Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. habil. Kosztyán Zsolt Tibor

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. habil. Kosztyán Zsolt Tibor"— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. habil. Kosztyán Zsolt Tibor

2 A Kvantitatív módszerek c. tárgy célja Oktatási cél: A hallgatók megismerjék a legfontosabb mennyiségi módszereket, melyeket mind a termelésirányításban, mind a projektek, mind pedig a logisztika területén hatékonyan tudnak alkalmazni. Ezenkívül a hallgatók ismerkedjenek meg a legfontosabb statisztikai módszerekkel.

3 A gráfelméleti kutatások kezdete 1735 Euler megoldja a Königsbergi- hidak problémáját Kirchoff gráfelmélet és alkalmazása elektromos hálózatokban F. Guthrie: Négy szín probléma Cayley gráfelmélet alkalmazása szerves-kémiában Kuratowski síkba teríthetőség. II. világháború – minimális költségű folyamok, Ford-Fulkerson –as évek CPM, PERT.

4 Eljárások csoportosítása Heurisztikus módszerek hamar adnak gyors megoldást nem garantálják az optimális megoldás megtalálását Algoritmikus módszerek garantálják az optimális megoldást általában jóval lassabbak a heurisztikus módszereknél Evolúciós módszerek a kettő közti átmenetet képviselik egy heurisztikus módszer által megadott megengedett megoldásból indulnak, amelyet fokozatosan javítanak nem garantált az optimális megoldás megtalálása (véges lépésben)

5 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf: G = (N,A) egy véges ponthalmaz (csúcsok), és egy véges pontpár halmaz (élek) együttese. N ponthalmaz a pontok=csúcsok halmaza N={N 1, N 2,.., N n }. A pontpár halmaz az élek=pont párok halmaza A={A 1, A 2,.., A m }, ahol A k =(N i,N j )  A. Irányított gráf esetén a pontpárok rendezettek, ekkor N i az A k él kezdőpontja, N j pedig a végpontja. Irányítatlan gráf esetén a pontpárok nem rendezettek, vagyis (N i, N j ) = (N j, N i ).

6 Gráfelméleti alapfogalmak 1. Példa: Irányítatlan gráf megadása: G 1 :=(N 1,A 1 ); N 1 :={1;2;3;4;5}, A 1 :={(1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4)} 2. Példa: Irányított gráf megadása: G 2 :=(N 2,A 2 ); N 2 :={1;2;3;4;5}, A 2 :={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}

7 Gráfelméleti alapfogalmak Hurokél: Ha A j =(N i, N i )  A, akkor azt mondjuk, hogy A j egy hurokél. Hurokél: Ha A j =(N i, N i )  A, akkor azt mondjuk, hogy A j egy hurokél. Többszörös él: Ha  m,n, melyre (N i,N j )=A m =A n =(N i,N j ), és A m,A n  A; N i,N j  N, akkor a gráfban N i és N j között többszörös él van. Példa: G 3 :=(N 3,A 3 ); N 3 :={1;2}, A 3 :={(1,2); (1,2); (2,2)}

8 Gráfelméleti alapfogalmak (Valódi) részgráf: Azt mondjuk, hogy egy G p =(N p,A p ) gráf (valódi) részgráfja egy G=(N,A) gráfnak, ha N p  N, A p  A (N p  N, A p  A). Jelölés: G p  G (G p  G) Példa: G 2 :=(N 2,A 2 ); N 2 :={1;2;3;4;5}, A 2 :={(1,2);(1,3);(2,3);(2,4);(3,5);(4,5)}, G 4 :=(N 4,A 4 ); N 4 :={1;3;5}, A 4 :={(1,2);(2,3);(3,5)}

9 Gráfelméleti alapfogalmak Irányítatlan út: Az élek olyan sorozata, melyben bármely két szomszédos élnek van közös pontja. Irányítatlan út: Az élek olyan sorozata, melyben bármely két szomszédos élnek van közös pontja. Irányított út: Élek olyan sorozata, amelyben bármely él végpontja azonos a következő él kezdőpontjával (kivéve az utolsót).

10 Gráfelméleti alapfogalmak 1. Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): pl , Példa: Jelölés (érintett csúcsok felsorolása): (Irányított) egyszerű út: Olyan (irányított) út, ahol minden él csak egyszer szerepel. (Irányított) kör: Olyan (irányított) út, amelyben az első él kezdőpontja azonos az utolsó él végpontjával. (Irányított) egyszerű kör: Olyan (irányított) kör, amelyben egy él csak egyszer szerepel.

11 Gráfelméleti alapfogalmak Legyen adott G=(N,A), N={N 1, N 2,.., N n }, A={A 1, A 2,.., A m } Izolált pont: olyan csúcs, melyhez nem kapcsolódik él. Legyen G a továbbiakban irányított gráf. Csúcsok száma: Élek száma: Bejövő élek száma:

12 Gráfelméleti alapfogalmak Kimenő élek száma: Egy csúcs fokszáma: Példa:  + (1)=0,  - (1)=2,  (1)=2, |N|=5, |A|=6 Aciklikus gráf: Kört nem tartalmazó gráf.

13 Gráfelméleti alapfogalmak Súlyozott gráf: irányított vagy irányítatlan gráf súlyozott akkor, ha minden éléhez egy vagy több számot rendelünk. Ez a szám az él súlya. Erdő: körmentes gráf. Összefüggő gráf: Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két pontja között létezik egy irányítatlan út. Fa: Összefüggő, kört nem tartalmazó gráf.

14 Gráfelméleti alapfogalmak Egyszerű gráf: Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha nem tartalmaz hurokélt és többszörös élt. Szomszédos csúcsok: Két csúcs szomszédos, ha közöttük van olyan út, amely csak egy élet tartalmaz. Teljes gráf: Egy gráfot teljesnek nevezünk, ha bármely két csúcs szomszédos egymással.

15 Gráfelméleti alapfogalmak Feszítőfa: Egy gráf részgráfja feszítőfa, ha a részgráf a gráf valamennyi csúcsát tartalmazza és összefüggő, körmentes.

16 Gráfok reprezentálása Adjacencia mátrix Incidencia mátrix Adjacencia lista

17 Minimális költségű feszítőfa keresése Minimális költségű feszítőfa: Egy súlyozott gráf részgráfja minimális költségű feszítőfa (minimal spanning tree) ha: Feszítőfa (a gráf valamennyi csúcsát tartalmazza, összefüggő, körmentes) és a lehetséges feszítőfák közül minimális költségű.

18 Kruskál algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

19 Prim algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

20 Legrövidebb út keresése – Dijkstra algoritmussal O(n 2 )

21 Izomorfia, automorfizmus Egy G 1 =(N 1,A 1 ) gráf izomorf egy G 2 =(N 2,A 2 ) gráffal, ha létezik  :N 1  N 2, és  :A 1  A 2 kölcsönösen egyértelmű függvény. Egy gráf önmagával vett izomorf leképzését automorfizmusnak nevezzük.

22 Topológikus rendezés Egy G=(N,A) irányított körmentes gráf topologikus rendezésén a csúcsainak egy olyan sorba rendezését értjük, melyre teljesül, hogy ha N 1,N 2  N és (N 1,N 2 )  A akkor N 1,N 2 –t előzze meg a listában.

23 Topológikus rendezés – szintekre bontás 1. Első szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyeknek csak kimenő élük van. (források) 2. Ezekből a csúcsokból kimenő éleket töröljük. Majd a következő szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyek a módosított gráfban források addig ismételjük, ameddig az összes csúcsot szintekbe nem soroltuk. 4. Összekötjük a csúcsokat az eredeti gráfnak megfelelően.

24 Topológikus rendezés – szintekre bontás

25 Minimális út keresése – topologikus rendezéssel O(n+m)

26 Maximális folyamok - fogalmak Adott egy G=(N,A) súlyozott, irányított gráf és ennek két különböző pontja, s és t, melyeket forrásnak és nyelőnek nevezünk. (A forrásból csak kiinduló, a nyelőbe csak bejövő élek mennek). Adott még egy, az éleken értelmezett c:A  R + pozitív értékű kapacitásfüggvény. Ekkor G=(N,A) gráfot hálózatnak nevezzük. Az f:N 2  R függvényt folyamnak hívjuk, ha teljesülnek a következők: f(n 1,n 2 )=-f(n 2,n 1 )  (n 1,n 2 )  A, n 1,n 2  N f(n 1,n 2 )  c(n 1,n 2 ),  n 1,n 2  N

27 Maximális folyamok - fogalmak Ha f(n 1,n 2 )=c(n 1,n 2 ) akkor az (n 1,n 2 ) párat telítettnek nevezzük. Az f folyam értéke, melyet |f|-fel jelölünk, az s-ből kimenő összes folyam, azaz Legyen G=(N,A) egy hálózat. Legyen adott a hálózatban egy s forrás és egy t nyelő. Legyen N 1,N 2  N egy partíciója N-nek, vagyis N 1  N 2 =N, és N 1  N 2 = . Legyen továbbá s  N 1, t  N 2. Ekkor N 1,N 2 halmazt s,t- vágásnak hívjuk. Az N 1,N 2 kapacitásán a mennyiséget értjük.

28 Maximális folyamok - fogalmak Ha f egy folyam G-hálózaton, akkor definiáljuk az N 1,N 2 vágáson áthaladó folyamot. Ezt jelöljük f(N 1,N 2 )-vel, ahol Tetszőleges N 1,N 2,s,t - vágásra igazak a következők: |f|=f(N 1,N 2 ) |f|  c(N 1,N 2 ) és az egyenlőség elérhető

29 Maximális folyamok - fogalmak Adott egy G=(N,A) hálózat, egy s forrás, és egy t nyelő. Adott továbbá egy c:A  R + pozitív értékű kapacitásfüggvény. Jelölje r:A  R maradékkapacitás-függvényt, ahol  n 1,n 2  N esetén r(n 1,n 2 ):=c(n 1,n 2 )- -f(n 1,n 2 ). Az f folyamhoz tartozó javító gráf a G f =(N,A f ) az élein értelmezett r kapacitásfüggvénnyel, ahol A f ={(n 1,n 2 )| n 1,n 2  N, r(n 1,n 2 )>0}. A f ={(n 1,n 2 )| n 1,n 2  N, r(n 1,n 2 )>0}.

30 Maximális folyamok - fogalmak Adott egy G=(N,A) hálózat, egy s forrás és egy t nyelő. Adott továbbá egy c:A  R + pozitív értékű kapacitásfüggvény. Legyen továbbá f egy folyam G-n. A G f -beli irányított s,t utakat növelő utaknak hívjuk. Egy növelő úton szereplő élek maradék kapacitásainak minimumát az úthoz tartozó kritikus kapacitásnak, az úthoz tartozó éleket kritikus éleknek nevezzük.

31 Maximális folyamok – a probléma Adott egy G=(N,A) hálózat, egy s forrás és egy t nyelő. Adott továbbá egy c:A  R + pozitív értékű kapacitásfüggvény. Keressünk a hálózathoz f:N 2  R maximális folyamot.

32 Ford-Fulkerson algoritmus f 0,f 1,..,f k =f* folyamok sorozatát konstruáljuk a következőképpen: f 0 folyam az azonosan nulla folyam. Az f i birtokában f i+1 –et úgy kapjuk, hogy G fi javító gráfban keresünk egy javító utat. Az út mentén a d i kapacitással növelve kapjuk az f i+1 – folyamot. Érvényes tehát az |f i+1 |=|f i |+d i összefüggés. Akkor állunk meg, ha a folyamhoz már nem létezik növelő út.

33 Ford-Fulkerson algoritmus - példák

34

35 Edmondson – Karp heurisztika O(m 2 n) A folyam növelésére mindig a legrövidebb, vagy a legkevesebb élből álló növelő utak egyikét válasszuk.

36 Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő Több forrás, illetve több nyelő esetén a feladat bonyolultsága nem változik, mert a problémát vissza lehet vezetni az eredeti maximális folyam problémára. Be kell vezetni egy S, ún. „szuper termelőt” és egy T, ún. „szuper fogyasztót”. S-sel s 1,s 2,..,s n termelőket végtelen kapacitással össze kell kötni. t 1,t 2,..,t m fogyasztókat T-vel végtelen kapacitással össze kell kötni. Ezen a módosított hálózaton kell maximális folyamot keresni. A módosított hálózatból elhagyjuk S,T csúcsot, valamint S,T éleit.

37 Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő

38 Köszönöm a megtisztelő figyelmet! Elérhetőség:

39 Irodalom Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnant, James B. Orlin: Network Flows. PRENTICE HALL, Upper Saddle River, New Jersey


Letölteni ppt "Kvantitatív módszerek Készítette: Dr. habil. Kosztyán Zsolt Tibor"

Hasonló előadás


Google Hirdetések