Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák I. 18. előadás.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák I. 18. előadás."— Előadás másolata:

1 Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák I. 18. előadás

2 Hol járunk? 2

3 Paraméteres próbák 3 Statisztikai hipotézisen a vizsgált sokaság(ok)ra (valószínűség-eloszlásra) vagy ennek paramétere(i)re vonatkozó valamilyen feltevést értünk. Paraméteres próbák  Ismerjük a valószínűségi változó eloszlásának típusát  A nullhipotézis a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének valamely paraméterére vagy paramétereire vonatkozik

4 Paraméteres próbák csoportosítása Az általunk tárgyalt hipotézisvizsgálatok az alábbiak szerint csoportosíthatók  Nullhipotézis szerint szórásra, várható értékre vonatkozó próbák  Minták száma szerint egy-, két-, ill. többmintás próbák  Kétmintás próbáknál a minták kapcsolata alapján független és páros próbák 4

5 Egymintás próbák Egy minta adatai alapján teszteljük a nullhipotézist. Például: H 0 : M(  ) =  = 500 ml H 1 : M(  ) =   500 ml H 1 : M(  ) =  > 500 ml H 1 : M(  ) =  < 500 ml 5

6 Egymintás próbák normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Ismert-e az elméleti szórás? z-próba t-próba Igen (v. n > 30) Nem 6

7 Egymintás próbák normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére 7 Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbákParaméteres próbák Egymintás próbákKétmintás próbák Többmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Egymintás z-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismert,vagy n>30 Egymintás t-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismeretlen χ 2 -próba a szórásnégyzetre H 0 : σ 2 =σ 2 0 Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Kétmintás z-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1, σ 2 ismert, vagy n 1,n 2 >30 Kétmintás t-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1,σ 2 ismeretlen, σ 1 = σ 2 Független minták eseténPáros minták esetén Páros t-próba H 0 : μ 1 -μ 2 =d 0 F-próba H 0 : σ 2 1 =σ 2 2 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Illeszkedésvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F=F 0 Homogenitásvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F(ξ)=G(η) Függetlenségvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : ξ és η független Variancia analízis H 0 : μ 1 =μ 2 =…=μ n σ 1 =σ 2 =…=σ n Cochran-féle C próba H 0 : σ 1 =σ 2 =…=σ r n 1 =n 2 =…=n r =n

8 Feladat (egymintás z-próba) ROM chipek gyártása során az égetőkemence maximális hőmérsékletére vonatkozó n=8 elemű minta alapján a mixmális hőmérséklet átlaga 492°C-ra adódott. Korábbi vizsgálatok alapján tudjuk, hogy a folyamatban a maximum hőmérsékletek elméleti szórása 12°C. Feltehető-e, hogy a maximum hőmérséklet 500°C? 8

9 n = 8  0 = 12 °C  = 5%  /2 = 2,5% z  /2 = z 0,975 = 1,96 H 0 :  = 500 °C H 1 :   500 °C 9 Feladat (egymintás z-próba) megoldása Döntés: -z  /2 ≤ z sz ≤ z  /2 => H 0 -t elfogadjuk Elfogadási tartomány: -1,96 ≤ z sz ≤ 1,96

10 Feladat (egymintás t-próba) 10 Egy robogókat gyártó vállalat 50cm 3 hengerűrtartalmú, “Speedy” nevű csúcsmodellje 45 mérföld/órás sebességet képes elérni. Egy másik robogó márka azonos hengerűrtartalmú “Quickest” nevű modelljének végsebességéről gyűjtött 16 elemű statisztikai minta alapján megállapítható, hogy a “Quickest” végsebességének mintából számított átlaga 43,5 mérföld/óra, korrigált empirikus szórása s* = 3,0 mérföld/óra. Elfogadható-e 5%-os szignifikancia szinten, hogy a “Quickest” modell maximális sebessége kisebb a “Speedy” modell végsebességénél, azaz 45 mérföld/óránál?

11 Feladat (egymintás t-próba) megoldása n = 16 s* = 3,0 m/h  = 5% DF=n-1=15 t  =t 0,95 = 1,753 H 0 :  = 45 m/h H 1 :  < 45 m/h 11 Döntés: t sz H 0 -t elutasítjuk Elfogadási tartomány: t sz ≥-1,753

12 Egymintás próba normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére 12 H 0 : σ 2 = σ 0 2 Próbastatisztika (próbafüggvény)   n-1 szabadságfokú χ 2 eloszlású Kritikus tartomány  Ha

13 Egymintás próba normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére 13 Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbákParaméteres próbák Egymintás próbákKétmintás próbák Többmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Egymintás z-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismert,vagy n>30 Egymintás t-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismeretlen χ 2 -próba a szórásnégyzetre H 0 : σ 2 =σ 2 0 Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Kétmintás z-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1, σ 2 ismert, vagy n 1,n 2 >30 Kétmintás t-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1,σ 2 ismeretlen, σ 1 = σ 2 Független minták eseténPáros minták esetén Páros t-próba H 0 : μ 1 -μ 2 =d 0 F-próba H 0 : σ 2 1 =σ 2 2 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Illeszkedésvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F=F 0 Homogenitásvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F(ξ)=G(η) Függetlenségvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : ξ és η független Variancia analízis H 0 : μ 1 =μ 2 =…=μ n σ 1 =σ 2 =…=σ n Cochran-féle C próba H 0 : σ 1 =σ 2 =…=σ r n 1 =n 2 =…=n r =n

14 Kétmintás próbák H 0 : M(  1 ) = M(  2 )  1 =  2 H 1 : M(  1 )  M(  2 )  1   2 H 1 : M(  1 ) > M(  2 )  1 >  2 H 1 : M(  1 ) < M(  2 )  1 <  2 14 Két minta adatai alapján teszteljük a nullhipotézist. Például:

15 Ismert-e az elméleti szórás? u(z)-próba t-próba Igen (vagy n 1 és n 2 > 30) Nem, de a szórások egyeznek 15 Kétmintás próbák két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeinek egyenlőségére független minták esetén DF=n 1 +n 2 -2 ** * ha az elméleti szórások nem ismertek, de n 1 és n 2 >30, akkor  1 2  s 1 *2 és  2 2  s 2 *2

16 Kétmintás próbák két norm. elosz. val. vált. várható értékeinek egyenlőségére 16 Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbákParaméteres próbák Egymintás próbákKétmintás próbák Többmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Egymintás z-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismert,vagy n>30 Egymintás t-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismeretlen χ 2 -próba a szórásnégyzetre H 0 : σ 2 =σ 2 0 Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Kétmintás z-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1, σ 2 ismert, vagy n 1,n 2 >30 Kétmintás t-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1,σ 2 ismeretlen, σ 1 = σ 2 Független minták eseténPáros minták esetén Páros t-próba H 0 : μ 1 -μ 2 =d 0 F-próba H 0 : σ 2 1 =σ 2 2 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Illeszkedésvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F=F 0 Homogenitásvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F(ξ)=G(η) Függetlenségvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : ξ és η független Variancia analízis H 0 : μ 1 =μ 2 =…=μ n σ 1 =σ 2 =…=σ n Cochran-féle C próba H 0 : σ 1 =σ 2 =…=σ r n 1 =n 2 =…=n r =n

17 Feladat (kétmintás t-próba) 17 A Fogyasztóvédelmi Felügyelőség két fajta cigaretta („A” és „B”) szén-monoxid (CO) emisszióját hasonlította össze. A minták statisztikai adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Hasonlítsuk össze, hogy a két fajta cigaretta CO kibocsátása eltér-e egymástól?

18 Feladat (kétmintás t-próba) megoldása H 0 :  1 =  2 H 1 :  1   2  = 0,02DF = = 19  t  /2 = 2,539 Elfogadási tartomány: -2,54 ≤ t sz ≤ 2,54 18 Az elméleti szórásokat nem ismerjük. Egyelőre tételezzük fel, hogy a két sokaságban a szórások megegyeznek (ezt a későbbiekben egy statisztikai próbával fogjuk ellenőrizni). Ekkor kétmintás t-próbát használhatunk. Kétoldali próba A két sokaság várható értékének egyezőségét 2%-os szignifikancia szinten elfogadjuk.

19 Feladat (kétmintás z-próba) 19 Két gyártó egy-egy kávéfajtájának kiskereskedelmi egységárát szeretnénk összehasonlítani. Véletlenszerű mintát véve országszerte e kávéfajtákat áruló boltok közül, s feldolgozva az adatokat, a kapott statisztikai jellemzőket a következő táblázat mutatja. 1%-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy az „A” típusú kávé drágább, mint a „B”?

20 Feladat (kétmintás z-próba) megoldása H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 >  2  = 0,01  z  = 2,33 Elfogadási tartomány: z sz ≤ 2,33 20 Az elméleti szórásokat nem ismerjük, de a mintaszám elég nagy mindkét mintában, ezért kétmintás z-próbát használhatunk. Egyoldali próba Döntés: z sz az elutasítási tartományba esik, ezért a nullhipotézist elutasítjuk.

21 21 t-próba két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeinek egyenlőségére páros minták esetén (1) Az eddig tárgyalt kétmintás statisztikai próbák alkalmazásánál fontos feltétel volt a minták függetlensége. Páros minták esetén a minták nem függetlenek egymástól, „van bennük valamilyen közös tényező” (pl. ugyan az a mérőeszköz, ugyanazt az alkatrészt, embert stb. vizsgáljuk). Páros mintáknál az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását. A páros (összefüggő) sokaságokban a két sokaság (s ebből következően a két minta) elemei egymással kölcsönös és egyértelmű megfeleltetésbe hozhatók. Megközelítés: Képezzük a két minta különbségét és egymintás t-póbát alkalmazunk annak megállapítására, hogy a vizsgált valószínűségi változók várható értékeinek különbsége szignifikánsan eltér-e nullától.

22 22 t-próba két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeinek egyenlőségére páros minták esetén (2) H 0 : μ 1 = μ 2 (μ 1 - μ 2 =0 ) n 1 =n 2 =n a két minta elemszáma : az i-edik összetartozó mintaelem-pár különbsége (i=1,..,n). Ezekből áll az a minta, amelyre az egymintás t- próbát alkalmazzuk. : a értékek számtani közepe (i=1,..,n) a értékekből száított korrigált tapasztalati szórás Próbastatisztika: Ha H 0 teljesül, akkor t sz n-1 szabadságfokú student eloszlású A döntési elv megegyezik az egymintás t-próba döntési elvével.

23 Páros t-próba két norm. elosz. val. vált. várható értékeinek egyenlőségére 23 Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbákParaméteres próbák Egymintás próbákKétmintás próbák Többmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Egymintás z-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismert,vagy n>30 Egymintás t-próba H 0 : μ=μ 0 σ ismeretlen χ 2 -próba a szórásnégyzetre H 0 : σ 2 =σ 2 0 Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Kétmintás z-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1, σ 2 ismert, vagy n 1,n 2 >30 Kétmintás t-próba H 0 : μ 1 =μ 2 σ 1,σ 2 ismeretlen, σ 1 = σ 2 Független minták eseténPáros minták esetén Páros t-próba H 0 : μ 1 -μ 2 =d 0 F-próba H 0 : σ 2 1 =σ 2 2 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Illeszkedésvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F=F 0 Homogenitásvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : F(ξ)=G(η) Függetlenségvizsgálat χ 2 - próbával H 0 : ξ és η független Variancia analízis H 0 : μ 1 =μ 2 =…=μ n σ 1 =σ 2 =…=σ n Cochran-féle C próba H 0 : σ 1 =σ 2 =…=σ r n 1 =n 2 =…=n r =n

24 Feladat (páros t-próba)* * Forrás: Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, Egy sportcipőket gyártó cég szeretné meghatározni, hogy egy új típusú cipő („A”) élettartama nagyobb-e az előzőtől („B”)? Felkértek tíz kocogót, hogy teszteljék a termékeket. Az eredményeket (az élettartamokat hetekben mérve) az alábbi táblázat mutatja (az élettartamok normális eloszlást követnek). 95%-os megbízhatósági szinten vizsgálva elfogadható-e, hogy az új típusú cipők élettartama nagyobb a régieknél?

25 Feladat (páros t-próba) megoldása H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 >  2  = 0,05 DF=10-1=9 t  = 1,83 25 A cipők élettartama normális eloszlású. Páros minta áll rendelkezésre (közös tényező a kocogó), ezért páros t-próbát alkalmazunk. Egyoldali próba Mivel t sz az elutasítási tartományba esik, H 0 -t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el, azaz elfogadható, hogy az új cipők élettartama nagyobb, mint a régieké. Elfogadási tartomány: t sz ≤ 1,83

26 Gondolkodtató feladat 26 A helyes megoldás 3 plusz pontot ér az elért összpontszámban, de nem helyettesít pontokat a zárthelyi dolgozatban A megoldások a november 27-ei előadáson adhatóak le (papíron)


Letölteni ppt "Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák I. 18. előadás."

Hasonló előadás


Google Hirdetések