Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség: E félév feladata a Statika A következőé a Szilárdságtan 1. Zárthelyi időpontja: március.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség: E félév feladata a Statika A következőé a Szilárdságtan 1. Zárthelyi időpontja: március."— Előadás másolata:

1 Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség: E félév feladata a Statika A következőé a Szilárdságtan 1. Zárthelyi időpontja: március Zárthelyi időpontja: április 29. Pót zh időpontja: május 11. Házi feladat letölthető a tanszék honlapjáról –Nem kell beadni, célja csak az önálló gyakorlás –Megoldás ellenőrzésül 2 héttel később megtalálható ugyanott Időpont:minden szerda 16 h, K2 terem, ezen kívül március 8. hétfő, 8 h, K4 terem

2 Ajánlott irodalom: Dr. Becker Sándor –Orosz László: Statika (1995) Dr. Gáspár Zsolt – Dr. _Tarnai Tibor: Statika (jegyzet, azonosító:95036) Tamássy T.: - Dr. Szentiványi B,: Statika példatár (jegyzet J )

3 Speciális helyzetű erőt bontunk két adott irányú komponensre: F = F 1 +F 2 Geometriai megoldás: paralelogramma-szabály Számításos megoldás: egyenletrendszert írunk fel a vetületekre: X 1 +X 2 = X Y 1 +Y 2 = Y Feladat F1F1 F2F2 F X2X2 Y2Y2 X1 X1 Y1 Y1   Ebbe beírjuk a vetületeket az irányszögek szögfüggvényeivel kifejezve: X 1 = F 1. cos   és Y 1 = F 1. sin   X 2 = F 2. cos   és Y 2 = F 2. sin   X = F. cos  és Y = F. sin  Ezzel a két egyenletben már csak két ismeretlen lesz: F 1 és F 2  1 = -30 o = +330 o  2 = 60 o  = 0 o

4 Közös metszéspontú erők eredője Ajánlott táblázatos számítási forma i F i [kN]  ''cos    'sin    ' F ix F iy 1F1F1 30 0,8660,50,866 F 1 0,5 F 1 2F2F ,5-0,8660,5 F 2 -0,866 F 2 3-F  F ix : 0,866 F 1 + 0,5 F 2 - F = 0 F iy :  0,5 F 1 + 0,866 F = 0 F ix : ∑F ix = ∑F i cos  i  = 0 F iy :  ∑  F iy  ∑F i sin  i  = 0 F 1 + F 2 – F = 0

5 Ismétlés matematikából: vektorokra vonatkozó definíciók és összefüggések Vektorok összegére igaz: a + b = b + a kommutatív (a + b) + c = a + (b + c) asszociatív a + b ≤ a + b háromszög-egyenlőtlenség

6 skalár és vektor szorzata Az eredménye vektor c a = a c, c d a = d c a, (c + d) a = ca + da, c(a + b) = ca + cb

7 Vektor felírása koordináta-vektorokkal a = a x +a y +a z = a x i +a y j +a z k itt i, j, k a koordináta-vektorok (egységvektorok), a x, a y, a z a koordináta irányú komponensek a x, a y, a z a vektor derékszögű koordinátái

8 Vektor-vektor szorzatok Két vektor skaláris szorzata – az eredménye skalár a  b = ab cos φ  a b x y i j 0 ii = jj = kk = 1 Ij = ik= ji=jk= ki= kj = 0 a  b = (a x i + a z j + a z k)(b x i + b y j + b z k) = a x b x + a y b y +a z b z a = a = √ aa  axax ayay a x = a i = a 1 cos  = a cos  a y = a j = a 1 sin  = a sin 

9 Vektor-vektor szorzatok Két vektor vektoriális szorzata – az eredménye vektor a × b = ab sin φ e a × b = i j k = (a y b z – a z b y ) i + (a z b x – a x b z ) j + a x b y –a y b x ) k a x a Y a z b x b y b z Ebből következik a szuperpozíció (egymásrahalmozás) elve: Több hatás együttes működése az egyes hatások eredményének összege (mert az eredmények a hatások lineáris függvényei. determináns

10 Az erő vektorának megadása y’ z z’ x’ x F r y Térbeli vektor megadható 6 adattal: r = r(x,y,z) F = F(X,Y,Z) A támadáspont r helyvektorának és az F erővektornak három adata pl. 3 vetülete, F x = F. cos  F y = F. cos  F z = F. cos     X Y Z Merev testek mechanikájában ebből egyet elvethetünk, mert az erő a hatásvonalában eltolható, ezért 5 adat elegendő

11 A síkbeli erő vektorának megadása és a forgatónyomaték x y Fy jFy j Fx iFx i F r r = r x i + r y j F = F x i + F y j i j Az F erő origóra vonatkoztatott nyomatéka: M o  r × F M o  r × F = (r x i + r y j) × (F x i + F y j) M o  (r x Fy - r y F x ) k Nagysága M o  r F sin  k F a vektoriális szorzat definíciója alapján ryj ryj rxi rxi 0 

12 Az erő nyomatéka az origóra x y F r M o = r F sin  = k F r sin  = k y x r Fk     Az erő nyomatéka pozitív Az erő nyomatéka negatív 0 0   k

13 Nyomatékvektor iránya  y z x  

14 Erőpár és nyomatéka k  F1F1 F2F2 F 1 = F 2 = F F 2 = -F 1 k az erőpár karja Erőpár valamely pontra vonatkozó nyomatéka az erőpárt alkotó erők nyomatékösszege zéruserő erő erőpár erőcsavar dinám  M = k F Definíció: Erőcsavar: az F erő és a vele párhuzamos nyomatékvektor, mint egyetlen dinám

15 Erőpár nyomatékvektorának kiszámítása k  F1F1 F2F2 y x y A B kk kk rBrB rArA  o  r A × F 1  r B × F 2 Mivel F 2  F 1  o  r A × F 1  r B × F 1  r A  r B ) × F 1  r × F 1 r  Vektoriális szorzás nélkül is számítható: M o = k 2 F 2 - k1 F 1 =(k 2 - k 1 ) F 1 = k F 1 Független az origó helyétől, tehát a sík bármely pontjára ugyanakkora az erőpár nyomatéka 0

16 F erő 0 pontra való redukálása x y 0 x y 0    r × F F 0 társerő F F 0 = F r      társerőpár

17  Az M 0 nyomatékvektor egyenértékű egy erőpárral F F  F1F1 F1F1  k k1k1       kF = k 1 F 1 

18 Dinámrendszer redukálása az origóra n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer x y F1F1 F2F2 F 3 … FnFn M0M0 MmMm 0 F0F0 Társerő és társerőpár M 1 …

19 Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral: F i0 = (F i0, M i0 ) i = 1,…,n Így a dinámrendszer: (F 1,M 10, …, F n, M n0, M 1, …,M m ) = (F 0, M 0 ) F 0 = ∑ F i0, M 0 = ∑ M I0 + ∑ M I két vektoregyenlet vagy F 0x = ∑ F i0x, F 0y = ∑ F i0y, M 0z = ∑ M i0z + ∑ M iz három skaláregyenlet Dinámrendszer redukálása az origóra A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F 1, …, F n, M 1, …,M m ) = (F 0, M 0 ) i = 1,…,n j = 1, …, m n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer I = 1 m nn n n n n szétszórt erők nyomatékok Két vetületi egyenlet nyomatéki egyenlet További jelölések: t tengelyre felírt vetület F t A pontra felírt nyomaték M (A)

20 Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral, a nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba. Így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F 1, …, F n, M 1, …,M m ) = (F 0, M 0 ) = D i = 1,…,n, és j = 1, …, m Ha  F 0 és M 0 is zérus nagyságú, akkor egyensúlyi rendszer D = 0 Ha  F 0 zérus nagyságú, de M 0 nem, akkor D = M, az eredő nyomaték  0  ∑  i0  ∑  i0  M 0z = ∑ M i0z + ∑ M iz Ahol  i0 = r i × F i ill. M 0iz = r ix F iy –r iy F ix Ha  F 0 nem zérus nagyságú, akkor az eredő egy erő D = (F 0, M 0 ) = R R = F 0, : helyvektorát pedig valamelyik koordináta-tengelyen választjuk: r =  0 / F 0y i, ha F 0y = 0, különben r = -  0 / F 0x j Skalár egyenletekkel: R x = F 0x R y = F 0y ha F 0y = 0, r x =  0 / F 0y, r y = 0, Különben r x = 0, r y = -  0 / F 0x Dinámrendszer eredője I = 1 mn n n

21 Dinámrendszer egyensúlyozása egyetlen dinámmal egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal egy adott ponton átmenő és adott hatásvonalú erővel három adott hatásvonalú erővel

22 Dinámrendszer egyensúlyozása egyetlen dinámmal Már láttuk, hogy: A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F 1, …, F n, M 1, …,M m ) = (F 0, M 0 ) i = 1,…,n, j = 1, …, m Ezen eredők ellentettje az egyensúlyozó erő.

23 Dinámrendszer egyensúlyozása egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal Tétel: Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk egy adott ponton átmenő erővel és egy nyomatékkal. Válasszuk az adott pontot a koordináta-rendszer origójául (láttuk, erre redukálható a dinámrendszer). Az így kapott F 0, M 0 dinámok ellentettjei egyensúlyozzák a vizsgált dinámrendszert. Tétel:Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk az eredőjének az ellentettjével

24 Egyensúlyozás egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel (F 1, …, F n, M 1, …,M m, A, B) = 0 x y F1F1 F2F2 F3F3 FnFn M 1 ….. MmMm B AyAy AxAx b A k  Az A pontra felírt nyomatéki egyenletből kiszámítható a B erő (hacsak az A pont nincs a b egyenesen) Ezután A meghatározható az x és y tengelyre felírt vetületi egyenletekből

25 Tétel: Minden síkbeli dinámrendszer egyensúlyozható e síkban fekvő egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel, ha az adott pont nem illeszkedik az adott egyenesre

26 Dinámrendszer egyensúlyozása három adott hatásvonalú erővel (F 1, …, F n, M 1, …,M m, S 1, S 2, S 3 ) = 0 F1F1 F2F2 FnFn MO2O2 O1O1 O3O3 c a b 1. eset: nincs köztük párhuzamos Ritter-módszer Egyik kiválasztott erő főpontjának a másik két erő hatásvonala metszéspontját nevezzük. Itt S i -hez tartozik O i Ritter-módszer: bármelyik erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből S1S1 S3S3 S2S2

27 2. eset: Főpont a végtelenben (két erő párhuzamos) a t b c O2O2 O3O3   F1F1 F2F2 FnFn M Két párhuzamos erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből (S 2 és S 3 ) Az őket metsző harmadik a t segédvonalra vett vetületi egyenletből határozható meg (S 1 ) S3S3 S2S2 S1S1


Letölteni ppt "Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség: E félév feladata a Statika A következőé a Szilárdságtan 1. Zárthelyi időpontja: március."

Hasonló előadás


Google Hirdetések