Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK. SZE - SZT. Agárdy Gyula2 A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK e x : x irányú abszolút eltolódás u x, A->B : B-nek A-hoz.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK. SZE - SZT. Agárdy Gyula2 A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK e x : x irányú abszolút eltolódás u x, A->B : B-nek A-hoz."— Előadás másolata:

1 TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK

2 SZE - SZT. Agárdy Gyula2 A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK e x : x irányú abszolút eltolódás u x, A->B : B-nek A-hoz viszonyított, x irányú relatív eltolódása  (z) : z tengely körüli abszolút elfordulás  (z) A->B : B-nek A-hoz viszonyított, z tengely körüli relatív elfordulása

3 SZE - SZT. Agárdy Gyula3 A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK Az eltolás az idom minden pontjában azonos eltolódást és zérus elfordulást okoz Az elfordítás az idom minden pontjában azonos elfordulást és a forgásponttól mért távolság és az elfordulás szorzataként adódó eltolódást okoz. A pontok elfordulását a ponthoz rögzített lokális koordinátarendszer megfelelő tengelyei közötti szöggel jellemezhetjük. A D C B A’ A=A’ D’ D C B C’ B’ C’ D’

4 SZE - SZT. Agárdy Gyula4 AZ ELMOZDULÁSOK „KICSISÉGE” A e Ax =k×(1-cos  )~0 e Ay =k×sin  ~k×tan  k×  rad e A, x  e A, y e A k A-K ×  rad k A-K K

5 SZE - SZT. Agárdy Gyula5 A HALADÁSI IRÁNY MEGFORDÍTÁSA A RELATÍV ELMOZDULÁSOK ELŐJELÉT MEGFORDÍTJA! A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK HALADÁSI IRÁNY

6 SZE - SZT. Agárdy Gyula6 Egy láncolat eredeti alakja LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA (az állászögekre nincs korlátozás!)

7 SZE - SZT. Agárdy Gyula7 A kezdőpont (abszolút) elfordítása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA  0 0

8 SZE - SZT. Agárdy Gyula8 Az 1. pont (relatív) elfordítása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA  1 1

9 SZE - SZT. Agárdy Gyula9 A 2. pont (relatív) eltolása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA u 2

10 SZE - SZT. Agárdy Gyula10 A 3. pont (relatív) elfordítása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA  3 3

11 SZE - SZT. Agárdy Gyula11 A 4. pont (relatív) eltolása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA u 4

12 SZE - SZT. Agárdy Gyula12 Az 5. pont (relatív) elfordítása utáni alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA  5 5

13 SZE - SZT. Agárdy Gyula13 A végleges alak LÁNCOLATOK ELMOZDULÁSA

14 SZE - SZT. Agárdy Gyula14 FOLYTATÁSA KÖVETKEZIK!

15 SZE - SZT. Agárdy Gyula15 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK A szilárd anyagú, rugalmas tartószerkezeteken az igénybevételek és az alakváltozások mindig kölcsönösen egyértelmű (függvény)kapcsolatban vannak. Ha tehát valamely tartószakaszon VAN valamilyen belső erő, ott a neki megfelelő DEFORMÁCIÓNAK is lennie kell. (ne feledjük: egy tartószakasznak igénybevétel NÉLKÜL is lehet merevtest-szerű ELMOZDULÁSA de ALAKVÁLTOZÁSA NEM!)

16 SZE - SZT. Agárdy Gyula16 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK Egy rúdszerkezet infinitezimális szélességű lamelláján a következő (síkbeli) elmozdulás-összetevők értelmezhetők: du z N T M dz du y dd

17 SZE - SZT. Agárdy Gyula17 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK Az elmozdulás-összetevők a fajlagos (relatív) elmozdulások segítségével is kifejezhetők: N T M dz du z =  ×dz du y =  ×dz d  =  ×dz

18 SZE - SZT. Agárdy Gyula18 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK A fajlagos (relatív) elmozdulások pedig a keresztmetszetre ható igénybevételekből állíthatók elő: N T M dz du z =(N/EA×dz du y =(  T/GA)×dz d  =  M/EJ  ×dz (a T/A az átlagos t feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a  tényezővel vesszük figyelembe)

19 SZE - SZT. Agárdy Gyula19 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK Az elemi (infinitezimális szélességű lamellán meghatározott) elmozdulások összetételével az elmozdulás-összetevők véges hosszúságú tartószakaszra is meghatározhatók: u z K1→K2 = K1 ∫ K2 du z = K1 ∫ K2 (N/EA)×dz u y K1→K2 = K1 ∫ K2 du y = K1 ∫ K2 (  T/GA)×dz  K1→K2  = K1 ∫ K2 d  = K1 ∫ K2  M/EJ  ×dz (a T/A az átlagos  feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a  tényezővel vesszük figyelembe)

20 SZE - SZT. Agárdy Gyula20 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű és anyaga is homogén, izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig az aktuális igénybevételi ábrának a vizsgált szakaszon vett területe: u z K1→K2 = K1 ∫ K2 du z = K1 ∫ K2 (N(z)/EA)×dz=A N /EA u y K1→K2 = K1 ∫ K2 du y = K1 ∫ K2 (  T(z)/GA)×dz=  A T /GA  K1→K2 = K1 ∫ K2 d  = K1 ∫ K2  M(z)/EJ  ×dz=A M /EJ

21 SZE - SZT. Agárdy Gyula21 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK A fentiek alapján tehát a relatív elmozdulás-összetevők az igénybevételi ábrák és a merevségi adatok (keresztmetszeti és anyagjellemzők) ismeretében elemi eszközökkel előállíthatók !

22 SZE - SZT. Agárdy Gyula22 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK A fentiekhez egy fontos tapasztalati kiegészítés: Tartótengelyre merőleges irányú eltolódás akkor is keletkezik, ha a tartószakaszon kizárólag nyomaték működik! Azaz a nyomatéki hatás IS ébreszt tengelyre merőleges eltolódásokat!

23 SZE - SZT. Agárdy Gyula23 AZ ELMOZDULÁS-ÖSSZETEVŐK ÉS AZ IGÉNYBEVÉTELEK A nyomatéki ábra dz szélességű lamellájának a z koordinátával képzett szorzata valójában a lamella origóra (y tengelyre) vett statikai nyomatékát állítja elő. M(z)×dz z u y K1→K2(M) = [ K1 ∫ K2 (z×M(z))dz ]/EJ=[A M ×z S ]/EJ súlypont zSzS

24 SZE - SZT. Agárdy Gyula24 FOLYTATÁSA KÖVETKEZIK!

25 SZE - SZT. Agárdy Gyula25 TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA MUNKAEGYENLETEK SEGÍTSÉGÉVEL

26 SZE - SZT. Agárdy Gyula26 A MUNKA DEFINÍCIÓJA A fizikában (és így a Mechanikában is) a MUNKA az ERŐ és az ELTOLÓDÁS szorzata, pontosabban az ERŐ és az irányába eső ELTOLÓDÁS szorzata, még pontosabban: az ERŐ és az ELTOLÓDÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA, ill. a NYOMATÉK és az ELFORDULÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA. abszolút elmozdulások esetén: W=F·e + M ·  vagy relatív elmozdulások esetén: W=F·u + M · 

27 SZE - SZT. Agárdy Gyula27 A MUNKA DEFINÍCIÓJA Ha a MUNKÁT VÉGZŐ és az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás AZONOS, SAJÁT munkáról, ha a MUNKÁT VÉGZŐ és az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás NEM AZONOS, IDEGEN munkáról beszélünk. A munka W jele után felső indexben adjuk meg először a MUNKÁT VÉGZŐ hatás jelét, majd az ELMOZDULÁST OKOZÓ hatás jelét (saját munka esetében ez a kettő természetesen azonos). W F,F : a Q erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett IDEGEN munka az F erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett SAJÁT munka W Q,F :

28 SZE - SZT. Agárdy Gyula28 A MUNKA DEFINÍCIÓJA W k Q,F : Ha a munkát egy külső (aktív vagy passzív) erő végzi a támadáspont (megfelelő irányú és jellegű) elmozdulásán, akkor KÜLSŐ munkáról, ha egy fajlagos (belső) erő, azaz igénybevétel végzi egy dz vastagságú lamellán a fajlagos alakváltozások nyomán kialakuló elemi relatív elmozduláson, akkor ALAKVÁLTOZÁSI (belső) munkáról beszélünk. a Q erőből származó igénybevételek által az F erő(rendszer) okozta deformációkon végzett ALAKVÁLTOZÁSI munka a Q erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett KÜLSŐ munka W a Q,F :

29 SZE - SZT. Agárdy Gyula29 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA Az igénybevételek (belső erők) munkája a fajlagos (relatív) elmozdulások segítségével is kifejezhető: N T M dz du z =  ×dz du y =  ×dz d  =  ×dz NQNQ TQTQ MQMQ dW N =N Q ×du z =N Q ×  ×dz dW T =T Q ×du y =T Q ×  ×dz dW M =M Q ×d  =M Q ×  ×dz

30 SZE - SZT. Agárdy Gyula30 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA Felhasználva a fajlagos belső erők (feszültségek) és a fajlagos alakváltozások közötti (az anyag rugalmassága folytán lineáris) összefüggést, az elemi (infinitezimális szélességű lamellán) az elemi alakváltozási (idegen)munkák így írhatók fel: (a T/A az átlagos  feszültséget adja, a km. alakjának eltéréseit a  tényezővel vesszük figyelembe) dW a,N Q,q 0 =N Q ×du z =N Q ×  ×dz=N Q ×  ×dz= dW a,N Q,q 0 =N Q (z)×N  z  ×dz dW a,T Q,q 0 =T Q ×du z =T Q ×  ×dz= T Q ×  G  ×dz= dW a,T Q,q 0 =T Q (z) ×  ×T  z  G  ×dz dW a,M Q,q 0 =M Q ×d  =M Q ×  ×dz= M Q (z) ×M  z  EJ×dz

31 SZE - SZT. Agárdy Gyula31 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű és anyaga is homogén, izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig a tényleges teherből (q 0 ) és a virtuális dinámból (Q) származó igénybevételi ábrák szorzatintegrálja lesz a teljes tartóhosszon. W a,N Q,q 0 = K ∫ V dW a,N Q,q 0 = K ∫ V (N Q (z)×N(z)/EA)×dz W a,N Q,q 0 =1/EA× K ∫ V (N Q (z)×N(z))×dz W a,T Q,q 0 = K ∫ V dW a,T Q,q 0 = K ∫ V  (T Q (z)×T(z)/GA)×dz W a,T Q,q 0 =  /GA× K ∫ V (T Q (z)×T(z))×dz W a,M Q,q 0 = K ∫ V dW a,M Q,q 0 = K ∫ V (M Q (z)×M(z)/EJ)×dz W a,M Q,q 0 =1/EJ× K ∫ V (M Q (z)×M(z))×dz

32 SZE - SZT. Agárdy Gyula32 AZ IGÉNYBEVÉTELEK ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA Ha két függvényből az egyik a vizsgált intervallumon lineáris, akkor a szorzatintegráljuk a következő lesz: z 1 ∫ z 2 (f(z) × g(z))dz=g(z 1 ) × z 1 ∫ z 2 (f(z)dz+(g(z 2 )-g(z 1 ))/L × z 1 ∫ z 2 z×f(z)dz-(g(z 2 )- g(z 1 ))/L × z 1 × z 1 ∫ z 2 f(z)dz = g(z 1 ) × A M z 1 →z 2 +(g(z 2 )- g(z 1 ))/L × A M z 1 →z 2 ×z S -(g(z 2 )- g(z 1 ))/L × z 1 × A M z 1 →z 2 z1z1 f(z)×dz z súlypont zSzS g(z 2 ) g(z 1 ) g(z)=g(z 1 )+(g(z 2 )-g(z 1 ))/L×(z-z 1 ) z2z2 g(z) z z 1 ∫ z 2 (f(z) × g(z))dz=A M z 1 →z 2 × [g(z 1 )+(g(z 2 )-g(z 1 ))/L × (z S -z 1 )= A M z 1 →z 2 × g(z S ) g(z S )

33 SZE - SZT. Agárdy Gyula33 ELMOZDULÁSOK MEGHATÁROZÁSA MUNKAEGYENLETEK SEGÍTSÉGÉVEL 1. a keresett helyen a keresett elmozdulásnak megfelelő VIRTUÁLIS DINÁMot iktatunk be 2. elkészítjük az igénybevételi ábrákat mind az eredeti terhelésből, mind a virtuális dinámból 3. a külső és az alakváltozási (idegen) munkák egyenlőségéből kiszámítjuk az elmozdulást


Letölteni ppt "TARTÓK ALAKVÁLTOZÁSA ALAPFOGALMAK. SZE - SZT. Agárdy Gyula2 A SÍKBELI ELMOZDULÁS- ÖSSZETEVŐK e x : x irányú abszolút eltolódás u x, A->B : B-nek A-hoz."

Hasonló előadás


Google Hirdetések