Függvénytranszformációk

Az előadások a következő témára: "Függvénytranszformációk"— Előadás másolata:

1 Függvénytranszformációk
A másodfokú függvényről általában Eltolás x tengely mentén Tükrözés az x tengelyre Nyújtás, zsugorítás az y tengely mentén Készítette: Sellei László

2 A másodfokú függvényről általában
A másodfokú függvény képe parabola. A függvény általános képlete: y = c · (x + a)2 + b Az y = x2 függvény grafikonja. A függvény minimuma az origóban van.

3 A másodfokú függvénnyel különféle transzformációkat végezhetünk, például:
eltolhatjuk az x tengely mentén, tükrözhetjük az x tengelyre, nyújthatjuk, zsugoríthatjuk az y tengely mentén.

4 Eltolás az x tengely mentén
Ábrázoljuk az y = (x+3)2 függvényt! 1. Először ábrázoljuk az y = x2 függvényt!

5 Eltolás az x tengely mentén
2. Következő lépésben pedig ábrázoljuk az y = (x+3)2 függvényt! A függvényt az x tengely mentén negatív irányban 3 egységgel toltuk el.

6 Eltolás az x tengely mentén Ábrázoljuk az y = (x-4)2 függvényt!
1. Először ábrázoljuk az y = x2 függvényt!

7 Eltolás az x tengely mentén
2. Következő lépésben pedig ábrázoljuk az y = (x-4)2 függvényt! A függvényt az x tengely mentén pozitív irányban 4 egységgel toltuk el.

8 Összefoglalás Eltolás az x tengely mentén
Ha az x-hez a négyzetre emelés előtt pozitív számot adunk hozzá, akkor a függvény korábban veszi fel ugyanazokat az értékeket, így az x tengely mentén negatív irányba toljuk el a függvényt. Ha az x-ből a négyzetre emelés előtt pozitív számot vonunk ki, akkor a függvény később veszi fel ugyanazokat az értékeket, így az x tengely mentén pozitív irányba toljuk el a függvényt.

9 Tükrözés az x tengelyre
Ábrázoljuk az y = -x2 függvényt! 1. Először ábrázoljuk az y = x2 függvényt!

10 Tükrözés az x tengelyre
2. A következő lépésben az y értékek előjelei megváltoznak. Vegyük észre, hogy az így kapott parabola az eredetinek x tengelyre való tükörképe!

11 Tükrözés az x tengelyre
Ábrázoljuk az y = -(x-2)2 függvényt! 1. Először ábrázoljuk az y = x2 függvényt!

12 Tükrözés az x tengelyre
2. Ábrázoljuk most az y = (x-2)2 függvényt! Az előző fejezetben tárgyalt módon ábrázoltuk a fenti függvényt.

13 Tükrözés az x tengelyre
3. Végül tükrözzük a függvényt az x tengelyre.

14 Összefoglalás Tükrözés az x tengelyre
Ha a négyzetre emelés után megváltoztatjuk a kapott szám előjelét, azaz (-1)-szeresét vesszük, akkor a függvény képe az eredeti x tengelyre való tükörképe lesz. Az eredeti és a tükrözött parabola által egy-egy pontban felvett értékek x tengelytől mért távolsága megegyezik.

15 Nyújtás és zsugorítás az y tengely mentén
Ábrázoljuk az y = 3·x2 függvényt! 1. Először ábrázoljuk az y = x2 függvényt!

16 Nyújtás és zsugorítás az y tengely mentén
2. Azután az alapfüggvény minden értékének háromszorosát vesszük. Az alapfüggvényhez képest a transzformált függvény pontjai az x tengelytől háromszoros távolságra vannak.

17 Nyújtás és zsugorítás az y tengely mentén
Ábrázoljuk az függvényt! 1. Hasonlóan a nyújtáshoz az x2 függvényből indulunk ki. 2. Ezután az alapfüggvény értékeinek egyharmadát vesszük. Az előzőekhez képest itt a transzformált függvény az alapfüggvény értékeinek egyharmadát veszi fel.

18 Nyújtás és zsugorítás az y tengely mentén
Ábrázoljuk az y = 4x2 és az függvényeket közös koordináta-rendszerben!

19 Összefoglalás Nyújtás és zsugorítás az y tengely mentén
Ha 1-nél nagyobb számmal szorozzuk az x2 függvényt, akkor az alapfüggvény értékei is annyiszorosára változnak. Ha 1-nél kisebb pozitív számmal szorozzuk az x2 függvényt, akkor az alapfüggvény értékei is annyiszorosára változnak.

20 Önállóan kövesd végig az y = -3(x+2)2 függvény ábrázolásának lépéseit!
Milyen színnel jelöltük a keresett függvényt?