Kijelentéslogikai igazság (tautológia): a kijelentéslogikai formája logikai igazság, azaz bármilyen igazságértéket rendelünk a mondatbetűkhöz, az egész mondat igaz. Kijelentéslogikai (tautologikus) következmény: ha úgy rendelünk igazságértéket a mondatbetűkhöz, hogy a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz lesz. Kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalensek: bárhogy rendelünk a mondatbetűkhöz igazságértéket, egyszerre igazak . Elsőrendű logikai igazság az a FOL-mondat, amelyik igaz lesz, akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét. Avagy: az üres premisszahalmaz FOL-következménye. Elsőrendű logikai következménye egy FOL-mondat (konklúzió) adott FOL-mondatoknak (premisszák) ha akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét, amennyiben a premisszák igazak lesznek, úgy a konklúzió is igaz lesz. Elsőrendűen (FOL-ban) ekvivalens két FOL-mondat, ha … Egyszerűbben: ha kölcsönösen következményei egymásnak.

Mindegyik FOL-fogalom tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia) és szűkebb, mint az általános logikai (analitikus) igazság, következmény, ekvivalencia. Hogyan tudjuk cáfolni FOL-ban a következményviszony fennállását? Volt példa: megadunk egy tárgyalási univerzumot és kijelöljük a szereplő predikátumok terjedelmét az univerzumon belül úgy, hogy a premisszák igazak legyenek, és a konklúzió hamis. (Ellenpélda.) Kb. olyan, mintha egy Tarski-féle világot adnánk meg, csak a predikátumok jelentését nem kell megtartani. Azaz össze szabad cserélni pl. a BackOf-ot az Adjoins-szal. Ha a predikátumok jelentését is meg akarjuk tartani, akkor a blokknyelv analitikus igazság-, következmény-, stb. fogalmához jutunk.

Vagy halandzsa-predikátumokkal – l. könyv Legyen adott egy következtetés, keressünk hozzá ellenpéldát a fenti módon. Ha ezt meg tudjuk tenni (tehát olyan világot találunk, amelyben a premisszák igazak, a konklúzió meg hamis), akkor a premisszákból nem következik a konklúzió. Ha bizonyítani tudjuk (mondjuk szemantikai érveléssel), hogy ez nem tehető meg, akkor következik. Példa: Barbara-Barbari. HF: 10.13-10.19 (Látszólag) másik módszer az elsőrendű következményviszony cáfolására: behelyettesítés. Helyettesítsük az előforduló predikátumokat jelentés nélküli predikátumbetűkkel. Vagy halandzsa-predikátumokkal – l. könyv

(1) S(x) P(x)  P(x )  S(x) Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá . Másképp ugyanaz: két nyitott mondat ekvivalens, hha a szabad változókat nevekkel helyettesítve ekvivalens mondatokat kapunk. Például: (1) S(x) P(x)  P(x )  S(x) Ha egy kijelentéslogikai (tautologikus)ekvivalenciában a mondatokat (mondatbetűket) nyitott mondatokkal pótoljuk, mindig ekvivalens nyitott mondatokat kapunk. (Pótlás elve) Így kaphatjuk meg az (1) ekvivalenciát a kijelentéslogikai kontrapozíció törvényéből.

x(S(x) P(x))  x(P(x )  S(x)) Helyettesítés elve: Ha egy A(B) mondaton belül a B részmondatot a vele ekvivalens C mondattal helyettesítünk, az új, A(C) mondat ekvivalens lesz A(B)-vel. A helyettesítés elvével kapjuk (1)-ből a következő FO elvivalenciát: x(S(x) P(x))  x(P(x )  S(x)) Ez a kvantifikált kontrapozíció szabálya. Hasonlóan kaphatjuk meg a kategorikus állítások különböző formalizálásainak ekvivalenciáját (felhasználva a kvantifikációs De Morgan-szabályokat is). Pl. egyetemes állító (a): x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x)) x(S(x)  P(x))

Szétoszthatók-e a kvantorok egy konjunkció vagy diszjunkció tagjaira? x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x) De ‘x(P(x)  Q(x))’ nem ekvivalens azzal, hogy ‘xP(x)  xQ(x)’ !!! x(P(x)  Q(x)) xP(x)  xQ(x) De ‘x(P(x)  Q(x))’ nem ekvivalens azzal, hogy ‘xP(x)  xQ(x)’ !!! És ha P(x) helyett egy P zárt mondatot veszünk? Akkor minden esetben lehetséges a szétosztás: x(P  Q(x))  P  xQ(x) x(P  Q(x))  P  xQ(x) Kondicionális és kvantifikáció kapcsolata? Legyen P megint zárt mondat. P xQ(x)  x(PQ(x)) PxQ(x) x(P  Q(x)) xQ(x) P x(Q(x) P) xQ(x)  P  x(Q(x) P) HF: 10.24-10.29 – csak az ellenpéldákat kell küldeni (ahol vannak). P mindenütt lehet olyan nyitott mondat is, amelyben x nem fordul elő szabadon

A blokknyelvben majdnem mindig! Jelentésposztulátumok A blokknyelvben vannak olyan logikai igazságok, amelyek nem FO igazságok . Ezeket hívtuk úgy, hogy a blokknyelv analitikus igazságai. Pl. (BackOf(a, b)  BackOf(b, c))  BackOf(a,c) Hasonlóan a köznyelvben: Ha a nagyobb, mint b és b nagyobb, mint c, akkor a nagyobb, mint c. Vannak olyan érvényes következtetések a blokknyelvben, amelyek nem FO érvényesek. BackOf(a, b) SameRow(b, c) BackOf(a, c) Az ilyen következtetések általában átalakíthatók FO érvényes következtetéssé úgy, hogy a premisszákhoz hozzáveszünk egy vagy több, a szereplő predikátumok jelentésén alapuló logikai (analitikus) igazságot. Az ilyen pótpremisszákat hívjuk – Carnap nyomán – jelentésposztulátumoknak. A blokknyelvben majdnem mindig!