Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A Halmazelmélet elemei

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A Halmazelmélet elemei"— Előadás másolata:

1 A Halmazelmélet elemei

2 A matematikában a halmaz alapfogalom, nem definiálható.
A halmaz elnevezést a mindennapi életben is gyakran használják. A halmaz szó gyakran a sokaság, összesség, csoport szavakat helyettesíti. A matematikában a halmaz alapfogalom, nem definiálható. A fogalmak definiálásának korlátai lehetnek. Gondoljunk a következő példára: Adjuk meg a ponty meghatározását. Kezdjük: a ponty olyan hal, amely… (és ekkor soroljuk a speciális jellemzőket.) A hal olyan állat, amely…(a vízben él, és soroljuk a speciális jellemzőket.) Az állat olyan élőlény, amely… Az élőlény az anyag olyan formája, amely… Az anyag fogalmát már nem tudjuk így meg- adni, azt alapfogalomnak tekintjük.

3 ha bármely dologról egyértelműen el tudjuk dönteni,
A halmaz megadása Egy halmaz akkor adott, ha bármely dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e, azaz eleme-e a halmaznak. Így a halmaz megadásához a halmazhoz tartozás szabályát kell megadnunk, amit többféleképp tehetünk meg. Ismertek például a különböző számhalmazok megadási módjai: A természetes számok N (naturális számok) halmaza megadható felsorolással: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}. De megadatjuk így is: N = {nem negatív egész számok}.

4 Emlékeztetőül a számhalmazok:
Az egész számok halmaza: Z=…–2, –1, 0, 1, 2, 3,…. A racionális számok két egész szám hányadosaként, illetve szakaszos tizedes- törtként írhatók fel: Q=xx=p/q, és p;qZ, q0, így: Q=0,±1/2, 1,±1/3,…. (Kiolvasása: a Q halmaz azokból az x számokból áll, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, és a törtben a nevező nem lehet nulla.) Az irracionális számok: I=a nem szakaszos végtelen tizedestörtek.

5 A valós számok halmazát használjuk leggyakrabban:
R=a racionális és az irracionális számok együtt . Az R tartalmazza Q-t, Q a Z-t, a Z pedig N-et. N Z Q I R A halmazhoz tartozás szokásos jelölése: például az, hogy az 5 természetes szám: 5N, (5 eleme N). A „nem eleme” jelölése: a negatív számok, például a –2 esetén: –2N. Megjegyzés: A természetes számokat gyakran sorszám értelemben használjuk, ilyenkor a jelölés: N+={1, 2, 3, 4,…}.

6 Relációk halmazok között
A reláció kapcsolatot, viszonyt jelent. 1. Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. 2. Részhalmaz reláció: egyik halmaz ( H1 ) része egy másiknak ( H2 ), ha a H1 minden eleme a H2 –höz is tartozik. Jelölése: H1  H2 . az A tanuló jegyei: 3, 3, 3, 4, 4. B tanulóé: 3, 4, 4, 4, A C-é:3, 4, 5. Példa: Az A jegyeinek halmaza: A=3, 4 . (A halmaz mindig különböző elemeket tartalmaz, a sokaságban lehetnek azonosak.) A B jegyeinek halmaza: B=3, 4 . A C jegyei halmazt alkotnak: C= 3, 4, 5 . Ezekre a halmazokra igaz: A=B, A  C és B  C.

7 Elnevezés: az A halmaz valódi része B-nek, ha A  B, de AB.
Ha A és B között egyenlőség is lehet, akkor a jelölés: A  B. Példa: az említett számhalmazokra igaz: N  Z  Q  R, illetve: I  R. Egy valós szám vagy racionális, vagy irracionális, tehát: Q  I. N Z Q I R

8 Alapműveletek halmazok között
A halmazművelet tulajdonképpen halmazokhoz halmaz hozzárendelése, az elemeik közötti kapcsolatok megadásával. A.) Binér műveletek (Binér:két halmazhoz rendelünk egy harmadikat.) 1. Egyesítés ( únió ) Adott az A és a B halmaz. Egyesítésük, a C halmaz mindazokat az elemeket tartalmazza, amelyek vagy az A–hoz, vagy a B–hez, vagy mindkettőhöz tartoznak. Jelölése: A  B = C, vagy: A+B = C. Például: ha A = 3, 5, 7, 9 , B = 1, 2, 3, 4, 5 , akkor C = A+B = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 .

9 Alapműveletek halmazok között
A.) Binér műveletek 2. Közös rész (metszet) Az adott A és B halmazokhoz azt a C halmazt rendeljük, amelynek elemei A–hoz is és B–hez is tartoznak. Jelölése: A  B = C, vagy: AB = C. Például: ha A = 3, 5, 7, 9 , B = 1, 2, 3, 4, 5 , akkor C = A·B = 3, 5 . A halmazműveletekben a + és · jel mást jelent, mint a „számtan”-ban! Ezt a két műveleti jelet egyszerűsítésként használhatjuk az  és a  jelek helyett.

10 Megjegyzések: Az alapműveletek jól szemléltethetők az ú.n. Venn diagramokkal. A két halmaznak egy-egy „körlapot” feleltetünk meg. Az únió: A+B (zöld), a metszet: A·B (piros). A + B A B 2. Előfordul, hogy a két halmaznak nincs közös eleme. Elnevezés ez esetben: a halmazok idegenek, diszjunktak. Bevezetjük az üres halmaz fogalmát (jelölése: ): olyan halmaz, amelynek nincs egy eleme sem. Ha A és B diszjunkt: AB = .

11 B.) Unáris művelet Unáris: egy halmazhoz egy másikat rendelünk. Definició: ha A  B, akkor az A kiegészítésén, más szóval komplementerén értjük a B halmaz összes, A–hoz nem tartozó elemét. Komplementer képzésnél azt a B halmazt, amire a kiegészítés történik, általában alaphalmaznak nevezzük és H–val jelöljük. Venn diagrammal: Az A halmaz komplementere: H Az A halmaz komplementere H halmaz A–n kívüli része. A Jelölése:

12 = A. További műveletek 1. Kivonás A A-B
Adott H halmaztesten az A komplementerének komplementere maga az A, azaz: = A. Igaz: =Ø illetve: = H. További műveletek 1. Kivonás Definíció : adott A és B halmaz, az A–B jelenti az A halmaz B–n kívüli elemeit. Venn diagrammal ábrázolva: A A-B B Ha az A és B halmaz ugyanannak a H (alap)halmaznak része, akkor a halmazok különbségét visszavezethetjük alapműveletekre: A – B = A Ugyanis az A–B különbség az A–nak a H alaphalmazon a B–n kívüli elemekkel közös része. Érdekesség: a halmazok közötti „kivonás” nem az „összeadás” (egyesítés, únióképzés) „ellentett” művelete, hiszen általában nem igaz, hogy (A–B)+B egyenlő lenne A–val.

13 2. A halmazok Descartes–féle szorzata
Definíció : két halmaz, az A és B elemeiből rendezett párokat képezünk. Az így kapott elempárok halmazát az A és B Descartes szorzatának nevezzük. Jelölése: AxB=C. Legyen A=a, b, c  és B=3, 5 . A Descartes szorzatuk: C = AxB = (a,3), (a,5), (b,3), (b,5), (c,3), (c,5). Például:

14 Az alapműveletek azonosságai
Idempotens tulajdonság („önmagával azonos”), más néven a tautológia szabálya: 1. A+A=A AA=A Kommutatívitás („felcserélhetőség”): 3. A+B=B+A AB=BA Asszociatívitás („átzárójelezhetőség”): 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A (BC)=(AB)C= ABC Az asszociatívitás több, mint „átzárójelezés”. A szabály szerint a két halmazra értelmezett műveleteket három (négy, öt, …n…) halmazzal is elvégezhetjük.

15 Az alapműveletek azonosságai
Disztributívitás („szétosztás”): 7. A(B+C) = AB+AC 8. A+(BC) = (A+B)(A+C) Komplementerre vonatkozó azonosságok: 9. A+Ā = H (H az alaphalmaz, halmaztest) . AĀ = Ø (a Ø az üres halmaz). A speciális halmazokra vonatkozó azonosságok: 11. A+H = H AØ = Ø 13. A+Ø = A AH = A A 14 alapazonosságot célszerű (fontos!) egyszer s mindenkorra megjegyezni!

16 Az azonosságok igazolása nem bonyolult,
csak a műveletek jelentésére kell gondolnunk. Szabályosságot vehetünk észre az alapazonosságok között: a „páros sorszámú” (2., 4., …14.) azonosságok hasonlóak a „páratlan sorszámú” azonosságokhoz. Ez a dualitás elvéből következik: minden azonosság érvényben marad, ha a binér műveleteket (a + és a  ) az egyenlőség mindkét oldalán felcseréljük és egyúttal megcseréljük a speciális halmazokat is (az üres halmazt az alaphalmazra és viszont). Például: A(B+C)=AB+AC és a duálja: A+(BC)=(A+B)(A+C), vagy: A+H=H és a duális alak: A=.

17 További műveleti azonosságok
Az alapazonosságokból képezhetünk olyan összefüggéseket, amelyekkel egyszerűsíthetjük, gyorsíthatjuk a munkánkat a feladatmegoldások során. 1.Beolvasztási („elnyelési”, azaz abszorpciós) azonosság: A(A+B)=A és a duálja: A+AB=A. A szabályt az alapazonosságokkal igazolhatjuk: A+AB=(14.azonosság)=AH+AB=(7.az.)=A(H+B)=(11.az.)=AH=(14. az.)=A. 2. De Morgan azonosság: és a duál alak: További “kész” azonosságot a halmazelméletben ritkán használunk.

18 A megoldáshoz a kivonást alapművelettel helyettesítjük:
Példa: hozzuk egyszerűbb alakra a K = (A–B) + AB + (B–A) kifejezést! A megoldáshoz a kivonást alapművelettel helyettesítjük: A–B=A· és B–A=B· A fenti példánkat úgy is fogalmazhattuk volna: Bizonyítsuk be a következő állítást: (A–B)+AB+(B–A)=A+B.

19 A halmazok számossága Véges sok elemet tartalmazó halmaznál egyszerű a dolog: a halmaz számosságát megkapjuk, ha összeszámláljuk az elemeket. A végtelen sok elemet tartalmazó halmazoknál definiálunk egy alapesetet: a természetes számok halmazának számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. Más, nem véges sok elemet tartalmazó halmaz számosságát igyekszünk viszonyítani ehhez. Az összehasonlítást párbaállítással végezhetjük el. A „párosítás”-nak kölcsönösen egyértelmű módon kell történnie és ha ez lehetséges, akkor a két halmazt ekvivalensnek nevezzük.

20 A páros számok halmaza ekvivalens a természetes számok halmazával.
Példa: A páros számok halmaza ekvivalens a természetes számok halmazával. Lehetséges ugyanis a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés: Páros számok: ….. ↨ ↕ ↨ ↨ ↨ ↨ Term. számok: … Ha mindegyik természetes számhoz egyértelműen hozzá tudjuk rendelni egy másik halmaz elemeit, akkor az illető halmazt is megszámlálhatóan végtelennek, vagy röviden megszámlálhatónak mondjuk. 20


Letölteni ppt "A Halmazelmélet elemei"

Hasonló előadás


Google Hirdetések