Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2.2. Az egyenes és a sík egyenlete. Mire kell az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek és testek tárolása (reprezentációja)

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2.2. Az egyenes és a sík egyenlete. Mire kell az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek és testek tárolása (reprezentációja)"— Előadás másolata:

1 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete

2 Mire kell az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek és testek tárolása (reprezentációja) Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk

3 Egy alakzat egyenlete … 3x + 4y = 6 : egy egyenes egyenlete; egyenlőség, az egyenes pontjaira, másra nem ax + by + c = 0: az egyenes (általános) egyenlete; paraméteres egyenlőség, minden (a,b,c)-re egy egyenes egyenlete, és minden egyeneshez van ilyen (a,b,c) De y = m  x + b : nem minden egyeneshez van (m,b) !

4 Egy alakzat egyenlete … ax + by + c < 0 : egy félsík egyenlőtlensége y = f( x ), z = g( x, y ) : explicit (kifejezett) egyenletek h( x, y ) = 0, : implicit egyenlet pl. x 2 + y 2 -1 = 0 x = u( t ), y = v( t ); a  t  b : paraméteres egyenletrendszer pl. x = r ∙ cos t, y = r ∙ sin t, z = v ∙ t  0  t < T

5 Egyenesek egyenlete ( E 2, 3 ) hogyan adjuk meg? hogyan tároljuk? hogyan számolunk vele?

6 Két pontjával adott egyenes ( E 2, 3 ) Hogyan adhatjuk meg? (például) type Gxyz = real; // vagy double ? type Gpoint = record x, y [, z] : Gxyz; end; type Gline_pp = record P, Q : Gpoint; end; type Gvector = record x, y [, z] : Gxyz; end;

7 Az egyenes paraméteres egyenlete ( E 2, 3 ) Adott: P = (p x, p y [,p z ] ) és Q = (q x, q y [,q z ] ) Az egyenes minden X pontjához van olyan t  R hogy: X = P + t · (Q - P) = (1 - t) · P + t · Q ; - és minden ilyen t-hez tartozik egy X  PQ Az összetevőkre hasonlóan: x = p x + t · (q x – p x ), azaz: x = (1 – t) · p x + t · q x, y = p y + t · (q y – p y ), y = (1 – t) · p y + t · q y, [ z = p z + t · (q z – p z ), z = (1 – t) · p z + t · q z ]

8 X = (1 – t) · P + t · Q ; ::: t értéke a szakaszon és azon kívül ! ::: egyenlőközű t értékek: egyenlőközű pontok, ::: t és (1 – t): X baricentrikus koordinátái az egyenesen, a P,Q alappontokra vonatkozóan ::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak ! P Q t < 0 t = 0 t > 1 0 < t < 1 t = 1

9 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2 ) –Adott egy egyenes P = (p x, p y ) és Q = (q x, q y ) pontjával –Adott egy másik; R = (r x, r y ) és S = (s x, s y ) pontjával –metszéspontjuk: M = (m x, m y )

10 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2 ) –PQ: m x = p x + t · (q x - p x ); RS: m x = r x + t’· (s x - r x ) m y = p y + t · (q y - p y ) m y = r y + t’· (s y - r y ) – p x + t · (q x -p x ) = r x + t’· (s x -r x ), p y + t · (q y -p y ) = r y + t’· (s y -r y ) –innen: t = …, (és t’ = …), majd ezzel m x = …, és m y = …

11 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2,3 ) –A síkban: 4 egyenlet, 4 ismeretlen: m x, m y, t, t’; – m x = p x + t · (q x - p x ); m x = r x + t’· (s x - r x ) m y = p y + t · (q y - p y ) m y = r y + t’· (s y - r y ) –Nincs megoldás, ha PQ || RS, vagy PQ = RS (det. = 0) –A térben: 6 egyenlet, 5 ismeretlen: m x, m y, m z, t, t’; –Az egyenesek a térben lehetnek kitérők ! –Megoldás: először egy síkvetületben oldjuk meg, pl. z=0 ezzel kapunk: t és t’ ezzel kiszámítjuk a két egyenesen a z-t

12 Példa: egyenes metszése szakasszal ( E 2 ): Két egyenes metszéspontját számoljuk és M a szakaszon van, 0  t  1

13 Az egyenes „irányvektoros” egyenlete ( E 2, 3 ) v = Q – P: az egyenes irányvektora Ha adott P és v : X = P + t · v, x = p x + t · v x, y = p y + t · v y, [ z = p z + t · v]

14 Az egyenes normálegyenlete és ennek változatai ( E 2 )

15 pontjával és normálisával adott egyenes ( E 2 ) Hogyan adjuk meg? type Gline_np = record P : Gpoint; n : Gvector, end;

16 Az egyenes normál-egyenlete ( E 2 ) Adott P = (p x, p y ) és n = (n x, n y ) Az egyenesen bármely X = (x, y) -re: ( X – P ) · n = 0, azaz: (x - p x ) · n x + (y - p y ) · n y = 0, Az egyenesen ( X – P ) · n = 0 egyik oldalán > 0, a másikon < 0. Átrendezve: X · n = P · n azaz: x · n x + y · n y = p x · n x + p y · n y ( x · a + y · b + c = 0 )

17 Az egyenes homogén, implicit egyenlete ( E 2 ) Az egyenes X = (x, y) pontjára ( E 2 ): a · x + b · y + c = 0; a 2 + b 2  0; (a, b) az egyenes egy normálvektora Bármely (a,b,c) egy egyenes paraméterei, és bármely egyeneshez van ilyen (a,b,c) számhármas. Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h  0

18 (a,b,c)-vel adott egyenes ( E 2 ) Hogyan adjuk meg? type Gline_a,b,c = record a, b, c : Gxyz; end;

19 A homogén, implicit egyenlet … ( E 2 ) – olv. Hesse-féle normál alakban : a’ · x + b’ · y + c’ = 0; a’ 2 +b’ 2 =1; (a’; b’) egy normál-egységvektor Salmon féle alakban: x / a” + y / b” = 1 Homogén koordinátákkal; az X = [x, y, w] pontokra ( H 2 ): a · x + b · y + c · w = 0; a 2 +b 2  0; Egy egyenes megadása: [a,b,c]  h ·[a,b,c]; a 2 +b 2  0;

20 Az egyenes egyenlete determináns alakban ( E 2 ) - olv Adott: P = (p x, p y ) és Q = (q x, q y ) a síkban (!!!) és egy tetszőleges X = (x, y) pontja d(PQX) = | x y 1 | a háromszög területe x 2. | p x p y 1 | | q x q y 1 | Ha P, Q, X egy egyenesbe esik, akkor: d(PQX) = 0, azaz (p y - q y )x + (q x - p x )y + (p x q y - p y q x ) = 0

21 Az egyenes iskolai „egyenlete” ( E 2 ) - olv y = M · x + B; korlátozott; az x = c egyenesekre nem, Ha lehet kerüljük !!! y 2 – y 1 Két adott pontján át: y = · (x – x 1 ) + y 1 ; x 2  x 1 !! x 2 – x 1 átalakítva használható: (x 2 – x 1 ) · (y – y 1 ) = (y 2 – y 1 ) · (x – x 1 )

22 Félsík megadása ( E 2 ) (1) Homogén lineáris egyenlőtlenséggel: a · x + b · y + c < 0; a 2 + b 2  0; (2) a határ-egyenese: (R, n) „normál-egyenlőtlensége”: ( X – R ) · n < 0, a félsík minden X pontjára R n R

23 Síkok egyenlete ( E 3 )

24 A sík paraméteres egyenlete ( E 3 )

25 Három pontjával adott sík Hogyan adjuk meg? Például: type Gplane_ppp = record P, Q, R : Gpoint; end;

26 A sík paraméteres egyenlete: A síkban adott egy Q pont és az u, v vektor pár : X = Q + s · u + t · v, ( a koordinátákra is) A sík három, nem egy egyenesbe eső P, Q és R pontjával X = Q + s·(P-Q) + t·(R-Q), vagy: X = (1-s-t) · Q + s· P + t · R x = q x + s·(p x -q x ) + t·(r x -q x ), vagy: x = (1-s-t)·q x +s·p x + t·r x y = q y + s·(p y -q y ) + t·(r y -q y ), vagy: y = (1-s-t)·q y +s·p y + t·r y z = q z + s·(p z -q z ) + t·(r z -q z ), vagy: z = (1-s-t)·q z +s·p z + t·r z.

27 A sík paraméteres egyenlete: X = Q + s·(P - Q) + t·(R - Q), vagy: X = (1-s-t)·Q + s·P + t·R ha 0  s, t, 1-s-t  1 : a háromszög pontjai, ha egyik nulla: a háromszög egyik oldala, ha kettő nulla (és a harmadik 1): egyik csúcsa, ha valamelyik negatív, vagy >1: a pont kívül van. s, t, 1-s-t : baricentrikus koordináták a síkban

28 X = (1 - u-v) · Q + u · P + v · R ; ::: A háromszögön belül 0 < u, v, u+v < 1 ::: egyenlőközű u,v értékek: egyenlőközű pontok, ::: u, v, és (1-u-v): X baricentrikus koordinátái a síkban, a P,Q, R alappontokra vonatkozóan ::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak ! P Q u = 0 0 < u, v, u+v < 1 (u = 1) R v = 0 (v = 1) (u+v=0)

29 Példa: egyenes döféspontja síkkal –A döféspontot jelöljük így: M = (x, y, z ) –A PQR síkjának egyenlete: M = (1-u-v) · Q + u · P + v · R ; az ST egyenes egyenlete: M = (1-w) · S + w · T ; –A 3+3 egyenlet, 6 ismeretlen: x, y, z, u, v, w; –Megoldás: az M két kifejezése egyenlő egymással. Marad 3 egyenlet az u, v, w ismeretlenekre –De az egyenes és sík lehetnek párhuzamosak !

30 A sík egyenlete kifeszítő vektoraival a = P – Q és b = R – Q a síkot kifeszítő két vektor Ha adott Q, a és b, akkor a sík bármely pontjához van u,v: X = Q + u · a + v · b,

31 A sík normálegyenlete és annak változatai ( E 3 )

32 pontjával és normálisával adott sík Hogyan adjuk meg? Például: type Gplane_np = record P : Gpoint; n : Gvector, end;

33 A sík normálvektoros egyenlete : A sík adott P pontja és n normálvektora: (X - P) · n = 0, illetve: (x-p x )·n x + (y-p y )·n y + (z-p z )·n z = 0; X · n = P · n, illetve: x·n x + y·n y + z·n z = p x ·n x + p y ·n y + p z ·n z x·a + y·b + z·c + d = 0

34 A sík implicit, homogén egyenlete A sík homogén, implicit egyenlete: a · x + b · y + c · z + d = 0; a 2 + b 2 + c 2  0 Egy sík megadása (tárolása): [a,b,c]; a 2 + b 2 + c 2  0 Homogén koordinátás alakban ( H 3 ): a · x + b · y + c · z + d · w = 0; a 2 + b 2 + c 2  0 Egy sík megadása: [a,b,c,d]  h·[a,b,c,d]; a 2 +b 2 +c 2  0 Tömören: s · X = 0; s = [a, b, c, d] és X = [x, y, z, w] T ;

35 A sík implicit, homogén egyenlete - olv a·x + b·y + c·z + d = 0; a 2 +b 2 +c 2  0 Hesse-féle normálalak: a’·x+b’·y+c’·z+d’=0; a’ 2 +b’ 2 +c’ 2 =1 Salmon féle alak: x / a” + y / b” + z / c” = 1 determináns alak: 3 nem egy egyenesbe eső adott pont, P = (p x, p y,, p z, ), Q = (q x, q y, q z, ), R = (r x, r y, r z, ): | x y z 1 | = 0 (az első sor szerint kifejtve …) | p x p y p z 1 | | q x q y q z 1 | ( Az X, P, Q, R tetraéder | r x r y r z 1 | térfogatának 6-szorosa.)

36 Lássunk a koordináták mögé – t.i. z = 0; mi ez? Egyenlőség, egyenlet, kié-mié? 0  x + 0  y + 1  z + 0 = 0 sík: z = 0 és akármilyen x, y; az XY sík x + y = 0 mi az? HF !

37 A sík homogén koordinátás egyenlete Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0): P = [p 1, p 2, p 3, p 4 ] T  h·[p 1, p 2, p 3, p 4 ] T ; p i nem mind 0 Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h≠0): s = [s 1, s 2, s 3, s 4 ]  h·[s 1, s 2, s 3, s 4 ]; s i nem mind 0 Az s sík egyenlete: az s minden X pontjára: s · X = 0, azaz: s 1 ·x 1 + s 2 ·x 2 + s 3 ·x 3 + s 4 ·x 4 = 0 Az ideális sík homogén alakja: [0, 0, 0, c ]; c  0 (Minden pontja ideális pont: [x, y, z, 0] )

38 Nevezetes pontok és síkok homogén alakja Bármilyen c  0 számmal [0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja, [0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja, [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík, [0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.

39 További példák …

40 Egyenes döféspontja háromszöggel (E 3 ): t.i. Adott egy háromszög A, B, C csúcsai, síkjának egyenlete: X = B + s · (A - B) + t · (C - B) Adott egy egyenes P, Q pontjaival. az egyenes egyenlete: X = P + u · (Q - P). döféspont: [ X = ] B + s · (A - B) + t · (C - B) = P + u · (Q - P) 3 egyenlet; 3 ismeretlen: t, s, u; ezekből számolható X. Ha 0  s, t, 1-s-t  1, akkor X a háromszögben van. (Nincs megoldás: párhuzamosak, vagy egybe esnek.)

41 Áttérés egy másik egyenletre – t.i. Adott (a,b,c): a · x + b · y + c · z + d = 0 Írjuk föl a normál egyenletét: (X – R) · n = 0 Ehhez kell egy R pontja és egy n normálisa. a,b,c nem mind 0, ezért lehet R = (-d / a, 0, 0), vagy: (0, -d / b, 0), vagy (0, 0, -d / c) és egy n := (a, b, c);

42 Példa: hátsó lapok ritkítása - olv Egy poliédert a C pontból (kamera) nézünk. Melyik lapok láthatók, melyek takartak? n q (PQ normálisa) és a CQ vektor tompa szöget zár be, CQ · n Q < 0  PQ látható n p (PT normálisa) és a CP vektor hegyes szöget zár be, CP · n P > 0  PT nem látható Egy ABC lap normálisa: n = (A - B) x (C - B); (kívölről nézve KNÓJEI = CCLW)


Letölteni ppt "2.2. Az egyenes és a sík egyenlete. Mire kell az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek és testek tárolása (reprezentációja)"

Hasonló előadás


Google Hirdetések