Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János."— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János

2 A valószínűségszámítás tárgya n Véletlen jelenség fogalma n Tömegjelenség fogalma  5

3 A valószínűség fogalma An f(A)  6

4 Az axiómarendszer 1. axióma0  P(A) 2. axiómaP(  ) = 1 3. axióma Ha A 1, A 2, … A n páronként kizárják egymást, akkor P(A 1 + A A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + … + P(A n ) Teljes eseményrendszer: P(A 1 + A A n ) = P(  ) = 1  6

5 A valószínűség meghatározásának módszerei n Klasszikus valószínűség-meghatározás n Geometriai n Valószínűségszámítási tételek n Empirikus adatokból n Elméleti eloszlások n Szubjektív becslés  7

6 Valószínűségszámítás fő területei  8

7 Kvantitatív módszerek 2. Valószínűségszámítási tételek Dr. Kövesi János

8 Valószínűségszámítási tételek n P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A  B) n Bizonyítás A B A·B  10

9 Valószínűségszámítási tételek n Ha A esemény bekövetkezése... – P(B-A) = P(B) - P(A) és – P(A)  P(B) n Bizonyítás: B = A + (B-A) P(B) = P(A) + P(B-A)  III. axióma Mivel P(B-A)  0  P(A)  P(B)  10

10 Valószínűségszámítási tételek 1. Feladat: Mutassuk ki, hogy... P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A  B) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A+B) +1 a lehetséges legnagyobb értéke 0,70,9 2. Feladat: Próbagyártás után... P(A + B) = 0,15 + 0,3 - 0,08 = 0,37 P(A + B) = 0,63  10-11

11 Valószínűségszámítási tételek 3. Feladat: Egy iskola tanulóinál... P(A) = P(A + B) + P(A  B) - P(B) = = 0,16 + 0, = 0,14  11

12 A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha A és B … P(A|B) = P(A  B) / P(B) Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, és P(B)  0  12

13 A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy szállítmány 96%-a megfelel… A =  a termék első osztályú} B =  a termék megfelelő} P(AB) = P (A|B) · P(B) = 0,75 · 0,96 = 0,72  13

14 A feltételes valószínűség fogalma 2. Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) b.) c.)  13

15 A teljes valószínűség tétele Ha B 1, B 2, … B n teljes …. Bizonyítás:  15

16 A teljes valószínűség tétele 1. Feladat: Az MBA programban … A =  a vizsga sikeres} B 1 =  a hallgató férfi}  P(B 1 ) = 0,45 B 2 =  a hallgató nő}  P(B 2 ) = 0,55 P(A) = 0,6 ·0,45 + 0,8 ·0,55 = 0,71  16

17 A teljes valószínűség tétele 2. Feladat: Három műszak azonos …  16

18 A teljes valószínűség tétele 3. feladat: Egy gyártóberendezés munkaidejének…  17

19 A teljes valószínűség tétele 4. Feladat: Egy üzem 8 berendezése…  17

20 Bayes-tétel Ha B 1, B 2, … B n teljes eseményrendszer ….  18

21 Bayes-tétel Bizonyítás: P(B k |A)·P(A) = P(A| B k ) ·P(B k ) P(B k ·A)P(A·B k ) Teljes valószínűség tétele  18

22 Bayes-tétel 1. Feladat: Alkatrész-ellátásnál …. A =  az alkatrész hibás} B 1 =  ”I.”-tól jött}  P(A | B 1 ) = 0,1 B 2 =  ”II.”-től jött}  P(A | B 2 ) = 0,2  19

23 Bayes-tétel 2. Feladat: Egy üzemből kikerülő …. A =  a termék I.o. minősítést kap} B 1 =  a termék I.o.}  P(B 1 ) = 0,75 B 2 =  a termék nem I.o.}  P(B 2 ) = 0,25 P (A | B 1 ) = 0,98P (A | B 2 ) = 0,05  19

24 Bayes-tétel 3. Feladat: Egy folyóban bekövetkező …. B i =  az i-edik üzemet terheli a felelősség} (A |B i ) =  halpusztulás következett be, feltéve, hogy B i volt a szennyező} P(B 1 )=0,2P(B 2 )=0,5P(B 3 )=0,3 P(A |B 1 )=0,6P(A |B 2 )=0,15P(A |B 3 )=0,25  20

25 Bayes-tétel P(A)=0,2·0,6+0,5·0,15+0,3 ·0,25 = 0,27 P(B 1 |A)=0,44 P(B 2 |A)=0,28 P(B 3 |A)=0,28 1,1 MFt 700 eFt 3. Feladat: folyt.  20

26 Bayes-tétel 4. Feladat: Egy irodában 3 munkatárs dolgozik… B i =  az i-edik munkatárs készíti} A =  hibás az akta} n = = 50 db/nap  21


Letölteni ppt "Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János."

Hasonló előadás


Google Hirdetések