Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével."— Előadás másolata:

1 A kockázat kezelése döntési feladatokban

2 Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével •az ötös valószínűsége = 1: = % •a négyes valószínűsége = 1: = % •a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% •a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% •egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

3 Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a 1, a 2 és a 3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: •X 1 nettó hozam, •X 2 az aratásig eltelt idő

4 Kockázatos döntések Az X 1, X 2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: •s 1 : gyenge •s 2 : megfelelő •s 3 : jó

5 Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: •s 1 : 0.25 •s 2 : 0.5 •s 3 : 0.25

6 Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25(-400 ; 16)(10 ; 20)(-100 ; 10) s 2 : megfelelő 0.5(80 ; 14)(20 ; 18)(0 ; 8) s 3 : jó 0.25(200 ; 12)(50 ; 16)(100 ; 8)

7 Kockázatos döntések a 1 →hozam: 0.25valószínűséggel valószínűséggel valószínűséggel 200 hetek: 0.25valószínűséggel valószínűséggel valószínűséggel 12

8 Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a 1, a 2 és a 3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ 1 · a 1 ; λ 2 · a 2 ; λ 3 · a 3 ) (λ 1, λ 2, λ 3 ≥ 0; λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1)

9 Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fej nem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés 2 k−1 $.

10 Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

11 Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

12 Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? •a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (2 99 $). •a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy ≈ 1.01 · $-os nyeremény, mint a ≈ 1.27 · $-os egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

13 A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1-P) valószínűséggel L összeget. [ P : W ; 1-P : L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W ; 1-P : L ]

14 A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

15 A bizonyossági egyenértékes ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25 c 1 = (-400 ; 16)c 2 = (10 ; 20)c 3 = (-100 ; 10) s 2 : megfelelő 0.5 c 4 = (80 ; 14)c 5 = (20 ; 18)c 6 = (0 ; 8) s 3 : jó 0.25 c 7 = (200 ; 12)c 6 = (50 ; 16)c 9 = (100 ; 8) A gazda meg tudja mondani azokat a β i valószínűségeket, amely mellett: c i ~ [ (1- β i ) : c 1 ; β i : c 9 ]

16 A várható hasznosság maximalizálása Kimenetel c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 c5c5 c6c6 c7c7 c8c8 c9c9 βiβi ÁllapotValószínűség Terményfajták a1a1 a2a2 a3a3 s 1 : gyenge 0.25 c 1 = (-400 ; 16)c 2 = (10 ; 20)c 3 = (-100 ; 10) s 2 : megfelelő 0.5 c 4 = (80 ; 14)c 5 = (20 ; 18)c 6 = (0 ; 8) s 3 : jó 0.25 c 7 = (200 ; 12)c 6 = (50 ; 16)c 9 = (100 ; 8) U(a 1 ) = 0.25 U(c 1 ) U(c 4 ) U(c 4 ) = U(a 2 ) = ; U(a 3 ) = ;

17 A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 ; 0.3 : 1000 ] → β 200 = 0.3

18 A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 ; 0.8 : 1000 ] → β 800 = ~ [ 0.6 : 0 ; 0.4 : 1000 ] → β 300 = ~ [ 0.3 : 0 ; 0.7 : 1000 ] → β 600 = 0.7

19 Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

20 Kockázati magatartások VP várható pénzérték CE bizonyossági egyenértékes

21 Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 175 ~ [ : 0 ; : 800 ; : 7500 ; … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 30 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

22 Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: ~ [ : 0 ; : ]

23 Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl Ft és Ft, akkor a bank Ft-ot ajánl.

24 A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

25 X X p a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza  X x p  X p x p lottó: adottak az r i valószínűségek és a hozzájuk tartozó x i értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

26 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 1.axióma: a reláció gyenge rendezés a kockázatos X lehetőségek X p halmazán.

27 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 2. axióma: Ha x p x q, akkor x p ( α:x p ; (1- α):x q ) x q  (0,1) esetén. minden α  (0,1) esetén.

28 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság):  (0,1), Ha x p x q x r, akkor létezik olyan α,β  (0,1),hogy ( α:x p ; (1- α):x r ) x q (β:x p ; (1- β):x r )

29 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): ( α:x p ; (1- α):x q ) ~ ( (1- α):x q ; α:x p )  (0,1) esetén. minden α  (0,1) esetén.

30 A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 5. axióma: Ha x s = ( α:x p ; (1- α):x q ), akkor (β:x s ; (1- β):x q ) = (αβ:x p ; (1- αβ):x q )

31 5.1. Tétel: Az X p -n értelmezett •x p  x q akkor és csak akkor, ha U(x p )  U(x q ) (5.1) és •U(  :x p, (1-  ):x q ) =  U(x p )+ (1-  )U(x q ),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely x p, x q és x r  Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha •U'(x p ) =  U(x p ) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

32 Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (mondjuk logaritmikus hasznossági függvénnyel.)


Letölteni ppt "A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével."

Hasonló előadás


Google Hirdetések