Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével."— Előadás másolata:

1 A kockázat kezelése döntési feladatokban

2 Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével •az ötös valószínűsége = 1: = % •a négyes valószínűsége = 1: = % •a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% •a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% •egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

3 Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a 1, a 2 és a 3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: •X 1 nettó hozam, •X 2 az aratásig eltelt idő

4 Kockázatos döntések Az X 1, X 2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: •s 1 : gyenge •s 2 : megfelelő •s 3 : jó

5 Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: •s 1 : 0.25 •s 2 : 0.5 •s 3 : 0.25

6 Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25(–400, 16)(10, 20)(–100, 10) s 2 : megfelelő 0.5(80, 14)(20, 18)(0, 8) s 3 : jó 0.25(200, 12)(50, 16)(100, 8)

7 Kockázatos döntések a 1 →hozam: 0.25valószínűséggel – valószínűséggel valószínűséggel 200 hetek: 0.25valószínűséggel valószínűséggel valószínűséggel 12

8 Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a 1, a 2 és a 3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ 1 · a 1, λ 2 · a 2, λ 3 · a 3 ) (λ 1, λ 2, λ 3 ≥ 0; λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1)

9 Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fej nem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés 2 k−1 $.

10 Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

11 Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

12 Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? •a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (2 99 $). •a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy ≈ 1.01 · $-os nyeremény, mint a ≈ 1.27 · $-os egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

13 A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1–P) valószínűséggel L összeget. [ P : W, (1–P): L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W, (1–P) : L ]

14 A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

15 A bizonyossági egyenértékes ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25 c 1 = (–400, 16)c 2 = (10, 20)c 3 = (–100, 10) s 2 : megfelelő 0.5 c 4 = (80, 14)c 5 = (20, 18)c 6 = (0, 8) s 3 : jó 0.25 c 7 = (200, 12)c 6 = (50, 16)c 9 = (100, 8) A gazda meg tudja mondani azokat a β i valószínűségeket, amely mellett: c i ~ [ (1– β i ) : c 1, β i : c 9 ]

16 A várható hasznosság maximalizálása Kimenetel c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c5c5 c6c6 c7c7 c8c8 c9c9 βiβi ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25 c 1 = (–400, 16)c 2 = (10, 20)c 3 = (–100, 10) s 2 : megfelelő 0.5 c 4 = (80, 14)c 5 = (20, 18)c 6 = (0, 8) s 3 : jó 0.25 c 7 = (200, 12)c 6 = (50, 16)c 9 = (100, 8) U( a 1 ) = 0.25 U(c 1 ) U(c 4 ) U(c 4 ) = U( a 2 ) = ; U( a 3 ) = ;

17 A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0, 0.3 : 1000 ] → β 200 = 0.3

18 A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0, 0.8 : 1000 ] → β 800 = ~ [ 0.6 : 0, 0.4 : 1000 ] → β 300 = ~ [ 0.3 : 0, 0.7 : 1000 ] → β 600 = 0.7

19 Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $, 0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $, 0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $, 0.5 : 0 $ ]

20 Kockázati magatartások VP várható pénzérték CE bizonyossági egyenértékes

21 Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 225 ~ [ : 0, : 1055, : 13660, … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 47.4 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

22 Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: –10000 ~ [ : 0, : – ]

23 Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl Ft és Ft, akkor a bank Ft-ot ajánl.

24 A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

25 X X p a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza  X x p  X p x p lottó: adottak az r i valószínűségek és a hozzájuk tartozó x i értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

26 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 1.axióma: a reláció gyenge rendezés a kockázatos X lehetőségek X p halmazán.

27 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 2. axióma: Ha x p x q, akkor x p [ α: x p ; (1–α): x q ] x q  (0,1) esetén. minden α  (0,1) esetén.

28 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság):  (0,1), Ha x p x q x r, akkor létezik olyan α,β  (0,1),hogy [ α: x p, (1–α): x r ] x q [β: x p, (1–β): x r ]

29 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): [ α: x p, (1–α): x q ] ~ [ (1–α): x q, α: x p ]  (0,1) esetén. minden α  (0,1) esetén.

30 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 5. axióma: Ha x s = [ α: x p, (1 – α): x q ], akkor [β: x s, (1– β): x q ] = [αβ: x p, (1 – αβ): x q ]

31 5.1. Tétel: Az X p -n értelmezett •x p  x q akkor és csak akkor, ha U(x p )  U(x q ) (5.1) és •U(  :x p, (1–  ):x q ) =  U(x p )+ (1–  )U(x q ),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely x p, x q és x r  X p kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha •U'(x p ) =  U(x p ) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

32 Az 5.1. Tétel egy könnyebben alkalmazható változatát is kimondjuk és azt bizonyítjuk be. A kulcs: A NM axiómák helyettesítése egy másik feltételrendszerrel

33 F1 feltétel: bizonyossági egyenértékes (certainty equivalent). Bármely biztos lehetőséghez (azaz olyan lottóhoz, amelyben egyetlen kimenetel – jelöljük ezt a -val –valószínűsége 1, a többié 0), található egy olyan lottó, amelyet a legjobb és a legrosszabb kimenetelből keverünk ki. Legyen a legrosszabb kimenetel a min, a legjobb kimenetel pedig a max egy adott tényezőre vonatkozóan. Ekkor tehát van olyan , amelyre Bármely biztos lehetőséghez (azaz olyan lottóhoz, amelyben egyetlen kimenetel – jelöljük ezt a -val – valószínűsége 1, a többié 0), található egy olyan lottó, amelyet a legjobb és a legrosszabb kimenetelből keverünk ki. Legyen a legrosszabb kimenetel a min, a legjobb kimenetel pedig a max egy adott tényezőre vonatkozóan. Ekkor tehát van olyan , amelyre a  [(1–  ): a min,  : a max ]  a c Ilyenkor az a értékét az [(1–  ): a min,  : a max ] lottó bizonyossági egyenértékesének nevezzük.

34 F2 feltétel: helyettesítés. Ha két olyan kockázatos lehetőségünk van, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy egy adott kimenetelt ( a i ) kicserélünk az ehhez a kimenetelhez, mint bizonyossági egyenértékeshez tartozó kockázatos lehetőséggel ( a ic ), akkor az eredeti lehetőség és a helyettesítés révén kapott újabb lehetőség között választva indifferensek vagyunk. [  1 : a 1, …,  i : a i, …,  n : a n ]  [  1 : a 1, …,  i : a ic, …,  n : a n ] Általánosítva ezt a gondolatot, az összes kimenetel kicserélhető a saját bizonyossági egyenértékesével: [  1 : a 1,…,  i : a i,…,  n : a n ]  [  1 : a 1c, …,  i : a ic, …,  n : a nc ]

35 F3 feltétel: redukálhatóság. Egy tetszőleges kockázatos lehetőség kicserélhető egy vele indifferens összetett kockázatos lehetőséggel és megfordítva (természetesen ez utóbbi esetben van szó redukcióról). Egy összetett lottó tehát – a valószínűségszámítás szabályainak figyelembevételével – mindig kicserélhető egy egyszerű lottóra. Ez a három tulajdonság felhasználható arra, hogy bármely kockázatos lehetőséget egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre vezessünk vissza oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepeljen, a megfelelően származtatott   0,1  valószínűség segítségével. x p  [(1–  ) : a min,  : a max ]

36 Az F1, F2 és F3 feltételből következik, hogy bármely kockázatos lehetőség visszavezethető egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepel, a megfelelően származtatott   0,1  valószínűség segítségével. x p  [(1–  ) : a min,  : a max ] Ezt a továbbiakban F123 feltételnek fogjuk nevezni.

37 F4 feltétel: összehasonlíthatóság. Legyen adott két kockázatos lehetőség x p és y p, továbbá x p  [(1–  1 ): a min,  1 : a max ] y p  [(1–  2 ): a min,  2 : a max ]. Ekkor az x p y p akkor és csak akkor teljesül, ha  1   2. x p y p akkor és csak akkor teljesül, ha  1   2.

38 Állítás: Az F1, F2, F3 és F4 feltételekből levezethetők a Neumann- Morgenstern axiómák.

39 5.1.’ Tétel: Ha F1, F2, F3, F4 teljesül, akkor létezik az X p -n értelmezett •x p  x q akkor és csak akkor, ha U(x p )  U(x q ) (5.1) és •U(  :x p, (1-  ):x q ) =  U(x p )+ (1-  )U(x q ),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha •U'(x p ) =  U(x p ) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

40 Az 5.1.’ Tétel bizonyítása: A bizonyítás konstruktív. Mivel minden lehetséges a i kimenetelhez tartozik egy bizonyossági egyenértékes (az F1 feltételnek megfelelően) az X p halmazban, ezért mindig találunk egy olyan  i értéket, amelyre a i  ((1-  i ): a min,  i : a max ) = a ic Az u: X  R függvényt definiáljuk oly módon, hogy u( a i ) =  i

41 Ugyanígy, bármely x p  X p -re definiáljuk az U: X p  R függvényt oly módon, hogy •U(x p ) = , ahol az  értékét az x p  ((1-  ): a min ;  : a max ) alapján határozzuk meg. Ugyanezen a módon kaphatjuk meg az U: A  R várható hasznossági függvényt, csak ennek az értelmezési tartománya most nem a kockázatos kimenetelekre, hanem az A halmaz elemeire korlátozódik.

42 Azt kell megmutatni, hogy ez az U függvény teljesíti az (5.1) és (5.2) összefüggéseket. F4 => (5.1). Az (5.2) igazolásához tekintsük az alábbiakat: •U(  :x p, (1-  ):x q ) = = U(  (1-  2 -  (  1 -  2 )  : a min,  2 +  (  1 -  2 )  : a max ) = =  2 +  (  1 -  2 ) =  1 + (1-  )  2 = =  U(x p ) + (1-  )U(x q ). Ennek mintájára az is megmutatható, hogy •U(x p ) =   i U( a i ) =   i u( a i ). (Bernoulli-elv)

43 Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (például a logaritmikus hasznossági függvénnyel.)


Letölteni ppt "A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével."

Hasonló előadás


Google Hirdetések