Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János."— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János

2 A valószínűségi változó n A valószínűségi változó fogalma n A valószínűségi változó jellege – Diszkrét – Folytonos  68

3 A valószínűségi változó jellemzői DiszkrétFolytonos n Eloszlásfüggvény n Valószínűség-eloszlás fv. n Sűrűségfüggvény n Várható érték n Elméleti szórás F(k)F(x) pk—pk— — f(x) M(  ) M(  ) D(  ) D(  )  69

4 Valószínűség-eloszlás függvény p k = P(  = k ) Tulajdonságai:  69

5 P k - Feladat pkpk 1/ k  69

6 Eloszlásfüggvény F(k) = P(  < k ) Tulajdonságai:  Monoton növekvő: F(a)  F(b), ha a < b  Balról folytonos, szakadáshelyein a függvényérték a baloldali határértékkel egyezik meg.   F(x) = P(  < x ) 69

7 F(k) - Feladat 1/ k F(k) 1/3 1/2 2/3 5/6 1  70

8 p k és F(k) kapcsolata ahol a < b  69

9 Sűrűségfüggvény  f(x) = F’(x) Tulajdonságai: f(x)  0 70

10 f(x) és F(x) kapcsolata ahol a < b  f(x) = F’(x) 70

11 ?! Várható érték Tulajdonsága: Feladat: Határozzuk meg a kockadobás várható értékét!  pkpk 1/ k 70

12 Szórásnégyzet, szórás Tulajdonsága:  71

13 Egyéb jellemzők n Medián n Kvantilisek n Módusz n Momentumok n Ferdeségi mutatók n Lapultsági mutatók 71 

14 Binomiális eloszlás  72

15 Feladat (Binomiális eloszlás) Mekkora valószínűséggel találunk egy 5%-os selejtaránnyal jellemezhető tömeggyártásból kivett 20 elemű véletlen mintában 1 db selejtes terméket? p = 0,05 n = 20 k = 1 P(k=1) = p 1 = 0,3774  72

16 Feladat (Binomiális eloszlás) Az UEFA szigorú előírásai alapján… a.) P(  =0) = p 0 = 0,5987  0,6 b.) P(  =0) = p 0 = 0,3585 0,6 2 =0,36 P(  =1) = p 1 = 0,3774 0,7359 0, =0,40 UEFA KFT  73

17 Poisson-eloszlás  74

18 0,8187 Feladat (Poisson-eloszlás) Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! M(  ) =  = 200·10/10000 = 0,2 P(  =0) = P(  >0) = 0,1813  74

19 Feladat (Poisson eloszlás) Egy készülék szavatossági ideje …  = 2000·0,0005 = 1 p 0 = 0, pkpk Lehetséges bevétel p 1 = 0,3679+3/4 p 2 = 0,1839+1/2 p 3 = 0,0613+1/4 p 4 = 0, p 5 = 0, Binomiális  Poisson M(  ) = 0,746  25%- Tehát a szavatosságra  25%- ot fordít!  75

20 Exponenciális eloszlás  ha x<0 ha x  0 ha x<0 f(x)  F(x) 1 M(  ) = 1/  D(  ) = 1/  76

21 A feltételes valószínűség fogalma Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) b.) c.)  E m l é k e z t e t ő

22 Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy automatizált gépsor hibamentes működésének … F(200)-F(150) =  77

23 Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy radioaktív anyag… M(  ) = 2 év  Az anyag fele elbomlik x = 1,39 év P(  3) = 1- P(  <3)=1-F(3)= 0,

24 Feladat (Exponenciális eloszlás)  F(1/  ) = ? F(1/  ) = = 1 - 0,3679 = 0,6321 f(x)  M(  ) = 1/  63,21% 79

25 f(x) Normális (Gauss-) eloszlás F(x) 0,5 M(  ) =  D(  ) =     80

26 Standardizálás M(u) = 0D(u) = 1  Standardizálás logikai menete 80

27 Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért:  80

28 Feladat (Normális eloszlás) 200 g névleges tömegű mosópor töltésekor előírás szerint az ATH=190g, amely alá a legyártott mennyiség 4%-a kerülhet. A jelenlegi töltési folyamatban μ=204,4g, σ=9,4g. a.) Megfelel a gyártás az előírásoknak? Ha nem akkor milyen töltési szintet kell elérni, hogy megfeleljen? b.) Mekkora legyen a szórás, hogy μ=204,4g lehessen a töltés várható értéke?  82

29 Feladat-1 (Normális eloszlás) 190 ? P(  <190) = F(190) = 204,4  = 9,4 0, ,9370 = 0,063 6,3%  82

30 Feladat-1 (Normális eloszlás) 204,4  = 9, % ?? P(  <190) = F(190) =0,04 0,96  =206,45 g  =8,22 g  82

31 Feladat-2 (Normális eloszlás) A bélszínrolót négyesével …. P(  <55) = F(55) = =  (1) = 0, ,8413 = 0,1587  0,16 0,16 4 = 0,0006 p= 0,16 k= 4 n= 4 Binomiális eloszlás:  táblázatból 83

32 Feladat-3 (Normális eloszlás) Export konyak töltésénél az 510ml alatti palackok aránya legfeljebb 3% lehet. Megvizsgáltak egy n= darabos tételt: az átlag űrtartalom 532,4ml, a szórás 6 ml volt. Mekkora az adott tételnél a töltési veszteség értéke, ha á=1000 Ft/palack?  83

33 Feladat-3 (Normális eloszlás) P(  <510) = 0,03 = F(510) =  (-u) = 0,97 u= -1,88 521,3 ml  =510+1,88·6= 521,3 ml (532,4-521,3)· = ml  /521,3= 425 db Ft 83

34 Feladat-4 (Normális eloszlás) Egy bankfiókban a napi kifizetések összege N(3,6 mFt; 0,9 mFt) eloszlást követ. a.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a napi kifizetések összege a  intervallumba esik? b.) Mekkorára kellene a kifizetések szórásának megváltozni ahhoz, hogy az 5 mFt feletti kifizetések valószínűsége 4% legyen? c.) Mennyi pénzt kell tartani a fiókban, ha 95%-os valószínűséggel akarjuk biztosítani a kifizetések teljesítését?  84

35 Feladat-4 (Normális eloszlás) 84 a.) b.) c.)

36 A központi határeloszlás tétele  86

37 A központi határeloszlás tétele  86


Letölteni ppt "Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János."

Hasonló előadás


Google Hirdetések