Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő."— Előadás másolata:

1 Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? támadó a) ábra támadó b) ábra

2 Lesen van-e a támadó? (a) támadó 1. Feladat Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? Nincs lesen a támadó.

3 Lesen van-e a támadó? (b) támadó 1. Feladat b) Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? A támadó láthatóan közelebb van az ellenfél alapvonalához, mint a védő. Túl van-e a felezővonalon? Nincs lesen a támadó.

4 Reneszánsz XIV-XVI. század Ujjászületés Firenze

5 Olvasnivaló

6 A megtestesülés Gábriel arkangyal Mária Ambrogio Lorenzetti (1344) Panofsky Laura Mocci: La rappresentazione dello spazio secondo Panofsky

7 A hű ábrázolás Firenzei dóm (kupolája) wikipedia Firenzei dóm (Cattedrale di Santa Maria del Fiore ) wikipedia Brunelleschi (1377 – 1446)

8 Alberti: Della Pittura (A festészetről) Leon Baptista Alberti ( ) Az egyetemes képzettségű reneszánsz embertípus egyik legkiválóbb képviselője. A tudomány és a művészet szinte valamennyi területén otthonos volt. Ismerte a klasszikus nyelveket, az ókor irodalmát, teológiával, foglalkozott joggal, csillagászattal, fontos elméleti munkákat írt a szobrászatról, a festészetről és az építészet kérdéseiről. matematikával,

9 Pavimenti I.

10 Pavimenti II. Állítás: OP= a vászon és a festő távolsága F G H Bizonyítás: Forgassuk el derékszögben OF körül GP-t! T OFG képe OFT, HFG képe HFT, HT a szembe fut FG=FT A

11 Camera Obscura Jack & Beverly Wilgus: The Magic Mirror of Life London Magazine 1819 Vermeer: Katona és nevető lány (1658), Jonathan Janson: Vermeer and the Camera Obscura ?

12 Feladatok 1.feladat Adott egy konvex négyszög, egy négyzetalakú parkettákból álló padló egyetlen négyzetének képe egy festményen vagy fényképen (lásd pl Vermeer,,Koncert'' című festményének az alábbi ábrán látható részletét). Szerkesszük tovább a képet, rajzoljuk meg a szomszédos parkettalapokat! 2. feladat Meghatározható-e a fenti képen, hogy a festményhez képest hol állt a szerző (hol volt a camera obscura „lyuka”? Kutatómunka: 3D-s ábrázolás; 3D-s rajzolás (http://leonar3do.com/) Megoldás: negyszogbolparketta.ggb Megoldás: holallafesto.ggb

13 A projektív geometria ? Projekció = vetítés (centrális vagy párhuzamos) egyik síkról egy másikra ? ? Az alakzatok olyan tulajdonságait vizsgálja, amelyek vetítésnél nem változnak

14 Görög színház Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése Vitruvius: Agatharkhosz perspektívikus díszleteket festett Aiszkhülosz tragédiáinak előadásához Vitruvius (De Architectura): … ha egy meghatározott helyet veszünk középpontnak, a vonalak – éppúgy mint a termé- szetben – szükségképpen megfelelnek a szem nézőpontjának és a tekintet irányának, úgyhogy a színpadképeken a határozatlan tárgyak határozott ábrázolásai épületek a- lakját mutatják, és bár valamennyit függőleges sík felületen ábrázolják, egyesek a hát- térbe húzódnak, mások előreugróknak látszanak.

15 Euklidesz: Poriszmata Elveszett, kommentárokból ismerjük Papposz Chasles rekonstrukciója Adott egy egyenes és rajta öt pont, amelyben a sík négy pontját összekötő hat egyenes közül öt az adott egyenest metszi. Hol metszi a hatodik? Lásd egyenes_es_teljesnegyszog.ggb Lásd teljesnegyszog_es_desargues.ggb A hatodik pont meghatározott. Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése Két háromszög pontra nézve perspektív egyenesre nézve perspektív Desargues I. tétele i.e. 365?-300?i.sz. IV. sz.i.sz. XIX. sz.i.sz. XVII. sz. Papposz és Desargues feladata:

16 Pergéi Apollóniosz: Kónika i.e. 260?-190? A ferde kúp síkmetszete k’ kör: P-n át k-val párhuzamos metszet k’ kör: Thalesz tétel és magasság-tétel független P-től A kör affin képe: ellipszis

17 Gérard Desargues XVII. sz. ? ?

18 Blaise Pascal XVII. sz. Lásd pappos.ggb Lásd pascal.ggb

19 Carnot

20 J. V. Poncelet XIX. sz.

21 Algebrai görbék Kör: x 2 +y 2 =1; (x-u) 2 +(y-v) 2 =r 2 ; x 2 +y 2 +bx+cy+d = 0; Kétvátozós polinom zérushelyeinek halmaza – algebrai görbe Ez a polinom másodfokú – másodrendű görbe Parabola:x 2 – y = 0; p(x-u) 2 - (y-v) = 0; x 2 + bx + cy +d = 0; Egyenes két pontban metszi – másodrendű görbe 5. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha két merőleges tengelyű parabola négy pontban metszi egymást, akkor ez a négy pont egy körön van. x 2 + bx + cy +d = 0; y 2 + ex + fy +g = 0; + x 2 +y 2 +(b+e)x+(c+f)y+(d+g) = 0;

22 Algebrai görbék - számolunk Bezout tétele: egy n-edrendű és egy m-edrendű görbe m·n pontban metszi egymást. Hogyan? Komplex koordinátákkal számolva Multiplicitással számolva Végtelen távoli pontokkal számolva (projektív geometria) Ha a két görbének nincs közös része (komponense) Projektív egyenlet: x 2 +y 2 +bx+cy+d = 0; x 2 +y 2 +bxz+cyz+dz 2 = 0; Affin egyenlet: (x,y) (x,y,1) (x,y,z)(x/z,y/z) Homogén egyenlet: Ha (x,y,z) jó, akkor ( x, y, z) is jó. (1,2,-5)  (2,4,-10)  (-0.2,-0.4, 1) Körökre Bezout??!! z  0 – szokásos pontok z=0 – ideális pontok Kör ideális pontjai: x 2 +y 2 = 0; x=1, y=  i Köri pontok: (1,i,0), (1,-i, 0) Hány pont határoz meg egy kört? Három, fent b, c, d „szabad”. (0,0,0) – nem pont

23 Másodrendű görbék Bezout: Két másodrendű görbe 4 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: a 1 x 2 + a 2 y 2 + a 3 xy+ a 4 x+ a 5 y+ a 6 = 0 6 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt Pierre Fermat ParabolaHiperbolaEllipszis Két egyenes metsző párhuzamosdupla

24 A harmadrendű görbe 6. Feladat: Adott három pont, A, B és P. Vizsgáljuk az A, B pontokon átmenő körökhöz P-ből húzott érintők érintési pontjainak mértani helyét! GeoGebra. S S” O (A+B)+C B A A+B C B+C S’ A+(B+C)

25 A Cramer paradoxon Bezout: Két harmadrendű görbe 9 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: 9 pont meghatározza a harmadrendű görbét. a 1 x 3 + a 2 y 3 + a 3 x 2 y+ a 4 x 2 + a 5 xy 2 + a 6 y 2 + a 7 xy+ a 8 x+a 9 y+ a 10 = 0 10 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt Nincs pont 1 pont 2 pont 7 pont 8 pont 9 dim harmadrendű görbe 8 dim harmadrendű görbe 7 dim harmadrendű görbe 2 dim harmadrendű görbe 1 dim harmadrendű görbe H 1 = 0, H 2 = 0  H 1 +  H 2 = 0. Chasles tétele: Ha a H 3 harmadrendű görbe átmegy a H 1, H 2 görbék metszéspontjai közül 8-on, akkor a 9-en is átmegy. S S” O (A+B)+C B A A+B C B+C S’ A+(B+C) H 1 : a piros; H 2 : a zöld egyeneshármas; H 3 : a szaggatott zöld e-hármas;

26 Irodalomjegyzék


Letölteni ppt "Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő."

Hasonló előadás


Google Hirdetések