfolyamatait az egyes extenzív mennyiségek áramlása jelenti. Dinamikai törvényeik már ismeretesek: ezek a mérlegegyenletek. Az egyenletben szereplő vezetési tényezők (sokszor még a forrássűrűségek is) számszerű értékeire a szakirodalomban találhatunk anyagot.

Részrendszerek A részfolyamatok összege még nem jelenti az együttes folyamatot, de tájékoztat a várható viszonyokról. Vizsgálata nem helyettesíti, hanem csak megelőzi az összetett rendszer vizsgálatát. Van azonban az elemekre bontásnak egy másik módja is, amelyet az előbbivel együtt kell alkalmazni, s ez a rendszer részrendszerekre bontása. A rendszer viselkedése szempontjából rendkívül fontos szerepük van a szigetelőknek. A szigetelők bizonyos extenzív mennyiségek áramlását megakadályozzák, ill. - anyagi tulajdonságaiktól függően - korlátozzák. Jellemző rájuk, hogy meghatározott intenzív mennyiségekhez tartozó vezetési tényezők értéke igen kicsi (ellenállásuk igen nagy). Ebből következik, hogy "abszolút szigetelő" nem létezik: az intenzív mennyiségek gradiensének egy adott értéke felett a "szigetelőn" áthaladó extenzív áram már jelentőssé válik. A rendszert környezetétől szigetelők választják el. Együttesüket a rendszer külső peremének nevezzük. Vizsgálataink csak e peremen belüli részt érintik. Erre a belső részre vonatkozóan írjuk fel a mérlegegyenleteket.

Részrendszerek A perem jellegének ismerete nélkül azonban semmit sem tudunk mondani a rendszer és a környezete közötti kölcsönhatásról. (A mérlegegyenletek csak az egyértelműségi feltételekkel együtt képezik a rendszer matematikai modelljét.) Szigetelők azonban nemcsak a rendszer és környezete között, de a rendszeren belül is vannak. Ezek a belső szigetelők a rendszert jól elhatárolható részekre bontják fel, és a rendszer belső peremét alkotják. Egy-egy ilyen belső peremmel elválasztott részt nevezünk részrendszernek. Olyan felületről van szó, amely bizonyos extenzív tulajdonságok áramlását megakadályozza, ill. korlátozza. Így belső perem lehet olyan fiktív (elképzelt) felület is, amely pl. a kémiai reakciók határát jelzi egy rendszeren belül. A részrendszerekre bontással lehetővé válik, hogy az egyes (az összetettnél lényegesen egyszerűbb) részeket elkülönítve vizsgáljuk, és a részeredményeket viszonylag egyszerűen illesszük. ("Szemléletesen" azt mondhatjuk, hogy ami két részrendszer határán az egyik rendszer vizsgálatának eredménye, az lesz a másik vizsgálatának feltétele.)

Egyszerűsített jelenségek és az általános mérlegegyenlet közötti kapcsolat vizsgálata Tiszta termikus kölcsönhatás: amelynek során energiaáram csak a hőmérsékletkülönbség hatására lép fel, (az entrópián kívül) más extenzív mennyiség nem áramlik, és a folyamat forrásmentes. pl.: ilyen kölcsönhatás van egy kívülről termikusan szigetelt rúdban, amelynek két vége különböző hőmérsékletű. A műszaki életben nagyon sok ilyen jellegű kölcsönhatással találkozunk, ezeket hővezetésnek nevezik. A tiszta hővezetés esetében csak termikus kölcsönhatás van, tehát az áramló extenzív mennyiség a belső energia (entrópia). Az ehhez tartozó intenzív mennyiség a hőmérséklet. Az energiaváltozás: TΔS Feltételezzük, hogy az összes többi intenzív mennyiség homogén eloszlású, vagyis - a hőmérsékleten kívül - valamennyi gradiense zérus. Akkor az általános mérlegegyenletbe az e energiasűrűséget és a T hőmérsékletet behelyettesítve, a következő összefüggést kapjuk:

Ebben az összefüggésben: Let : a vezetési tényező, amely megmutatja, hogy egységnyi hőmérséklet-különbség hatására milyen nagy a belső energia árama. Az Let vezetési tényező megegyezik a hővezetési tényező negatívjával: Let = -λ A belső energia sűrűsége függ a hőmérséklettől és a tömegsűrűségtől: tehát az idő szerinti differenciált, a láncszabály alkalmazásával, a következő formában adhatjuk meg:

Ha a tömegsűrűség a vizsgált időtartamon belül nem változik a jobb oldal második tagja zérus. A belső energia sűrűségének hőmérséklet szerinti deriváltja a fajhő és a tömegsűrűség szorzata: A mérlegegyenlet első tagja tehát: Az egyenlet minden tagját cvρ-val osztva: Ez a hővezetés általános differenciálegyenlete, a Fourier-egyenlet. (A λ/cvρ törtet rövidítve a betűvel jelölik, és a neve: hőmérséklet-vezetési tényező.) Az egyenlet egyszerűbb alakra hozható, ha feltételezhetjük, hogy a hőmérséklet-vezetési tényező állandó érték (nem függ a helytől). Ekkor a a "div" jel elé kihozható: A div grad operáció rövidített jelölése a Laplace-operátor, jelképesen:

A Laplace-operátor a nabla négyzeteként is írható: Segítségével a Fourier-egyenlet egyszerű alakban írható fel: A Fourier-egyenletet csak abban az esetben használhatjuk, ha a levezetés során tett feltételek a tényleges jelenségre is teljesülnek. Így tehát, ha a hőmérsékleten kívül valamennyi intenzív mennyiség homogén eloszlású; a tömegsűrűség a vizsgált időtartamon belül nem változik; a hővezetési tényező értéke nem függ a helytől; a rendszeren belül belső energiaforrás nincs; a konvektív energiaáram elhanyagolható a konduktív energiaáramhoz képest. Ha ezek a feltételek nem teljesülnek, más alakú összefüggést kell keresnünk.

Egyértelműségi feltételek egy konkrét berendezés esetén Peremfeltételt, az ún. Biot feltétel. Fizikai tartalma: a rendszerből a peremre érkező és a peremről a környezetbe távozó energia-áramsűrűség megegyezik egymással. (Érthető: a peremen magán nincs "energiatorlódás".) A konduktív áramokról tudjuk, hogy a jellemző intenzív mennyiség különbségével, ill. gradiensével arányosak, így a peremre érkező energia-áramsűrűség: A peremről a környezetbe távozó energiaáram a perem és a környezet hőmérséklet-különbségével lesz arányos, az arányossági tényező az α hőátadási tényező: A két áramsűrűség egyezése folytán : Ez az említett Biot-feltétel. Az α hőátadási tényező a perem anyagától, valamint a perem és a környezet közötti kölcsönhatás formájától függ, vagyis szintén vezetési tényező, a szigetelést jellemzi. Minél kisebb a számértéke, annál nagyobb a perem ellenállása a környezettel való termikus kölcsönhatással szemben.

Ezek szerint a tökéletes termikus szigetelést α=0 jelentené hiszen tökéletes szigetelés csak elméletben létezik! A gyakorlatban minden szigetelő vezetőképessége véges. Ez az oka annak, hogy az intenzív mennyiségek igen nagy gradiense esetén jelentős lehet a szigetelőn átáramló extenzív áram. Elektromos szigetelők pl. meghatározott feszültségkülönbség hatására "átütnek", az elektromos töltés árama olyan jelentőssé válik, hogy a szigetelő anyagi tulajdonságait megváltoztatja: a szigetelőből vezető lesz. Alkalmazott lépések áttekintése: Megállapítottuk, hogy tiszta termikus kölcsönhatásról van szó. Ennek alapján "kikerestük" a jellemző extenzív és intenzív mennyiségeket és behelyettesítettük őket az általános mérlegegyenletbe. A belső energia sűrűségének idő szerinti differenciálját láncdifferenciálással átalakítottuk a hőmérséklet idő szerinti differenciáljává. Ekkor került helyére az a hőmérséklet-vezetési tényező. Így kaptuk meg a Fourier-egyenletet. Ezt a három lépést követjük minden további esetben. Ez teszi majd lehetővé, hogy az egyes konkrét esetekben ne csak a folyamatot leíró ismert egyenlethez jussunk el, hanem azt is rögzítsük, hogy milyen feltételek mellett érvényes - tehát használható - az egyenlet.

Tiszta diffúzió Ennek ismert alapegyenlete a Fick-egyenlet. Ismét bizonyos feltételezésekkel élve jutunk el az általános formától a Fick-egyenletig. A tiszta diffúzió esetében csak kémiai anyagi kölcsönhatás van, tehát az egyetlen áramló extenzív tulajdonság a tömeg. Az ehhez tartozó intenzív mennyiség a kémiai potenciál. Feltételezzük, hogy az összes többi intenzív mennyiség homogén eloszlású, és tömegforrás nincs. Az általános mérlegegyenletbe tehát a tömegsűrűséget és a kémiai potenciált kell behelyettesítenünk: Itt Lρμ az a vezetési tényező, amely megmutatja, hogy a kémiai potenciál egységnyi különbségének hatására mekkora a tömeg árama. Vegyük figyelembe, hogy a kémiai potenciál a hőmérséklet és a sűrűség függvénye: A differenciálás láncszabályát a grad μ-re alkalmazva:

Homogén hőmérséklet-eloszlás esetében a jobb oldal első tagja zérus: grad T=0, tehát a tömeg-áramsűrűség: A technikában használt diffúziós tényező a grad ρ előtti kifejezés negatív értéke: Behelyettesítve: Ha a diffúziós tényező értéke állandó, vagyis nem függ a helytől, akkor D a div jel elé kihozható: A levezetett összefüggés már azonos az ismert Fick-egyenlettel.

A Fick-egyenlet tehát csak olyan diffúziós jelenség leírására alkalmas, amelyre a következők érvényesek: a kémiai potenciálon kívül valamennyi jellemző intenzív mennyiség eloszlása homogén; a D diffúziós tényező értéke nem függ a helytől; a rendszeren belül tömegforrás nincs; a konvektív tömegáram a konduktív áramhoz képest elhanyagolható. Teljesen analóg a hővezetési problémával.

A hővezetést és a diffúzió jelenségét egymáshoz hasonló jelenségeknek nevezzük, ha a peremfeltételek megfogalmazása is hasonlít a két jelenség esetében. Az ún. Nusselt-feltétel fizikailag azt fejezi ki, hogy a rendszerből a peremre érkező és a peremről a környezetbe távozó tömeg-áramsűrűség megegyezik egymással. (Érthetően itt is az a helyzet, hogy a peremen nem lehet tömegtorlódás.) A hővezetésre felírt Biot-feltételhez hasonlóan: ahol k a tömegátadási tényező, amely függ a perem anyagától, valamint a perem és a környezet közötti kölcsönhatás formájától, tehát a szigetelés jellemzője.

Egyszerű jelenségek alapegyenleteinek levezetése az általános mérlegegyenletből A tárgyalt jelenség : a közúti közlekedés Az áramlat nagysága: N = Q/T jármű / h, ahol Q a T idő alatt egy dx útszakaszon áthaladó járművek mennyisége. Az áramlat sűrűsége: Ahol azon dt időtartamok összege, amely alatt egy-egy jármű befutja a dx útszakaszt. Az átlagos útszakaszi áramlási sebesség: Vagyis: az egyes járművek dx útszakaszon mért átlagos sebességeinek súlyozott átlaga." Anélkül, hogy belemerülnénk a folyamat elemzésébe - ez olyan speciális feladat lenne, ami ismereteimet és felkészültségemet messze meghaladná - kíséreljük meg az alapegyenletet felírni.

Az általános mérlegegyenletben szereplő mennyiségek: a jellemző extenzív mennyiség sűrűsége, a jellemző intenzív mennyiségek, az áramlási sebesség és a forrás, A gépkocsik száma nyilván extenzív mennyiség. Ezek szerint az egységnyi úthosszra jutó járművek száma, vagyis az s a megfelelő extenzív mennyiség sűrűsége. Az áramsűrűség konduktív része itt nem jön számításba, hiszen "gépkocsi-diffúziót" nehéz lenne elképzelni. A konvektív rész a sűrűség és az áramlási sebesség szorzata. Forrásmentes esetben az egyenlet valahogy így nézhet ki: ill., mivel egydimenziós esetről van szó, a div helyett elegendő csak az x szerinti parciális deriváltat írni: Figyelembe kell venni azt is, ogy sv szorzat egyenlő az áramlat N nagyságával és írjuk fel az ún. Lighthill-Witham egyenletet: Forrástagok jöhetnek számításba, ha ún. csatlakozó- vagy elágazó áramlatok is vannak. Ilyen esetben a csatlakozásokon keresztül a vizsgált útszakaszba időegység alatt belépő gépkocsik száma jelenti a forrást.

Abban az esetben, amikor a konduktív áram hanyagolható el a konvektívhez képest az általános mérlegegyenletben az extenzív mennyiség sűrűségének helyére mindenütt a ρ tömegsűrűséget írjuk, a konduktív tag zérusnak vehető, tehát: Közvetlenül a tömegkontinuitás Reynolds-egyenletét kaptuk. Minden olyan esetben, amikor a konvektív árammal is számolni kell, még két extenzív tulajdonságot, az impulzust és a kinetikai energiát is be kell kapcsolnunk a vizsgálatba. Konvektív áramok esetén tehát sohasem beszélhetünk arról, hogy "egyetlen extenzív mennyiség" áramlik. Így további mérlegegyenleteket is fel kell írnunk, az impulzusra és a kinetikai energiára. Van egy lényeges különbség az eddig tárgyalt extenzív mennyiségek és az impulzus között, ami némileg bonyolítja a levezetést: a tömeg, energia, térfogat, a járművek száma skalár mennyiségek, az impulzus azonban vektor. A mérlegegyenletből kiindulva mindig meg tudjuk mondani, hogy a levezetett összefüggés milyen feltételek mellett érvényes. A műszaki életben leggyakrabban előforduló összefüggések mindig valamilyen elhanyagolás eredményeként adódnak. Alapvető hibákat kerülhetünk el, ha ismerjük ezeket az elhanyagolásokat, és becsülni tudjuk hatásukat.