Az én házi feladatom volt: A kérdés: Bű-e a válasz arra a kérdésre, hogy Ön egészséges-e?

263. A felsorolt halmazok feladata. Otthonra volt: Miért nem fog neki sikerülni? 263. A felsorolt halmazok feladata.

Ha egy halmaz elemeit meg tudjuk címkézni az {1, 2, 3} halmaz elemeivel, akkor hány eleme van? Címkézés: minden számot felhasználunk, de mindegyiket csak egyszer, és minden elem kap címkét. Matematikai nyelven: kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítünk a két halmaz között. {1, 2, 3} helyett a {0, 1, 2} halmazt is használhatjuk. Minden természetes számot a nála kisebb természetes számok halmazaként fogunk fel. Hány eleme van egy olyan halmaznak, aminek az elemeit az összes természetes szám felhasználásával tudunk megcímkézni? Nevezzük ezt a végtelen számot -nak. Hány egész szám van (a negatívakat is beleértve)? A szultán minden nap berak két aranyat a kincstárába. Minden éjjel jön egy tolvaj, és elvisz egy aranyat. n nap után hány arany lesz a kincstárban? És  nap után? Mindegy-e, hogy a tolvaj melyik aranyat viszi el? (Pl. az utoljára betettek közül egyet, vagy a legrégebben ott levők közül egyet.)

A Hilbert-szállóban végtelen sok szoba van, de már mondegyikben van vendég. Érkezik egy turistabusz negyven utassal. Mit csináljon a portás? Érkezik egy turistabusz végtelen sok utassal. Mit csináljon a portás? Érkezik végtelen sok turistabusz, mindegyik végtelen sok utassal. Őket is el tudja helyezni a portás? Hány természetes számokból álló számpár van? Ez még mindig csak  (=*), mert egy kétdimenziós táblázatot be tudunk járni cikkcakkban. Egy kétbetűs ábécéből hány n hosszúságú szót tudunk kirakni? 2n És hány végtelen sorozatot? 2 Ez már nem számozható meg természetes számokkal (a 263. feladatban bebizonyítottuk). Ez CANTOR tétele. Általánosabban: egy halmaz és az összes részhalmazainak a halmaza között soha nincs kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (262. feladat).

Szerepelt már a Hazug paradoxona: (*) A csillaggal jelölt mondat hamis. Hazug-mondat: az olyan mondat, amely akkor és csak akkor igaz, ha hamis. Ha fel lehetne sorolni a Halmazok könyvében az összes természetes számokból álló halmazt, akkor a barátságtalan számok halmazának lenne egy b sorszáma. A ‚b egy barátságos szám’ mondat hazug-mondat lenne. A paradoxon átalakult indirekt bizonyítássá.

HA EZ A MONDAT IGAZ, AKKOR A MIKULÁS LÉTEZIK. 240. HA EZ A MONDAT IGAZ, AKKOR A MIKULÁS LÉTEZIK. Löb-paradoxon.

A G szigettel kapcsolatban a következő dián olvasható két pár kérdés A G szigettel kapcsolatban a következő dián olvasható két pár kérdés. Próbálják meg otthon megválaszolni.