Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Csomóelmélet Gáspár Merse El ő d 2004. március 23.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Csomóelmélet Gáspár Merse El ő d 2004. március 23."— Előadás másolata:

1 Csomóelmélet Gáspár Merse El ő d március 23.

2 Egy csomó mindenre jó! Az inkák bürokratikus jegyz ő eszköze: a quipu Az inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomóköt ő k. Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata.

3 A szimbolikus jelentés ű kelta csomók A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, az egyes csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket...

4 A hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek A halászok, b ű vészek mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

5 Alapfogalmak Csomódiagram (síkábrázolás,projekció) Csomók, láncok, fonatok Hurokbog (hollandi csat) Whitehead-láncFonat (gubanc)

6 Matematikai precizitással… Az alábbihoz hasonló végtelen csomókkal most nem szeretnénk foglalkozni!

7 A csomóelmélet kezdete Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 )  Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapján két csomóról, hogy ekvivalensek-e?  Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját.  Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával. Két csomó ún. hurkolódási együtthatója A két C 1 és C 2 csomóban folyjon áram, amik B 1 és B 2 mágneses térer ő sségeket határoznak meg.

8 Lord Kelvin, William Thomson (1824 –1907 )  Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formáló örvények a láthatatlan éterben.  Megpróbálta a keresztez ő dési szám szerint osztályozni a csomókat. A jelöléseit még ma is használjuk.  Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is.  Tait volt az els ő, aki rámutatott a csomók és síkgráfok közti kapcsolatra. Peter Guthrie Tait (1831 –1901 )

9 Csomók irányított síkgráffá alakítása

10 Tait táblázata a legfeljebb 7 keresztez ő dési számú prímcsomókra

11

12  Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával.  1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 keresztez ő dési számig. Kurt Reidemeister (1893 –1971 )

13 Bizonyítás (vázlat) szakaszonként folytonos kategóriában  Definiáljuk a ∆ - lépést: Egy szakaszonként folyt. csomó egy szakaszának 2 végpontja legyen x és y. Legyen y olyan térbeli pont, hogy az xyz- háromszög az xy-szakasz kivételével diszjunkt a csomótól. Ekkor az xy-szakasz [xz][zy] töröttvonalra való cseréjét nevezzük ∆-lépésnek.  Megmutatható, hogy a ∆-lépések a csomók ekvivalenciáját generálják, azaz ha 2 csomó ekvivalens, akkor véges sok ∆- lépéssel, vagy annak inverzével átvihet ő k egymásba.  A ∆-lépések vetületei a síkon pontosan a Reidemeister- lépések. Q.E.D.

14 Csomóinvariánsok A csomóinvariánsok a csomó deformálásával nem változnak Egyszer ű csomóinvariánsok: komponensek száma, keresztez ő dési szám. Alexander-polinom (James W. Alexander,1928) Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984) HOMFLY-polinom (az el ő z ő k általánosítása,1985) A csomóinvariánsok kiszámításának módszerei Kibogozási reláció (John Horton Conway) Kauffman féle-állapotmodell

15 Kibogozási reláció A Jones-polinom kiszámításának lépései: A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és kiválasztunk egy keresztez ő dést, melynek alapján 3 csomót hozunk létre. A kibogozási reláció így szól A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz L+L+ L-L- L0L0

16 Példa Háromlevel ű csomó kiszámítása Menetrend A legegyszer ű bb 2 db triviális csomó kiszámítása

17 Kauffman-féle állapotmodell Az összes keresztez ő dést egymással nem kapcsolódó körökre bontjuk az összes lehetséges módon az alábbi 2 átalakítás segítségével A lánc ún. zárójeles polinomja:,ahol A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig). Az összes keresztez ő désbeli A és A -1 -ek szorzata A körök száma az el ő álló diagramban A-1A-1 A

18 Példa A Hopf-lánc kiszámítása A2A2 A-2A-2 AA -1 =1 2211

19 A HOMFLY-polinom A bogozó-reláció általánosításával kapjuk az alábbi relációt, ami polinomok végtelen seregét definiálja. n=0 az Alexander-polinomnak, n=1 a Jones-polinomnak felel meg. Az egyváltozós polinomok végtelen serege egyértelm ű en kiterjeszthet ő egy kétváltozós polinommá, ezt nevezzük HOMFLY-polinomnak.

20 Alternáló csomók Alternáló diagram: Ha elidulunk a diagram egy tetsz ő leges pontjából, akkor a diagram görbéje felváltva halad felül és alul. Alternáló csomó: Létezik alternáló diagramja. Alternáló diagramNem alternáló diagram A legtöbb csomó alternáló. Az els ő nem alternáló csomó Megoldatlan probléma: 3 dimenziós definíciót adni az alternáló csomókra a diagram említése nélkül.

21 További Megoldatlan problémák Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú keresztez ő dést tartalmazó diagramjukon 1 keresztez ő désben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét? A háromlevel ű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak? Mikor ekvivalens egy csomó az inverzével? (Egy irányított csomó inverze a tükörképe ellentétes orientációval).

22 Borromean rings & n-Borromean links Ha az egyik komponenst elvágjuk, akkor az egész darabokra esik szét.

23 Csomók a részecskefizikában Az alábbi fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék pályáira. Az id ő teljen felfelé. A kétfajta keresztez ő dés jelöljön kétféle kölcsönhatást a részecskék között. A lokális maximumban legyen annihiláció. A lokális minimum jelölje részecskék keletkezését.

24 Csomók a statisztikus fizikában Az Ising-model Ernst Ising (W. Lenz) doktori disszertációja volt 1924-ben. Azóta számos neves tudós hivatkozott rá (Lenz, Heisenberg, Kramers, Montroll, Wannier, Kubo, Onsager). És számos fizikán kív ű li területen is jelent ő s eredményeket ért el (neurális hálózatok, madárcsapatok mozgása, szívkamrák verése, szociológiai modelek ) és 1997 között több mint cikk jelent meg az Ising-modellel kapcsolatban! az Ising-model története

25 A Potts-model A vektor Potts-model (1952) az Ising-model általánosítása oly módon, hogy a spinek q diszkrét irányban állhatnak. (q=2 az Ising-model ). Q=2,3,4 esetén 2 dimenzióban ismert a megoldása Potts által. A ma standard Potts-modelnek hívott modelt Potts ugyanabban a cikkben közölte megjegyzésként. Q=2 standard Potts-model ekvivalens a q=2 vektor Potts-modellel J 2 =-2J 1 esetén, és q=3-nál pedig 2J 2 =-3j 1 esetén.

26 Q>2 modeleknek q=2-t ő l eltér ő kritikus exponensei vannak. q>5 és q=5-re els ő rend ű fázisátalakulás van 2 dimenzióban. Bevezethet ő küls ő tér: Az állapotösszeg (Z) számolása meglehet ő sen nehéz probléma. Jones mutatott rá, hogy meglep ő kapcsolat van a csomóelmélettel ezen a téren. Kiderül, hogy az álapotösszeg számolása csomóinvariánsokat szolgáltat.

27 Csomóelmélet a molekuláris dinamikában A DNS egy komplikáltan felcsavarodott és összegubancolódott csomó, amit enzimek “bogoznak” ki. A csomóelmélet segítségünkre van abban, hogy megbecsülhessük, milyen nehéz is a DNS-t kicsomózni, s ezzel információt nyerjünk az enzimek m ű ködésére és tulajdonságaira.

28 Irodalomjegyzék Rimhányi Richárd: Csomók és 3-sokaságok (MAFIHE jegyzet, 1995) Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990) Linkek http: // / ~peters / knotlink.htmlhttp: // / ~peters / knotlink.html http: // mathworld.wolfram.com / Knot.htmlhttp: // mathworld.wolfram.com / Knot.html http: // en.wikipedia.org / wiki / Knot_theoryhttp: // en.wikipedia.org / wiki / Knot_theory


Letölteni ppt "Csomóelmélet Gáspár Merse El ő d 2004. március 23."

Hasonló előadás


Google Hirdetések