Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása."— Előadás másolata:

1 Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása

2 Bevezetés egy egyszerű eutrofizációs problémán keresztül

3 75mg/m3 18mg/m3 12mg/m3 10mg/m3

4 h ORP DP PP AP PP ORP H sediment (active layer) Water growth death sorption mineralisation settling

5 Éves átlag TP Hidraulikus terhelés [m/y] =Q/A Fajlagos terhelés: L/A Töltési idő (V/Q)

6 =0

7 A Vollenweider formulából következő ülepedési sebesség:

8 Sekély tavakra korrigált Vollenweider formula:

9

10 Feladat -döntéshozás támogatása -döntés függvényformában -cél: optimális döntés -Wald A.: Statistical decision functions Sequential analysis

11 Statisztikai eljárás is -> döntéshez vezet (legegyszerűbb eset: valószínűségi változó várható értékének vagy szórásának meghatározása) Pl. hipotézis ellenhipotézis Döntés alapja: -véletlen ingadozásnak alávetett adatok, vagy statisztikák -hibás döntés -> kár -> döntési kockázat cél: a legkisebb kockázattal járó döntés kiválasztása

12 Statisztikai döntési eljárás Példa: Szennyező anyag koncentrációjának szezonális maximuma: X -ez a mérések szerint exponenciális valószínűségi változó: Sűrűség fv. -Az eloszlás várható értékére döntést kell hoznunk Statisztikai döntés döntéstér

13 legyen Statisztikai minta A statisztikai minta elemei a múltbeli szezonális maximumok amelyek lényegesen nagyobb információtartalommal rendelkeznek, mint egy megfigyelés Mivel És E(x) legjobb becslése:

14 Másik lehetséges döntésfüggvény: Statisztikai döntési eljárás: Megfigyeljük az X valószínűségi változó értékeit, és ennek alapján választunk egy d döntést a lehetséges döntések D halmazából, amelyet a gyakorlati probléma határoz meg. A D halmazt döntéstérnek nevezzük. A döntés megválasztása bizonyos szabály alapján történik. Ezt a szabályt döntésfüggvénynek nevezzük.

15 Veszteségfüggvény és kockázatfüggvény Ha a döntésünket a választásra alapozzuk Az elkövetett hibához veszteségeket rendelhetünk, a döntés által okozott veszteség is a függvénye Legyen a veszteség pl. vagy

16 Tekintsük a veszteség átlagos mértékét: Amely a döntés kockázata Példa: Legyen v. szennyezőanyag éves középértéke normális eo. : A középértékek statisztikai mintája:

17 Legyen a döntésfüggvény: Legyen a veszteségfüggvény: A kockázatfüggvény:

18 Ami adöntés kockázata Válasszunk most másik döntésfüggvényt a veszteségfüggvény:

19 A kockázatfüggvény: esetünkben Melyik a jobb döntés?

20 Cauchy egyenlőtlenség alapján ->-> Megengedhetetlen döntésfüggvény

21 Ha Értékétől függően változik a kockázat, akkor mindkét döntésfüggvény megengedhető ab Melyik döntésfüggvényt válasszuk? 1 2

22 Tekintsük a döntés tárgyát valószínűségi változónak sűrűségfüggvénye: a priori eloszlás (ismertnek tételezzük fel) Ekkor a kockázat várható értéke: Amelyet Bayes-féle kockázatnak nevezünk

23 -Azt a döntést, amelyre a Bayes-kockázat minimális, az a priori eloszláshoz tartozó Bayes-döntésnek nevezzük - A Bayes-döntés a minimális átlagos kockázatú döntés Ha a valószínűségi változó véges számú értéket vehet fel, akkor az a priori eloszlás: Ekkor a Bayes kockázat:

24 Ha Különböző döntésfüggvények, akkor mindegyikre kiszámítjuk a Bayes-fále kockázatot, és azt a döntésfüggvényt választjuk, amelyre a Bayes-kockázat a legkisebb Példa: t d1 döntés t>2hét ----> d2 döntés Kritikus szennyezettség tartóssága

25 Veszteség mátrix Döntési változó: szennyezési koncentráció tetőzési szintje x=1, ha cch példa

26 Ha az a priori eloszlás nem ismert, akkor Minimax döntés

27 20.ea

28 Szekvenciális döntési módszer -egymást követő megfigyelések lehetőségek: a) a Ho hipotézist elfogadjuk b) a Ho hipotézist elvetjük (H1 -et elfogadjuk) c) folytatjuk a megfigyeléseket a) és b) …végső döntések

29 Elsőfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho hipotézist elvetjük, pedig igaz, Másodfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho-t elfogadjuk pedig nem igaz Szekvenciális hipotézisvizsgálat során először megadjuk az első és másodfajú megengedett hibát Elsőfajú hiba valószínűsége: Másodfajú hiba valószínűsége: BA Elfogadási tartomány indifferens tartomány Kritikus, elutasítási tartomány

30 Szekvenciális próba végrehajtása: - az X valószínűségi változóra megfigyelés: X=x1 -kiszámítjuk az értékét, mellett -képezzük a Hányszor valószínűbb az x1 eredmény amellett mint Elfogadjuk a Ho hipotézist

31 Folytatjuk a megfigyelést …X=x2 Elvetjük a hipotézist ha folytatjuk: x2 és: Likelihood hányados

32 Elvetjük a hipotézist Elfogadjuk a Ho hipotézist együttes sűrűségfv.

33 Mintavételezés folytatásának feltétele: Példa..p0.

34 Markov -láncok optimális irányítása

35

36 Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett

37 Határeloszlás Az olyan Markov folyamatot, amelynél a határeloszlás független az induló állapottól, ergodikus folyamatnak nevezzük

38 Ha a P sztochasztikus mátrixnak van olyan k hatványa, hogy minden eleme pozitív, akkor az S határmátrix minden sora azonos lesz.

39 Markov-féle szekvenciális döntési folyamat Vizsgálunk egy N állapotú Markov-folyamatot, amelyeknél az egyes átmenetekhez nyereséget rendelünk. Az átmenet hozadéka az i->j átmenet esetén (negatív profit=veszteség) A Markov-folyamat profitok sorozatát generálja, miközben állapotról állapotra változik, tehát a profit maga is valószínűségi változó. Def. a várható összes nyereség, n átmenet során, ha i az induló állapot

40 Közvetlen nyereség

41 Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett Példa p1

42 Döntési folyamat -beavatkozásokkal (döntésekkel megváltoztatjuk az átmenet valószínűségeket, így változnak a haszonmátrix elemei is... k…alternatíva

43 Ha a Markov-láncnak N állapota van, és minden állapothoz m számú lehetséges alternatíva választható, azaz a d1,d2,…,dm döntések valamelyikét választjuk, akkor lehetséges politika létezik Adöntéssorozatot politikának nevezzük Legyen: a nyereség összegzett várható értéke Tegyük fel, hogy a n, n-1, n-2, …, 3, 2, 1 lépésekben megtaláltuk az optimális döntést. Ha az n-ik lépésnél i-ik állapotba került a rendszer, akkor a célunk maximálni a

44 Howard iterációs módszer nyereség: határvalószínűség közvetlen nyereség Eszköz Markov-folyamatok összehasonlítására

45 a) Érték meghatározó lépés b) Politika javító lépés határeset:

46 N+1 ismeretlen (g,v…), N egyenlet…alulhatározott rendszer, egyik v értéket 0-nak választjuk b) Politika javító lépés a legjobb alternatíva a)

47 P2 példa


Letölteni ppt "Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása."

Hasonló előadás


Google Hirdetések