Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Matematikai fogalmak.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Matematikai fogalmak."— Előadás másolata:

1 1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

2 Matematikai fogalmak

3 Az operátor

4 Függvény: mennyiséget rendel mennyiséghez. Az operátor (általánosan): egyik halmaz elemit rendeli egy másik halmaz elemeihez. Függvényoperátor: függvények halmazának elemeit rendeli egy másik függvényhalmaz elemeihez. (függvényt rendel függvényhez.) A kvantummechanikában a függvényoperátorokat nevezzük röviden operátoroknak.

5 Az operátorok jele: „ kalap” Független változók, amelyek az operátorban és az egymáshoz rendelt függvényekben is szerepelnek

6 Például

7 Alkalmazzuk a fenti operátort!

8 Eredmény: Például Alkalmazzuk a fenti operátort!

9 Alkalmazzuk az operátort másik függvényre!

10 Eredmény:

11 Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre!

12 Eredmény:

13 Nézzünk egy többváltozós operátort is!

14 Alkalmazzuk az f(x,y) = x 2 y 2 függvényre!

15 Nézzünk egy többváltozós operátort is! Alkalmazzuk az f(x,y) = x 2 y 2 függvényre! Eredmény:

16 Operátor sajátérték-egyenlete

17

18 Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük

19 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak

20 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény C sajátérték (konstans)

21 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény C sajátérték (konstans) A sajátérték-egyenlet megoldása

22 Sajátérték-egyenlet: a  (  )-en az operátor által kijelölt műveletet végrehajtva visszakapjuk a  (  ) függvényt a C konstanssal szorozva

23 A sajátérték-egyenlet megoldásai:  0 (  ),  1 (  ),  2 (  ),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C 0, C 1, C 2  sajátértékek

24 A sajátérték-egyenlet megoldásai:  0 (  ),  1 (  ),  2 (  ),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C 0, C 1, C 2  sajátértékek Másképp fogalmazva: A  0 (  ) - C 0,  1 (  ) - C 1,  2 (  ) - C 2  sajátfüggvény - sajátérték párok

25 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete

26 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások:

27 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f 0 (x) = e x, C 0 = 1

28 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f 0 (x) = e x, C 0 = 1 f 1 (x) = e 2x, C 1 = 2 

29 Komplex számok Tartalmazzák az i imaginárius egységet Jelölésük: a + ib valós rész képzetes rész

30 Komplex szám abszolút értéke a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám konjugáltja |a + bi| 2 = (a + ib) (a - ib)

31 Komplex szám abszolút értéke a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám konjugáltja |a + bi| 2 = (a + ib) (a - ib) = = a 2 + iab - iab + b 2 = a 2 + b 2 Mindig valós!

32 Komplex függvények F(x,y  ) = V(x,y  ) + i  W(x,y  ) alakban felírható függvények Két valós függvényt tartalmaznak: V(x,y  ) és W(x,y  )

33 Teljes analógia a valós számokkal!

34 A komplex függvény konjugáltja Jele: fölül vonás függvény komplex konjugált

35 A komplex függvény abszolút értéke A függvény és komplex konjugáltjának szorzata az abszolút érték négyzete. Jelöljük a változókat  -val! Valós függvény!

36 A kvantummechanika axiómái 1. axióma. Alapmennyiségek 2. axióma. Sajátérték-egyenlet 3. axióma. Állapotfüggvény 4. axióma. Időbeli folyamatok 5. axióma. Várható érték 6. axióma. Hullámfüggvény előjele (okt. eleje)

37 1. axióma Alapmennyiségek.

38 A fizikai mennyiségek: Természeti állandók (fénysebesség vákuumban, elektron töltése, elektron tömege  ) Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés, hőmérséklet, fényerősség) Leszármaztatott mennyiségek

39 Távolság (d) vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) A klasszikus mechanika alapmennyiségei: Idő (t) Tömeg (m) A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le! helyvektor

40 A kvantummechanika alapmennyiségei: Távolság (d) / Helyvektor Idő (t) Tömeg (m) Töltés (q) Impulzus ( )

41 Távolság (d) / Helyvektor Az x,y,z helykoordináták és az helyvektor jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

42 Idő (t) Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

43 Tömeg (m) Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege természeti állandó (m e, m p, m n ), a többieké ezek összege. Pl.: m( 23 Na mag) = 11m p + 12m n A tömeg a kvantummechanikában konstans! (Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!)

44 Töltés (q) A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika mennyiségei között szerepel a töltés. Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0. A többi részecskéé ezek összegeként adódik. A töltés is konstans a kvantummechanikában!

45 Impulzus ( ) A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség. Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek kvantáltak. Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz, hogy a kvantált fizikai mennyiségeket megfogalmazzuk.

46 Az impulzus a klasszikus mechanikában másik neve: lendület Vektor!

47 Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

48 Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

49 Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: (Planck-állandó)

50 Tömör formában: nabla vektor, ahol

51 A többi kvantummechanikai mennyiséget úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti módon értelmezett alapmennyiségeket.

52 Példa: Energia, Hamilton-függvény Klasszikus mechanika: T: kinetikus E V: pot. E

53  V csak a helykoordináták függvénye, ezek a mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában. V = V(x,y,z) Előkészület a kvantummechanikára:  T összefügg az impulzussal!

54 Kvantummechanika: Az 1.axióma szerint:

55 skalárszorzat

56 A Hamilton-operátor (egy részecskére)

57 Példa Impulzusmomentum Klasszikus mechanika Kvantummechanika

58 2. axióma Sajátérték-egyenlet

59 Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk. Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)  kinetikus energia  teljes mechanikai energia  impulzus momentum Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges értékeit?

60 2. axióma Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora a lehetséges értékeit az operátor sajátérték-egyenletéből számított C = C 0, C 1, C 2... sajátértékek adják meg. Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes sajátértékekhez tartozó  (  ) =  0 (  ),  1 (  ),  2 (  )... sajátfüggvényeket is

61 Példa Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet: kin. E. pot. E., ahol

62 Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban minden helykoordinátáktól függő fizikai mennyiséget operátorként tüntetnek fel. Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az impulzushoz, és így nem is kvantáltak. Pl.: Potenciális energia Dipólusmomentum

63 Az m tömegű részecske Schrödinger-egyenlete

64 3. axióma Állapotfüggvények

65 3. axióma Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a állapotfüggvény jellemzi.

66

67 x 1,y 1,z 1 1. részecske helykoordinátái … x N,y N,z N N. részecske helykoordinátái tidő

68

69 megjegyzés: röviden

70 4. axióma Időbeli folyamatok

71 4. axióma Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét és Hamilton-operátorát „Időtől függő Schrödinger-egyenlet”

72 Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből az egyenletből levezethető, hogy állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor sajátfüggvényével!

73 5. axióma Várható érték

74 Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei  megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel, és vannak,  amelyeké nem egyezik meg.

75 Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban az energia rendre E 0, E 1, E 2,… és a másik kvantált mennyiség értéke rendre C 0, C 1, C 2,….

76 Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető mennyiségek!

77 Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a másik kvantált mennyiség értéke az egyes állapotokban bizonytalan, de várható értéke megadható.

78 5. axióma Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség várható értéke az n-ik állapotban: a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik állapotban.

79 1929: L. W. De Broglie, : W. Heisenberg, : E. Schrödinger, : P. A. M. Dirac, : W. Pauli,

80


Letölteni ppt "1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Matematikai fogalmak."

Hasonló előadás


Google Hirdetések