A végtelen paradoxonjai Egy szállóban minden szoba tele van. Éjszaka beállít egy új vendég, és szobát kér. Meg tudja-e ezt oldani az éjszakai portás? És ha a szállodában végtelen sok szoba van (Hilbert-szálló)? És ha a Hilbert-szállóhoz érkezik egy busz végtelen sok vendéggel? És ha végtelen sok busz érkezik végtelen sok vendéggel? A szultán minden nap betesz a kincstárába két aranytallért. Éjszaka jön egy tolvaj, és elvisz egy aranytallért. n nap után hány tallérja marad a szultánnak? És végtelen sok nap után? A mozgó sorok paradoxonjában: igaz-e, hogy a fél egységnyi szakaszon ugyanannyi pont van, mint az egy egységnyin? Bolzano: Paradoxien des Unendlichen (megj. 1953): ezeket a paradoxonokat nem lehet megoldani, mert a (valódi) rész mindig kisebb, mint az egész. (Euklidész) Cantor (1850-es évek): ez az euklidészi axióma a végtelen sokaságokra nem igaz.

Két halmaz „ugyanakkora”, ha kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozhatók. (Akár végtelen, akár véges.) Cantor: vannak különböző nagyságú végtelenek. Dedekind, 1888: egy halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha van olyan valódi része, amelyik ugyanakkora. Más lehetséges megközelítés: egy halmaz akkor és csak akkor véges, ha egyenként le lehet számlálni, és egyszer elfogy.

Szóritész a kopaszságról Akinek százezer hajszála van, az nem kopasz. (K premissza) Aki nem kopasz, és elveszít egyetlenegy hajszálat, attól még nem válik kopasszá. (I premissza) K1: Akinek 99 999 hajszála van, az nem kopasz. (K-ból és I-ből) K2: Akinek 99 998 hajszála van, az nem kopasz. (K1-ből és I-ből) K99999: Akinek egy hajszála van, az nem kopasz. K felállításának alapja: tkp. mindegy, hogy hány hajszálunk van, biztos, hogy véges sok van, azaz lefelé számlálással elérünk -ig. I: a hajszálak számát tekinthetjük gyakorlatilag végtelennek. A matematika ismer olyat, hogy I bármelyik esetét el lehet fogadni igaznak, és ebből nem feltétlenül következik, hogy I (mint univerzálisan kvantifikált mondat) igaz.

Newcomb-paradoxon Előttünk van két doboz, A és B. Ezekbe egy nagyon megbízható jövendőmondó helyezett el pénzt, amihez úgy juthatunk, ha mind a két dobozt kinyitjuk, vagy csak a B dobozt nyitjuk ki. A jövendőmondó tett ezer forintot az A dobozba, ha azt jósolta, hogy mind a két dobozt kinyitjuk, akkor B-be nem tett semmit, ha azt jósolta, hogy csak a B-t nyitjuk ki, akkor abba egymilliót tett. Melyik lehetséges lépést válasszuk? (I) Csak a B dobozt nyissuk ki. A jövendőmondó tudta, hogy a B dobozt fogjuk kinyitni, ezért odatette az egymilliót. Nyertünk 1 000 000 forintot. (II) Nyissuk ki mind a két dobozt. Nem tudhatjuk, hogy a jövendőmondó mit jósolt, de ha ezt jósolta, még mindig jobban járunk 1000 forinttal, ha így járunk el, mint ha csak az üres B-t nyitnánk ki. Ha meg azt jósolta, hogy a B-t fogjuk kinyitni (pl. azért, mert az előbbi gondolatmenetet tulajdonítja nekünk) akkor most jól kicseleztük, és egy ezressel többet nyertünk. tehát így mind a két esetben jobban járunk.

Az (I) döntésről Ha a jövendőmondó abszolút megbízható, azaz lehetetlenség olyan szcenárió, amikor nem találja el, akkor biztos, hogy az (I) döntés a helyes. De ennek – úgy látszik – elég vad metafizikai következményei vannak. Ha feltételezzük, hogy létezik tévedhetetlen jövendőmondó, ez azt jelenti-e, hogy a cselekedeteink teljesen determináltak, „valójában” nem döntünk. Nem jelent-e ugyanez a feltételezés backward causationt?

Ha nem akarunk ekkora metafizikai csapdákba lépni, tegyük fel, hogy a jövendőmondó p valószínűséggel találja el a jövőt. Ebben az esetben az (I) döntés választásával a nyereségünk várható értéke p*1000000 + (1-p)*0 a (II) döntéssel pedig p*1000 + (1-p)*1001000 Ez utóbbi mindig kisebb, mint az (I) stratégia várható értéke, hacsak p>1/2. A Várható Haszon Maximalizálásának stratégiája (VHM): ha a lehetséges kimenetelekhez valószínűségeket tudunk rendelni, és ha a várható haszon minden esetben numerikusan jellemezhető, akkor törekedjünk a várható érték maximalizálására. Ez az (I) döntést javasolja, hacsak a jövendőmondó nem teljesen vaktában beszél.

A (II) döntésről A Dominancia stratégiája (D): Van valahány lehetséges választásunk, és van egy ismeretlen tényezőnek több lehetséges kimenetele. Minden döntés-kimenetel-párhoz hozzá tartozik valamilyen hasznosság. Ezeknek nem kell numerikusan jellemezhetőnek lenni, elég, ha összehasonlíthatóak (hasznosabb – kevésbé hasznos). Döntsünk úgy, hogy egyetlen lehetséges kimenetel esetén se járjunk rosszabbul, mint a többi lehetséges választásunk esetében, és legyen legalább egy kimenetel, amikor jobban járunk (ha van ilyen választásunk). Ez egyértelműen (II)-t javasolja. Vagy legalábbis úgy látszik.

Tekintsük két lehetséges kimenetelnek most nem az, hogy a jövendőmondó így vagy úgy helyezte el a pénz, hanem hogy tévedett, vagy nem tévedett. Ha (II)-t döntöttük és a jövendőmondó eltalálta, akkor van 1000 forintunk. Ha (II)-t döntünk és a jövendőmondó nem találta el, akkor van 1 001 000 forintunk. Ha (I)-et döntünk és a jövendőmondó eltalálta, akkor van 1 000 000 forintunk. Ha (I)-et döntünk és a jövendőmondó nem találta el, akkor van 0 forintunk. Tehát ha a jövendőmondó eltalálta, akkor az (I) döntés a kedvezőbb, ha viszont nem találta el, akkor a (II). Azaz nincs a D stratégiának megfelelő döntés. VHM vagy D a racionális stratégia? D-hez az adott példában mi a kimenetelek helyes meghatározása?