Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett Valószínűség - Esély Feltételes valószínűség - Bayes-tétel Valószínűség eloszlások Várható hasznossági függvény.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett Valószínűség - Esély Feltételes valószínűség - Bayes-tétel Valószínűség eloszlások Várható hasznossági függvény."— Előadás másolata:

1 3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett Valószínűség - Esély Feltételes valószínűség - Bayes-tétel Valószínűség eloszlások Várható hasznossági függvény Kockázatviselő típusok

2 Bizonytalanság (1) A bizonytalanság és a kockázat megkülönböztetése (Knight) Valószínűség: a priori és a posteriori A nagy számok törvénye és annak következményei –érvényesül-e az „átlag törvénye”? Valószínűségi mérték definíciói –szubjektív valószínűség –A Kolmogorov-féle valószínűség-elmélet –hazárd-játékok: relatív gyakoriság –valószínűség és esély:

3 Valószínűségi szabályok –Ha egy eseményre Prob(X=x)=0 akkor az soha nem következik be, míg ha egy eseményre Prob(X=z)=1, az minden esetben bekövetkezik –Az összes lehetséges esemény együttes valószínűségére Prob(X= Σ x) = 1 –Ha Prob(X = x) = π, akkor Prob(X = nem x)= (1–π) –Két esemény független, ha Prob(A or B) = Prob(A+B) = = Prob(A)+Prob(B) –Két esemény nem független egymástól, ha –Prob(A+B) = Prob(A)+Prob(B) –Prob(A and B) –Ha két esemény független, akkor Prob(A and B)= Prob(A) * Prob(B)

4 Bizonytalanság (2) Egy teljes információs döntési modell bizonytalanság mellett: profitmaximalizáló versenyző vállalat bizonytalan árinformációval Az ár helyett annak várható értéke a termelő számára fontos jelzés A megoldás:

5 Feltételes valószínűség (1) Példa: tegyük fel, hogy egy kosárban 10 alma van: 6 piros és 4 sárga. Ha úgy választunk egy almát, hogy azt visszatesszük, a piros alma választásának valószínűsége = 0.6, a sárgáé 0.4. Ha nem tesszük vissza:

6 Feltételes valószínűség (2) Általános szabály:, amiből Venn diagram A: 1.– (1. and 2.) B: 1. and 2. – C C: 1. and 2. and 3. D: 2.– (1.+3.) + C E: 2.– (1. and 3.)–C F: 3. – (2. and 3.) AB C D E F

7 Feltételes valószínűség (3) Még egy példa: 3 selejtes villanykörte összekeveredett 6 jóval. Mi a valószínűsége, hogy 2, egymás után véletlenszerűen kiválasztott villanykörte egyaránt jó? Ha a jó villanykörtét G-vel jelöljük:

8 Függetlenség (1) A statisztikai függetlenség egy szigorú, a valószínűségi modellben definiált fogalom. Két esemény, A és B függetlenek, ha A bekövetkezésének valószínűsége – illetve a valószínűség ismerete – nem befolyásolja B bekövetkezésének valószínűségét és Példa: két kockát dobunk és a következő kimeneteleket figyeljük meg: (A) az első kocka 5-t mutat; (B) a kettő összege 7; (C) a kettő összege 10. Mi a valószínűsége, hogy a kettő összege 7 lesz, feltéve, hogy az első 5?

9 Függetlenség (2) A független eseményekre tehát Független esemény-e (c) (a)-tól?

10 Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (1) Bayes analízis: a valószínűségek meghatározásához felhasználjuk a szakértői becsléseket is Példa: használt autó vásárlása az autószerelő előzetes véleménye nélkül, vagy a szerelő véleményének figyelembe vételével. Feltevések: nagyon sok használt autó megfigyeléséből a jó autók (G) előzetes valószínűsége 70%, a rosszaké (F) 30%. Egy autószerelő az általa átnézett rossz kocsik 90%-a esetében helyesen minősítette azokat rossznak és a jó kocsiknál 80%-os volt a helyes minősítések aránya. Mi a valószínűsége annak, hogy rossz autót vásárolunk, ha (a) a szerelő rossznak („F”) minősítette azt; (b) ha a szerelő jónak („G”)minősítette azt?

11 Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (2) A feltételes valószínűségek matrixa

12 Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (3) Folytatás: A Bayes analízis logikája Előzetes valószínűség Statisztikai adat Utólagos valószínűség

13 Bayes tétele: előzetes és utólagos valószínűségek (4) A Bayes-szabály általános alakja: –legyen p(ω) a döntéshozó kezdeti vélekedése az ω állapot bekövetkezésének valószínűségéről; –legyen E(ω’) olyan esemény, amely további információt közöl ω bekövetkezésének esélyéről és amelyet a döntéshozó megismer; így ismeri a p(E(ω’)) valószínűséget is; –mekkora a feltételes valószínűség? Tudjuk, hogy Átrendezve:

14 Teljes és tökéletes információjú dinamikus játékok (1) Teljes információ: a játékosok tisztában vannak az adott szituáció minden körülményével Tökéletes információ: a játékosok ismerik az adott helyzethez vezető játék-történetet Köztudott tudás A stratégia hitelessége (hihetősége) A fordított indukció elve

15 Teljes és tökéletes információjú dinamikus játékok (2) Az 1. játékos választása: A 2. játékos megfigyeli a1-t és úgy választ: A kifizetések: A második játékos optimum-feladata a második lépcsőben: Az első játékos optimum-feladata az első lépcsőben: A részjáték-tökéletes Nash egyensúly A Stackelberg duopólium modellje

16 Teljes de nem tökéletes információjú játékok Részjáték-tökéletes egyensúly Ismételt játékok –Véges alkalommal ismételt játékok –Végtelen időhorizontú játékok – az időbeni diszkontálás jelentősége

17 Hiányos információjú dinamikus játékok A játék extenzív formája A tökéletes bayesi egyensúly A játékosoknak rendelkezniük kell valamiféle vélekedéssel a másik játékos lehetséges választásaira vonatkozóan

18 A normális és a standard normális eloszlás (1) Sűrűségfüggvény: X pxpx xixi p xi

19 A normális és a standard normális eloszlás (2) Eloszlásfüggvény: a X pxpx b

20 A normális és a standard normális eloszlás (3) A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: pxpx x átlag szórás

21 A normális és a standard normális eloszlás (4) A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye

22 Másfajta eloszlások A binomiális eloszlás: amennyiben n számú eseményeknek két kimenetele lehet – siker (s) vagy kudarc – és ezek valószínűsége π illetve 1–π, akkor A Student (t-) eloszlás: két mintaátlag összegének vagy különbségének eloszlása N 1 + N 2 – 2 szabadságfokkal F-eloszlás: két átlag hányadosa N 1, N 2 szabadságfokokkal Exponenciális eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvénye:

23 A χ 2 eloszlás Amennyiben X 1, X 2, …, X n standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a valószínűségi változó χ 2 eloszlású n szabadságfokkal

24 Várható hasznossági függvény (1) A neoklasszikus elmélet: a racionális viselkedés következményeinek szisztematikus vizsgálata – bizonytalanság esetén csak közelítés A várható hasznossági hipotézis: legyen az a valószínűségi mező, amely a „természeti állapotok” terét reprezentálja, ahol a lehetséges elemi események (természeti állapotok, tehát a modell exogén változóinak) teljes listája; Θ a véges Ω összes lehetséges részhalmazainak halmaza és így olyan esemény, amely az Ω részhalmaza, μ pedig az E esemény bekövetkezésének objektív valószínűségi mértéke Az a(.) akció-függvény az teret képezi le a következmények C terébe és egyúttal a következmény valószínűségét is meghatározza a összefüggésnek megfelelően Példa: a lottószelvény, mint akció-függvény. Tekintsünk egy olyan lottójátékot, amely 100 Ft-ot fizet, ha az 1,…,10 számok közül páratlan számot húznak ki. Ekkor

25 Várható hasznossági függvény (2) és. A lottójátékot a lehetséges kimenetelek (események) és az azokhoz tartozó valószínűségek együttesen definiálják. Tehát egy lottójátékot általánosságban az a = [x,π] szabály határoz meg, ahol [x 1,…,x S ] az S számú elemi eseményhez rendelt pénzkifizetés nagysága, [π 1,…, π S ] pedig az események bekövetkezésének valószínűsége, amely valószínűségekre. A kérdés: egy racionális gazdasági szereplő hogyan határozza meg a lottószelvény értékét? A 100 Ft-os nyeremény valószínűsége 50%, és 50% az esélye a 0 Ft-nyi nyereménynek. Ezek alapján a szelvény egy lehetséges értéke:. Csakhogy ezzel a következő paradoxonba ütközünk: tekintsünk egy olyan ismétlődő pénzfeldobási játékot, amely 2 n Ft-ot fizet abban az esetben, ha a „fej” először az n. dobásnál jelenik meg. Ekkor:, ám aligha akadna olyan ember, aki 1000 Ft-ot fizetne a játékért. Ezt a „Szt. Pétervár paradoxonnak” nevezik

26 Várható hasznossági függvény (3) A paradoxon lehetséges feloldása: a gazdasági szereplők határhaszna csökkenő tehát (pl. Bernoulli szerint) A csökkenő határhaszon feltevése azonban nem zárja ki az ún. Szt. Pétervár- paradoxon létét. Ehhez olyan u(.) függvényre van szükségünk, amely felülről korlátos A várható hasznossági hipotézis: a bizonytalanság mellett döntéseket hozó racionális szereplőt a következő feladat megoldása írja le Ez a Neumann-Morgenstern várható hasznossági függvény maximuma

27 A Neumann-Morgenstern várható hasznossági függvény A N-M várható hasznossági függvény esetében a gazdasági szereplő racionális döntését bizonytalanság mellett 3 axióma jellemzi: (1) A szereplő teljes rendezést képes végrehajtani a várható következmények M terében: (2) Folytonosság: bármely esetén létezik olyan, hogy (3) Függetlenség: ha, illetve, akkor A fenti 3 axiómából következik a várható hasznossági hipotézis

28 A kockázatkerülő gazdasági szereplő (1) A várható (vNM) hasznossági függvény segítségével vizsgálhatjuk a gazdasági szereplők attitűdjét a kockázattal szemben Definiáljuk a bizonytalan kimenetelű „játékok” (esemény-halmazok) biztos ekvivalensét a következő módon: legyen x valószínűségi változó ([x 1,…,x s,π 1,…, π s ]), amelyre. Az x biztos ekvivalense (EC x ): az a kifizetés, amelyre u(EC x ) = Eu(x) A gazdasági szereplő kockázat-kerülő, ha u(EC x ) = E(u(x s )) < u(E(x s )) Példa: egy lottójáték két lehetséges kifizetése, illetve a kimenetelek valószínűségei [100, 9, 0,8 0,2]. A játékos vNM-hasznossági függvénye u(x) = x 1/2. A játék várható hasznossága, Eu(x) = 8 + 0,6 = 8,6. Biztos ekvivalense, EC = 8,6 2 = 73.96, mert, a kifizetések várható értékének hasznossága:

29 A kockázatkerülő gazdasági szereplő (2) Az előbbiekből következik, hogy a vNM hasznossági függvény növekvő és szigorúan konkáv, tehát x U(x) Eu(x) u(Ex) x1x1 x2x2 Ex

30 A kockázat-semleges viselkedés Ha a gazdasági szereplő számára u(Ex) = Eu(x) x U(x) Eu(x)u(Ex)= x1x1 x2x2 Ex

31 A kockázatkedvelő viselkedés Ha a gazdasági szereplő a játékot úgy értékeli, hogy Eu((x s )) > (uE(x s )) = u(EC x ), akkor kockázat-kedvelő („risk-loving”). Ebből következik, hogy x1x1 x2x2 Ex Eu(x) U(Ex) x u(x)

32 A kockázatkerülés mértékei (1) A kockázat-kerülő szereplő kockázati prémiuma (ρ x ): az a maximális összeg, amellyel hajlandó csökkenteni a játék várható kifizetésének összegét, hogy a kifizetés megegyezzen a biztos kifizetés összegével Az „abszolút kockázat-kerülés” koefficiense Legyen valószínűségi változó átlaggal, illetve szórással, az u(.) függvény pedig szigorúan növekvő és kétszer differenciálható. Az átlagos vagyon (kifizetés) kockázati prémiuma az a biztos ekvivalens, amelyet a szereplő közömbösnek talál az ε-hoz viszonyítva:. Az ε minden értékére (a Taylor-sorba fejtés szerint és a magasabb rendű momentumok eltűnése miatt):

33 A kockázatkerülés mértékei (2) E(ε) = 0 miatt Az abszolút kockázat-kerülés (lokális) mértéke az adott átlagos helyen: Amennyiben additív kockázati tényező (ε) helyett arányos kockázattal számolunk (tehát ), akkor

34 A kockázat mérése Azonos átlaggal rendelkező valószínűségi változók esetén az F(x,r 2 ) eloszlás akkor és csak akkor kockázatosabb, mint az F(x,r 1 ) eloszlás, ha az előbbi eloszlás jobban „szétterül”, mint az utóbbi (Stiglitz-Rothschild kritérium): Elsőrendű sztochasztikus dominancia: F(x,r 2 ) akkor és csak akkor dominálja F(x,r 1 )-t, ha Másodrendű sztochasztikus dominancia: F(x,r 2 ) akkor és csak akkor dominálja F(x,r 1 )-t, ha


Letölteni ppt "3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett Valószínűség - Esély Feltételes valószínűség - Bayes-tétel Valószínűség eloszlások Várható hasznossági függvény."

Hasonló előadás


Google Hirdetések