KOMPLEX SZÁMOK Összefoglalás

Komplex számok részhalmazai-SZIGORLAT!! Valós + Képzetes ________ Komplex Valós=Racionális  Irracionális Racionális  Irracionális=? Valós  Képzetes=? Milyen műveletek vezettk ki egyes halmazokból? PL. Természetese számok: összeadás inverze- > egészek

KOMPLEX SZÁMOK ALGEBRAI ALAK z=a+bi i2-1 Műveletek: +,*,:, () n Átírva POLÁR KOORDINÁTÁKRA a=r cos b=r sin  EXPONENCIÁLIS ALAK z=rei  = z=r(cos  +isin ) i2 -1 Műveletek: *, : , n. gyökvonás, () n a + bi • r b TRIGONOMETRIKUS ALAK z=r(cos  +isin ) i2-1 Műveletek: *, : , n. gyökvonás, () n  f(x)=ex MACLAURIN SORA f(ix)=eix i2 -1 f(-ix)=e-ix θ a

Leonhard Euler -1=ei Jelentősége: Bázel, 1707. április 15. Apja:lelkész Szentpétervár, 1783. szeptember 18 1911 –től OPERA OMNIA 76 kötet - 25 000 OLDAL! 866 publikáció/ katlógus: 368 oldal!! Minden idők legnépszerűbb és legnagyobb matematikusa 13 gyermek (A matematika Beethovenje – 1730-1771: megvakult Heti 1 cikk!) Első gráfelméleti probléma Számelémélet Geometria Differenciál- és integrálszámítás Differenciál egyenletek Kombinatorika Fizika Euler szám: e EULER FORMULA -1=ei Jelentősége: Math world: 96 dolog van róla elnevezve! Gauss: 7 Cauchy:33 Halála után: 288 cikk

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Elimináció – Ceres! 1801 jan. 1. Komplex számok bizonyította be először az ALGEBRA ALAPTÉTELÉT. Ha p(x) n-edfokú polinom, n > 0, melynek együtthatói komplex számok, akkor a polinomnak a komplex számok körében multiplicitással számolva n gyöke van. Példa:

EXPONENCIÁLIS ALAK https://www.youtube.com/watch?v=zApx1UlkpNs Euler: https://www.youtube.com/watch?v=h-DV26x6n_Q

Algebra alaptétele KOMPLEX KONJUGÁLT TÉTEL Ha p(x) n-edfokú polinom, n > 0, melynek együtthatói VALÓS számok, és a z=a+bi komplex szám gyöke a polinomnak, akkor z’=a-bi konjugáltja is gyök. Példa: másodfokú egyenletek Példa: egy hetedfokú egyenletnek hány valós és hány komplex gyöke lehet? Hogyan találhatunk meg valós gyököket?

Algebra alaptétele Maradék tétel: Ha a p(x) polinomot elosztjuk (x – c)-vel, akkor a maradék p(c). p(x)=(x-c)q(x)+m(x)  Gyöktényező: (x – c) a p(x) polinomnak akkor és csak akkor gyöktényezője, ha c gyöke p(x)-nek: p(c)=0 GYÖKTÉNYEZŐS ALAK: p(x)=xn+a(n-1)x(n-1)+a1x+a0=(x-x1)1(x-x2) 2….(x-xk) k A KITEVŐK ÖSSZGE =n

Példa: Ha egy harmadfokú polinom egyik gyöke 2, másik pedig 3 + i , mennyi a harmadik gyöke? 𝑥=3−𝑖 Példa: Melyik az a polinom, amelynek egyik gyöke 3, másik gyöke i, harmadik gyöke i+1? Összesen hány gyöke van?

Algebra alaptétele – megoldóképletek? N=4 OK - Abel, Galios x = ½, 1 mo. VALÓS 2x −1 = 0 x2 −2 = 0 x3 − 1 = 0 (x −1)(x2 + x + 1) Másodfokú egyenlet megoldóképlete

1802 1828 tuberkulózis Modern algebra pl. csoportelmélet Ötödfokú egyenletnek NINCS megoldóképlete Binomiális tétel általánosítása Gauss – nem válaszolt leveleire

Egyenletek megoldhatósága Evariste Galois 1811-1832 Semmilyen negyedfokúnál magasabb fokú polinomnak nem létezik megoldóképlete!! Egyenletek megoldhatósága Galios elmélet –modern algebra, struktúrák elmélete A 15 éves Evariste Galois

Algebra alaptételének következményei KARAKTERISZTIKUS EGYENLET IS POLINOM: Multiplicitással számolva n sajátérték! Mit jelenhet ez? Példa: forgatás: nincs sajátvektor -> komplex sajátértékek->komplex vektorok! De mik is ezek? C2 tér: 2 dimenziós a C felett, szokásos bázis.