Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, 2015. augusztus 12. Béres Zoltán 1.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, 2015. augusztus 12. Béres Zoltán 1."— Előadás másolata:

1 Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, augusztus 12. Béres Zoltán 1

2 Előzetes megjegyzések az előadáshoz tudományos vagy szórakoztató? lehet-e ezt tanítani? nem lesz szó: –a XX. század második felében megjelenő zenei irányzatokról –az Európán kívüli zenékről nem lesz zenei hangzó anyag 2

3 Tartalom (1/2) I. Püthagorasz és a többiek II. A pszichológiai oldal III. A hang IV. Hangsorok V. Hangközök VI. A hangok hossza 3

4 VII. Formák – transzformáció és aranymetszés VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása IX. Matematikai szöveg és zene X. A kotta mint függvény XI. Az elemző agy XII. Érzelem vagy értelem 4 Tartalom (2/2)

5 I. Püthagorasz és a többiek zene matematika 5

6 Püthagorasz (Kr.e. 570 k.–496) arányok :  zene  matematika 6

7 Anicius Manlius Severinus Boëthius A középkori skolasztika egyik megalapítója Institutio arithmetica (Aritmetikai bevezetés) Institutio musica (Zenei bevezetés) A tanítványaival (1385) 7 (480?–524)

8 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) „A zene a lélek matematikai gyakorlata.” 8

9 Marin Mersenne (1588–1648) „az akusztika atyja” Traité de l'harmonie universelle (1627) 9

10 Leonhard Euler (1707–1783) Tentamen novae theoriae musicae (1739) „A zene több, mint pusztán matematikai gyakorlat. Feltárja és felszabadítja agyunk rejtett nemlineáris dinamikáját.” 10

11 Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) „…[a zene] elszigetel a környezetemtől; az első három ütem meghallgatása után a negyediknél már semmit sem látok, átengedem magam gondolataimnak, s több nehéz problémát ilyen állapotban sikerült megoldanom.” 11

12 James Joseph Sylvester (1814–1897) „A zene az érzelem matematikája, a matematika az értelem zenéje.” 12

13 Maróthi György (1715–1744) Arithmetica, vagy számvetésnek mestersége (1743)  kb. 200 évig használták Soltároknak a kóták szerént való éneklésének mesterségének rövid summája (1740)  az első magyar nyelvű zeneelméleti munka 13

14 A két Bolyai Bolyai Farkas (1775–1856)  zeneelmélet Bolyai János (1802–1860)  hegedűjátékos  Muzsikatan – dolgozat 14

15 Rátz László (1863–1930) matematika-fizika szakos tanár, a KÖMAL szerkesztője  a Dal és Zene Egyesület elnöke 15

16 Fejér Lipót (1880–1959) matematikus, az MTA tagja  kiváló zongorista volt 16

17 Bonifert Domonkos (1942–2002) matematika-fizika- ének szakon végzett a Szegedi Tanárképző Főiskolán 1964-ben 17

18 Darvas Ferenc (1946 –) (színpadi) zeneszerző, zongorakísérő, Erkel-díjas  fejszámolóművész 18

19 Freud Róbert (1947–) algebra tanár (ELTE)  kiváló zongorista 19

20 Gyüdi Sándor (1959–) matematika–fizika szakos középiskolai tanár Ma (2010): a Szegedi Szimfonikus Zenekar vezető karmestere Ma (2015): a Szegedi Nemzeti Színház főigazgatója 20

21 Harcsa Veronika (1982 –) 2001-ben érettségizett a Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium speciális matematika tagozatán  dzsesszénekes 20

22 Vajon ez véletlen? 21

23 II. A pszichológiai oldal 23 Bal oldal: -- nyelv -- logika -- számolás -- fogalom- alkotás Jobb oldal: -- minták -- formák -- humor -- zene -- tánc -- képzelőerő -- téri képességek

24 A Mozart-hatás (1993) A kísérleti alanyok intelligencia-tesztet (tér– idő feladatokat) töltöttek ki, miközben:  Mozart-szonátát,  ismétlődő relaxációs zenét hallgattak, illetve  nem hallgattak semmit. Eredmény: A Mozartot hallgatók 8-9 ponttal jobb eredményt értek el. 24

25 Nem létezik a „Mozart-hatás” A Bécsi Egyetem Pszichológiai Alapkutatások Intézetének szakértő csoportját Jakob Pietschnig vezette. A kutatás során nem tudták bizonyítani a zene hatását a térbeli képzelőerőre. Pietschnig: „Mindenkinek ajánlom Mozart zenéjét, de a kognitív teljesítőképesség javulásához fűzött elvárások nem teljesülnek a komponista művei által” – fogalmazott Pietschnig. (HVG, május 5.) 25

26 26 A zenehallgatás hatása Azok a diákok, akik ütem per perc sebességű klasszikus zenét hallgattak tanulás közben, például Beethoven Für Elise-ét, 12 százalékkal jobban teljesítettek matematikadolgozatnál, tehát egy egész jeggyel jobbat kaptak – állítja Emma Gray klinikai szakpszichológus. (www.life.hu, )

27 A Kodály-módszer 27 Kodály-módszeren alapuló Látható hangok elnevezésű, gyermekek számára kifejlesztett zeneoktatás -> „A zenei képzés hosszú távú hatásai között a kutatók a matematikai készségek és a kreativitás fejlődését is megfigyelték.” (mta.hu, ) Honbolygó Ferenc

28 Gombás Judit és Stachó László: Matematikai és zenei képességek vizsgálata éves gyerekeknél (2006) A matematikai képességek korrelálnak a zenei képességekkel. Különösen a problémamegoldó képesség van szoros kapcsolatban a ritmusérzékkel. Az előzetes zenetanulás évei korrelációban van a matematikai megértéssel kapcsolatos teszt eredményeivel. (http://elib.kkf.hu/okt_publ/tek_2006_35.pdf) 28

29 III. A hang 29

30 A zenei hang  a hangerő  a hangszín  a hangmagasság 30

31 A hangszín trombita fagotthangvilla A fülünk érzékeli a hanghullám mintáját. Vajon mitől vannak ezek a minták? 31

32 Felhangok – A húr rezgése 1. felhang (alaphang) 2. felhang (sin 2x+cos 2x) 3. felhang (sin 3x+cos 3x) 4. felhang (sin 4x+cos 4x) 5. felhang (sin 5x+cos 5x) 6. felhang (sin 6x+cos 6x) 7. felhang (sin 7x+cos 7x) 32

33 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) A rezgő húr és a hővezetés problémája Fourier-tétel: Minden rezgőmozgás felbontható harmonikus rezgőmozgá- sok összegére. Következmény: Minden hangszín végtelen sok felhangra bontható. A tétel zenei hangokra vonatkozó következménye előbb volt ismert, mint maga a tétel. 33

34 Mit is jelent ez az előállítás? p(t) = a 0 + a 1 cos(wt) + b 1 sin(wt) + a 2 cos(2wt) + b 2 sin(2wt) + a 3 cos(3wt) + b 3 sin(3wt) Rajzoltassuk meg egy rajzolóprogrammal a következő függvényeket: y 1 =1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x) y 2 =1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,2*sin(2x) y 3 =1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,1*sin(2x) -0,6*cos(3x)-0,2*sin(3x) 34

35 Felhangok – egy kis akusztika 35

36 IV. Hangsorok 36

37 A szorzási szabály t 8 = [2/1] t 5 = [3/2] t 4 = [4/3] t 5 + t 4 = t 8pl. c–g és g–c’ = c–c’ dó’ = (dó · (3/2)) · (4/3) = dó · ((3/2) · (4/3)) Mit jelentene az arányok osztása? dó : szó = 2 : 3 => szó = dó · (3/2) szó : dó’ = 3 : 4 => dó’ = szó · (4/3) 37

38 Egy versenyfeladat Matematika Határok Nélkül, 2000/2001, próbaforduló 2. feladat: Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó’-ré’-mi’ megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó- dó’). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá). Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok átmérője 1 cm. 38

39 A feladat megoldása: d – r – m – f – s – l – t – d’ – r’ – m’ 16 s = 16 · 2/3 = 32/3 r = (32/3) : (3/4) = 32 ·4 : (3 · 3) = 128/9 l = 128/9 · 2/3 = 256/27 m = (256/27) : (3/4) = 256 ·4 : (27 · 3) = 1024/81 t = 1024/81 · 2/3 = 2048/243 f = 16 · 3/4 = 48/4 = 12 De mi lett a szomszédos hangok aránya? 39

40 Püthagoraszi hangsor d – r – m – f – s – l – t – d’ Püthagoraszi limma: m–f, t–d A zenetörténetben megjelentek a funkciók (I,IV,V) és ettől a püthagoraszi hangsor a háttérbe szorult. 40

41 T: d – m – s Ok S: f – l – d’ Ok D: s – t – r’Ok Hurrrrrrá! Most már minden rendben van? 41 d – r – m – f – s – l – t – d’ „Tisztítsuk ki” a fő funkciókat!

42 Énekeljünk nagy szekundot! (dó – ré) Mekkorát lépjünk? 1. eset szó : dó = 4 : 3 szó : ré = 3 : 2 2. eset lá : dó = 6 : 5 lá : ré = 4 : 3 Más baj is van… Mi a megoldás? 42

43 A 12-fokú temperált hangsor dó = C Cisz = C · q D = Cisz · q = (C · q) · q = C · q 2 Disz =... = C · q 3 C’ = C · q 12 2C = C · q 12 2 = q

44 Mi változott? 9/8 = 1, nagy szekund 10/9 = 1,111… -- nagy szekund 16/15 = 1,0666… -- kis szekund helyett: kis szekund: nagy szekund: 44

45 A háromféle nagy szekund arány az arány tizedes törtben kifejezve 1,1111,12251,125 elnevezés (magyar) kis egész hang temperált egész hang nagy egész hang elnevezés (latin) tonus minor tonus maior 45

46 A temperált hangsor – pro és kontra veszteség lista:  az oktávon kívül nincs akusztikailag tiszta hangköz. pl. a kvint 3/2 aránya a temperálással: lesz az 1,5 helyett. nyereség lista:  az összes hangnem egyformán alig-hamis, vagyis egyformán elfogadható. 46

47 Miért éppen 12 fok?  ha több lenne: nehezen tudnánk megjegyezni a dallamokat (lásd: indiai zene – 24-fokú)  ha kevesebb lenne: nem lenne elég kombinációs lehetőség a dallamok szerzésére (lásd: egészfokú skála) „Az európai kultúra azért tudott közel 2600 év alatt ilyen magaslatokra jutni a zenében, mert Püthagorasz felfedezését, hogy összefüggés van a geometriai méretek és arányok, valamint a hangmagasság között, rendszerré tudta szervezni.” (Pap János) 47

48 d – r – m – f – s – l – t – d’ És mi a helyzet az ötfokú hangsorral? r f – s – l – t r – m s – l – t d – r f – s – l d’ d – r – m s – l d’ 48

49 V. Hangközök 49

50 Konszonancia és disszonancia Minél több felhang esik egybe, annál kellemesebb érzetet kelt. c és g c és e c és d 50

51 Konszonancia Már a püthagóreusok is megfogalmazták azt, hogy a kis (természetes) számokkal leírható hangközök szólnak jól. A t8, t5, t4, n3, k3, n6, k6 (t1) hangközök számítanak konszonánsnak a klasszikus zeneelméletben. 51

52 Különbségi hangok 1. Az énekkar tiszta intonációjának hatására „olyan hangok szólalnak meg, amelyeket a kórus nem is énekel”. (Kodály)  orgonaépítés 52

53 Különbségi hangok 2. 53

54 VI. A hangok hossza 54

55 A törtek tanítása Ritmus-egyenletek Milyen értékű hang hiányzik az ütemből? 55

56 Pontozott hangok Egy elméleti kérdés: Hány pontot kell tennem a félhang után, hogy az értéke legalább egész legyen? 56

57 Nem csak felezni lehet! 57

58 VII. A zenei formák 58

59 Geometriai transzformációk a zenében 1. Eltolás a zenében: kánon, imitáció, szekvencia Tengelyes tükrözés: tükörkánon, inverzió Középpontos tükrözés: rákkánon Hasonlóság – nyújtás: augmentáció Hasonlóság – zsugorítás: diminúció Transzformációk kompozíciója 59

60 Kottapéldák jegyzéke 1A.Praetorius 1B. J.S. Bach: A fúga művészete 2.J.S. Bach: Kétszólamú invenció 3.??? (Darvas Gábor) 4.W.A. Mozart 5.??? (Darvas Gábor) 6.??? (Darvas Gábor) 7A. J.S. Bach: A fúga művészete 7B. J.S. Bach: A fúga művészete 7C. J.S.Bach: Zenei áldozat 60

61 1A. Eltolás a zenében: kánon 61

62 1B. Eltolás a zenében: imitáció 62

63 2. Eltolás a zenében: szekvencia 63

64 3. Tengelyes tükrözés: tükörkánon 64

65 4. Középpontos tükrözés: rákkánon 65

66 5. Hasonlóság – nyújtás: augmentáció 66

67 6. Hasonlóság – zsugorítás: diminúció 67

68 7A. Transzformációk kompozíciója 68

69 7B. Transzformációk kompozíciója 69

70 7C. Transzformá- ciók kompozíciója 70

71 Tillai Aurél: Kvint-kánon (2008) 71

72 Melyik téglalap a „legszebb”? a:b=1:1sectio aurea a:b=1:2 a:b=1:3 a:b=1:4 72

73 Az aranymetszés Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek nevezzük, ha a : b = (a + b) : a ab Ha a + b = 1, akkor a piros gombóc pontosan a pontban van. 73

74 A Fibonacci-sorozat Első két tagja 1. A többi tag az előző kettő összege. 1. tag: 18. tag: = tag: 19. tag: = tag: = 210. tag: = tag: = 311. tag: = tag: = tag: = 8 7. tag: = 13 74

75 Keressük az aranymetszetet! Fibonacci-számok: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Aranymetszés: kb. 0,618 OOOOOO 0/2=0; 1/2=0,5; 2/2=1. OOOOOOOOOOOOO7/12=0,58 OOOOOOOO 0/7=0; 1/7=0,14; 2/7=0,29; 3/7=0,34; 4/7=0,57; 5/7=0,71; 6/7=0,86; 7/7=1. OOOOO 0/4=0; 1/4=0,25; 2/4=0,5; 3/4=0,75; 4/4=1. 75

76 Számoljuk meg a taktusokat! Jadasson szerint: a 8 ütemes Beethoven dallamok csúcsa rendszerint a 6. ütemre esik, vagyis a dallam szerkezete: = 8. Vajon tudatosan számolt-e Beethoven? (Nem csak Beethovennél figyelhető meg ilyen véletlen(?)!) 76

77 A Himnusz 77 (Iharos Csabáné, Szénási Eszter) 2:18 hosszú, 1:31-nél van a csúcspontja: 91/138 = 0,659 (Φ=0,618)

78 Az aranymetszés Bartóknál pozitív aranymetszés0,618 : 0,382 (a hosszabb rész van elől) negatív aranymetszés0,382 : 0,618 (a rövidebb rész van elől) A következő példa Bartók 2 zongorás ütős szonátájából való, annak is a kidolgozási részét láthatjuk (134–247. taktus) 78

79 A 177. taktus: (177–133)/(248–133) = 44/115 = 0,383 0,382 0,618 A 205. taktus: (205–176)/(248–176) = 29/72 = 0,402 A 166. taktus: (160–133)/(177–133) = 27/44 = 0,614 (28/72 = 0,389; 27/72 = 0,375) 79

80 Véletlen? Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele 80

81 Bartók dallamai Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele 81

82 VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása? Zénón paradoxonja: Akhilleusz és a teknős Szamosi Géza: A polifon zene és a klasszikus fizika (1990)  „...az idő csak másodlagos, származtatott dimenzió, amelynek a léte a testek mozgásához...van kötve” – gondolták a görögök  Galilei „az időt életünk üteméből dimenzióvá változtatta, vagyis egy absztrakt paraméterré” (Gillespie, 1960) 82

83  Az idő egészen új szemlélete a fizikában úgy jelent meg, mintha egyszerűen csak egy okos matematikai újítás lenne  Rendkívül meglepő, hogy míg Galilei más eszméi szenvedélyes ellenzőkre és támogatókra találtak, addig az idő szerepére vonatkozó forradalmi felismerése egyáltalán semmiféle izgalmat nem váltott ki  az idő folyása: a polifon zene – az időütem tartását felváltotta az idő mérése 83

84 IX. Matematikai szöveg és zene Egykori matektanárom pl. maga megzenésítette a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Zseniális volt, de így sem bírtam megjegyezni. (Bejegyzés egy internetes fórumon) 84

85 Angol nyelvű példák Hotel Infinity (Hotel Califonia, Eagles) A végtelen szálló problémájáról Stairway to Seven (Stairway to Heaven, Led Zepelin) A 7-es számról Imaginary (Imagine, John Lennon) A képzetes számokról 85

86 Magyar nyelvű példák „Az n faktoriális. Mindig aktuális. Az n faktoriális. Sorrendekből a maximális. Álmodban is kombináljad, hogy n darab különböző tárgyat n faktoriális féleképpen rendezhetünk sorba szépen. Elmondom, hogy 6 lánnyal hányféleképpen randevúzz: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.” (Bëlga) a-szor a az a négyzet, kis angyalom, b-szer b az b négyzet, kis angyalom, a kettőnek összege, Pitagorasz tétele, kis angyalom. (ismeretlen szerző) 86

87 Erősebb idegzetűeknek: Ha én gyökjel volnék, négyzetgyököt vonnék, Sok-sok valós számhoz másikat rendelnék, Ki nem használ engem, az tovább nem léphet, Hisz gyökvonás nélkül nincs megoldóképlet. Ha én egész volnék, természetes volnék, 3-mal osztható Catalan-szám volnék, Két szomszédom közül prím lenne mindkettő, Például lehetnék én a

88 X. A kotta mint függvény Mit jelenít meg valójában a kotta? g : h = c : e log (g/h) = log (c/e) log g – log h = log c – log e Tehát azonos rezgésarányú hangok azonos távolságra vannak egymástól.  x tengely: idő,  y tengely: a hangok frekvenciáinak a logaritmusa 88

89 XI. Az elemző agy – minták 89

90 XII. Értelem vagy érzelem? matematika  értelem zene  érzelem ? „Az ember csak azt hallja meg, amit megért.” Pap János 90

91 Ajánlott olvasmányok Darvas Gábor: A zene anatómiája Zeneműkiadó, Budapest, 1975 Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása Magvető Kiadó, Budapest, 1978 Benkő András: A Bolyaiak zeneelmélete Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975 Kardos Pál: Kórusnevelés – kórushangzás Zeneműkiadó, Budapest, 1969 Pap János: Hang – ember – hang Vince Kiadó, Budapest, 2002 Lendvai Ernő: Bartók dramaturgiája Zeneműkiadó, Budapest,

92 https://www.youtube.com/watch?v=ou_Dl0_Bll0 2: :43 92


Letölteni ppt "Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, 2015. augusztus 12. Béres Zoltán 1."

Hasonló előadás


Google Hirdetések