KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

Az előadások a következő témára: "KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK"— Előadás másolata:

1 KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
MECHANIKA KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

2 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
A rúdszerkezetek méretezése során nem elegendő ismerni a keresztmetszet egészére ható erőket (igénybevételeket), hanem az anyagi kapcsolatot pontonként helyettesítő faj-lagos belső erőket (feszültségeket) kell összehasonlítani az alkalmazott anyag ellenállásával, terhelhetőségével, szilárdságával. Ehhez a keresztmetszeti síkidom jellemző mennyiségeire (is) szükség van. A következőkben a legfontosabb keresztmetszeti jellemzők definícióit, tulajdonságait és előállításuk algoritmusait tárgyaljuk. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

3 A TÁRGYALT KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
NULLADRENDŰ NYOMATÉK TERÜLET ELSŐRENDŰ NYOMATÉK STATIKAI NYOMATÉK MÁSODRENDŰ NYOMATÉK TEHETETLENSÉGI/INERCIA NYOMATÉK CENTRIFUGÁLIS/DEVIÁCIÓS NYOMATÉK SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

4 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE
A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. Dx Dy Készítsünk egy egyenletes osztású négyzet (téglalap) hálózatot, és jelöljük meg azokat az elemeket, amelyek teljes egészükben a vizsgá-landó síkidom kontúrvonalán belül vannak. Ezeket össze-gezve a síkidom területének alsó korlátját kapjuk meg. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

5 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE
A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. Dx Dy Készítsünk egy egyenletes osztá-sú négyzet (téglalap) hálózatot, és jelöljük meg azokat az eleme-ket, amelyekkel a teljes vizsgálandó síkidom lefedhető, úgy hogy an-nak kontúrvonala mindenütt a lép-csősábrán belül marad. Ezeket összegezve a síkidom területének felső korlátját kapjuk meg. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

6 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE
A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. Dx Dy A belülről közelítő és a kívülről közelítő lefedettséget egy ábrába rajzolva láthatjuk, ez az eljárás meglehetősen pontatlan, az alsó és a felső korlát között nagy a távolság. Ha a pontosságot e módszer alkalmazása mellett kívánjuk növelni, sűrűbb, finomabb felosztásra lesz szükség. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

7 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE
Dx A háló felosztását finomítva lát-ható, hogy a kék színű, minoráns és a piros színű majoráns terület mennyivel jobban közelíti a valódi terület nagyságát. A felosztás minden határon túli finomításával a minoráns és a majoráns terület határértéke megegyezik, és pontosan adja meg a görbe vonallal határolt terület nagyságát. Dy SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

8 MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők
A KM. SÍKIDOM TERÜLETE A terület meghatározása történhet a síkidomBA ill. a síkidom KÖRÉ rajzolható, ismert területű téglala-pok területösszegének meghatáro-zásával. Így a tényleges terület al-só ill. felső korlátja állítható elő. Ha az elemi téglalap területét min-den határon túl csökkentjük, határ-átmenetben a síkidom TÉNYLE-GES területét kapjuk meg. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

9 A KM. JELLEMZŐK MATEMATIKAI DEFINÍCIÓI
Az általános helyzetű elemi síkidom területösszegének, első- ill. másodrendű nyo-matékai összegének szum-mázása az elemi síkidom oldalainak mindenhatáron túli csökkentésével a keresett mennyiségek matematikai definícióját, az elvi meghatározás integrál-kifejezését szolgáltatja. (A tényleges számításban általában nem lesz szükség az integrálásra, csak az integrálás, mint összegzés tulajdonságait használjuk ki.) SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

10 A POLÁRIS INERCIANYOMATÉK
x Dx Dy y Dx×Dy=DA r A tehetetlenségi nyomatékokat mindig egy tengelyre (x, y, x, h, ...) számítjuk. A síkból kitekintve értelmezhető a sík normálisára, a z tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyoma-ték is, amiben a négyzetesen szereplő távol-ságot a z tengely döféspontjától (a síkbeli koordinátarendszer origójától) mérjük. Az r2=x2+y2, összefüggés alapján pedig általánosan igaz, hogy: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

11 A KM. JELLEMZŐK SZIMMETRIATULAJDONSÁGAI
Egy y tengelyre szimmetrikus helyzetű síkidomban pontpárokat kiválasztva ezek y koordinátája mindig megegyezik, x koordinátája pedig egymás ellentettje. Ezért minden olyan szorzatösszeg, ami-ben az x koordináta első (páratlan) fo-kon szerepel, erre a pontpárra zérust ad. Ha a síkidom az y tengelyre szimmetri-kus, akkor az egyik oldalon felvett pon-tokhoz mindig egy és csak egy pont tar-tozik az y tengely másik oldalán, tehát a síkidom egészére igaz, hogy az x koor-dinátát első (páratlan) fokon tartalma-zó szorzatösszeg zérust ad. A -x x x y dA dA y SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

12 A KM. JELLEMZŐK ELŐJEL-TULAJDONSÁGAI
A síkidom teljes területének (a fela-dat lényege alapján) pozitívnak kell lennie (részterület lehet negatív, ha a kiegészített területet ezzel kompen-záljuk). A matematikai definíció alapján (és a szimmetria-tulajdonságok körében kifejtett gondolatmenetnek megfele-lően) a statikai nyomaték bármi-lyen előjelű lehet (ha zérus, a ten-gely súlyponti tengely!), a centri-fugális nyomaték bármilyen előjelű lehet (ha zérus, a tengelyek tehetet-lenségi főtengelyek!), az inerciák viszont bármely tengelyre (létező síkidomra!) csak pozitív előjelűek lehetnek. + + - + - + + + - SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

13 MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL)
x’ y’ cx x dA y y’ x x’ y cy ha x súlyponti tengely, akkor az erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

14 MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL)
x’ y’ cx x dA y y’ x x’ y cy ha y súlyponti tengely, akkor az erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

15 MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL)
dA cy cx x’ y’ y x A ha x és y súlyponti tengely, akkor az ezekre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

16 MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL)
x’ Jx’ cx’ S x J Jx cx’’ Jx’’ x’’ y A Steiner-tagban szereplő pozitív (teljes) terület és a tengelytáv négyzetes alakja garantálja, hogy a párhuzamos tengelyekre felírható tehetetlenségi nyomatékok közül mindig a súlyponti tengely adja a legkisebb értéket. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

17 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI (TÉGLALAP)
b/2 y dy x dx minthogy y nem függvénye x-nek, az integráljel elé kiemelhető SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

18 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI (TÉGLALAP)
A téglalap oldalegyenesére a tehetetlenségi nyomaték a STEINER tétel alkalmazásával állítható elő: a/2 x y b/2 x’ SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

19 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG
x x’’ dA=dx×dy y x=a/m×y m y’’ a a derékszögű háromszög tehetetlenségi nyomatéka a csúcson átmenő, és a szemközti befogóval párhuzamos tengelyre: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

20 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG
x’’ y’’ a=a1+a2 m A derékszögű háromszögekben az alappal párhuzamos, a szemközti csúcson átmenő tengelyre felírt tehetetlenségi nyomatékban az alap mérete csak első fokon szerepel, így az összefüggés a fenti, két derékszögű háromszögből összeállított általános háromszögre is igaz. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

21 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG
x’’ y’’ a=a1+a2 m cx’’=2/3m x cx’=1/3m x’ Az általános háromszög egyik oldal-egyenesére ill. a vele párhuzamos súlyponti tengelyre a tehetetlenségi nyomaték a STEINER tétel (értelem-szerű) alkalmazásával írható fel. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

22 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG
xII xIII yII yIII ha az elemi síkidomok szimmetrikusak, akkor x xI xIV yI y yIV A szimmetriatengelyt is tartalmazó tengelykeresztre egy síkidom centrifugális nyo-matéka mindig zérus. Az eddigi elemi síkidomok esetében mindig lehetett ilyen ten-gelykeresztet választani, az általános háromszög esetében azonban nem lehet. Ilyenkor csak az a lehetőség marad, hogy az idomot szimmetrikus (éspedig a glo-bális koordinátarendszer valamelyik tengelyével párhuzamos szimmetriatengelyű) elemekre bontjuk, amelyekre a centrifugális nyomaték zérus, majd minden fel-bontott elemre meghatározzuk a STEINER tagot, és ezek összege szolgáltatja a teljes síkidom centrifugális nyomatékát a globális tengelykeresztre. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

23 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI KÖR
dA=dr×rdf rdf f df A kör esetében célszerűen poláris koordinátarendszert alkalmazva a középpontra vonatkozó poláris inercianyomatékot kaphatjuk meg. A kör szimmetriája alapján azonban ebből adódik, hogy bármely tengelyre a tehetetlenségi nyomaték a poláris tehetetlenségi nyomaték fele lesz. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

24 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI FÉLKÖR
x y’ x y’ x y x’ x’ y Jx+Jx=Jx; Jy’+Jy’=Jy Jx’+Jx’=Jx; Jy+Jy=Jy A félkör tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyére ill. az oldal-átmérőre a teljes kör inerciájából egyszerűen származtatható. VIGYÁZAT! A vesszős tengelyek NEM SÚLYPONTI TENGELYEK!!! SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

25 A FÉLKÖR SÚLYPONTJA 2/3R Rcosf x’ f R df dA=R×Rdf/2 y’
A súlypont-meghatározást polárkoordinátarendszerben végezhetjük. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

26 MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők
EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI HATVÁNYFÜGGVÉNY ALATTI TERÜLET y=xn x dx y ymax=b xmax=a Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület nagysága és súlypontjának x koordinátája a befoglaló téglalap adataiból egyszerűen meghatározható. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

27 MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők
EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI HATVÁNYFÜGGVÉNY ALATTI TERÜLET y=xn x dx y ymax=b xmax=a Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület esetén a másodrendű nyomatékok értéke (a koordinátatengelyekre!!!) a befoglaló téglalap adataiból egyszerűen meghatározható. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

28 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
Határozzuk meg az összetett síkidom keresztmetszeti jellemzőit! Első lépésként a súlypont helyét kell megállapíta-nunk, hiszen a másodrendű nyomatékokat a súlyponti tengelykeresztre keressük. x' Vegyük észre, hogy a síkidom elemi, egyszerűen meghatározható keresztmetszeti jellemzőkkel rendel-kező síkidomokból összeállítható, vagy ilyenre kiegészíthető. y' SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

29 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
Az összetett síkidom súly-pontját az x’-y’ (tetszőle-gesen felvehető) viszonyí-tási koordinátarendszerben keressük, ezért az elemi síkidomok súlypontjainak helyét (és statikai nyoma-tékaikat) is ebben a koordinátarendszerben kell meghatároznunk. x' x 1S y 1S I. b 1 y' a 1 Első elemként vegyünk fel (az ábra szerint) egy a1-b1 oldalú téglalapot. Ez a teljes síkidom nagy részét lefedi, de emellett olyan területeket is tartalmaz, amelyek az eredeti síkidomnak nem részei. Ezeket a területeket a későbbiekben negatív előjellel kell majd szerepeltetnünk. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

30 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
2 y 2S 2. b 2 x' x 2S 1. y' Második elemként a téglalap feletti a2-b2 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, ami szintén tartalmaz az eredeti síkidomon kívüli területrészt is. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

31 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
2. x' x 3S 3. 1. y 3S b 3 y' a 3 Harmadik elemként az ábra szerinti a3-b3 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban figyelembe vett fölösleges felület egy részét. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

32 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
2. x' x 4S b 4 y 4S 4. Ha a 4. jelű háromszög nem egyenlőszárú, két derékszögű háromszöggel kell helyettesítenünk. 3. 1. y' a 4 Negyedik elemként az ábra szerinti b4 alapú és a4 magasságú egyenlőszárú háromszö-get vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban és a 2. háromszögben figyelembe vett fölösleges felület többi részét. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

33 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
x 5S 2. x' r 5 y 5S 4. 3. 5. 1. A félkör súlypontjának helyét a szimmetriatengelyen a 4r/3p összefüggés adja meg. r 5 y' Ötödik elemként az r5 sugarú teljes félkörrel számoljunk. Ennek során a 6. jelű kör területének hatását is figyelembe vettük, amit a későbbiekben majd le kell vonni. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

34 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
x 6S 2. x' y 6S 4. 6. r 6 3. 5. 1. y' Végül hatodik elemként az 5. félkörben lévő r6 sugarú lyukat vegyük figyelembe, természetesen negatív előjelű területként SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

35 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
JEL A xiS yiS Sy Sx 1 a1×b1 a1/2 b1/2 A1×x1S A1×y1S 2 (a2×b2)/2 2a2/3 -b2/3 A2×x2S A2×y2S 3 -(a3×b3)/2 2a3/3 (b1-b3/3) A3×x3S A3×y3S 4 -(a4×b4)/2 (a1-a4/3) (-b2+b4/2) A4×x4S A4×y4S 5 r52p/2 r5 -4r5/3p A5×x5S A5×y5S 6 -r62p b1-b3 - r6 A6×x6S A6×y6S + + + - - - - - + - + - SA SSy SSx SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

36 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA
Természetesen más felbontás-kiegészítés is lehetséges, mint pl. a fenti ábra szerinti felbontás. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

37 A SÚLYPONTI TENGELYKERESZT ELFORDÍTÁSÁNAK HATÁSA
Az eddigiekben megvizsgáltuk, hogyan lehet egy síkidom másodrendű nyomatékait a súlyponti tengelyekre előállí-tani. A STEINER tétel segítségével a tengely(ek) transz-lációjának (párhuzamos eltolásának) hatását is figyelem-be tudjuk venni. A továbbiakban azt nézzük meg, milyen változást okoz a tengelyek (súlypont körüli) elfordítása, rotációja. Ennek ismeretében (egy transzláció és egy rotáció összetételével) bármilyen állású tengelyre elő tudjuk állítani a síkidom másodrendű nyomatékait. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

38 A KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓ
x P x h y h P dA=dx×dy dA=dx×dh Az x-y koordinátarendszernek az origó körüli a szögű elfordításával kapott x-h koordinátarendszerben a pont koordinátáit az alábbi transzformációs összefüggés szolgáltatja: a x P y P P SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

39 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az elfordított tengelyekre alkalmazva a másodrendű nyomatékok matematikai definícióját, és az abban szereplő új (x-h) változók helyére beírva az x-y koordináták transzformált összefüggését, az eredeti x-y koordináták és az elfordítási szög függvényében előállíthatók az elfordított tengelykeresztre érvényes másodrendű nyomatékok. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

40 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az Jx-re kapott összefüggésben a sinacosa a sin(2a) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a Jx és Jy együtthatóit is a kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

41 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az Jx-ra kapott összefüggésben a sinacosa a sin(2a) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a Jx és Jy együtthatóit is a kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

42 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az elfordított tengelyekre alkalmazva a másodrendű nyomatékok matematikai definícióját, és az abban szereplő új (x-h) változók helyére beírva az x-y koordináták transzformált összefüggését, az eredeti x-y koordináták és az elfordítási szög függvényében előállíthatók az elfordított tengelykeresztre érvényes másodrendű nyomatékok. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

43 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az Jh-re kapott összefüggésben a sinacosa a sin(2a) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a Jx és Jy együtthatóit is a kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

44 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Az Jx-ra kapott összefüggésben a sinacosa a sin(2a) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a Jx és Jy együtthatóit is a kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

45 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
Mindezek alapján a x és h tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a következő egyszerű(bb) alakban írható fel: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

46 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN
A centrifugális nyomaték előállítása: SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

47 A TEHETETLENSÉGI FŐIRÁNYOK
A x-h koordinátarendszert az origó körül forgatva minden állásban értelmezhetők és előállíthatók a síkidom másodrendű nyomatékai, azaz az Jx, az Jh és a Cxh az a elfordítási szögnek folytonos függvénye. Ugyanakkor 360 fokos elfordítás után a koordinátarendszer az eredeti helyzetbe kerül vissza, tehát az Jx, az Jh és a Cxh az a elfordítási szögnek periodikus függvénye. Ha pedig egy függvény egyidejűleg folytonos és periodikus, akkor korlátos is. Ha pedig a tehetetlenségi nyomatékok elfordítási szög szerinti függvénye korlátos, akkor meg lehet (és meg is kell!) határoznunk a szélső értékeit, és az azokhoz tartozó elfordítási szögek értékeit. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

48 A FŐTEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK
Az Jx összefüggésére alkalmazva a d/da differenciáloperátort keressük a derivált függvény zérushelyét. Az átalakítások eredményén látható, hogy az (egy előjelváltástól és egy 2-es szorzótól eltekintve) a Cxh képletével azonos, azaz a tehetetlenségi nyomaték a tengelykereszt forgatása során abban a tengelyállásban veszi fel a szélső értékeit, amelyben a tengelykeresztre felírható centrifugális nyomaték értéke zérus. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

49 A FŐTEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK
1. 2. A főtehetetlenségi nyomatékok számítási képletei és az inerciák alakulása a különböző elforgatási szögű tengelyekre SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

50 A TEHETETLENSÉGI MOHR KÖR
x=1 J1 J2 a x tengely x a Jy 2a Cxy Jx J Cyx y h=2 y tengely Egy síkidom másodrendű nyomaté-kait a tengely elfordítási szögének függvényében ábrázolva a síkidom tehetetlenségi MOHR körét kapjuk. C SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

51 A „RENDŐRELV” HASZNÁLATA
Határozzuk meg a síkidom főtehetetlenségi nyomatékait! A szimmetria miatt bizonyos, hogy a bejelölt x-y tengelykeresztre a síkidom centrifugális nyomatéka zérus, azaz ezek a tengelyek te-hetetlenségi főirányok. Tehát, az Jx és az Jy a tengelykereszt forgatásával előálló lehetsé-ges tehetetlenségi nyomatékoknak a mini-muma ill. maximuma lesz. Ugyanakkor azt látjuk, hogy az x és az y tengely a síkidomot teljesen azonos részekre osztja, elhelyezke-dése a síkidom szempontjából teljesen azo-nos, ennek alapján pedig az Jx és az Jy értéke megegyezik, tehát Jx majoránsa és mino-ránsa azonos, azaz Jx = Jx = Jy = J1 = J2 x y h J2≤Jx≤J1 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők

52 MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők
EGY MÁS GONDOLATMENET Határozzuk meg a síkidom főtehetetlenségi nyomatékait! A szimmetria miatt bizonyos, hogy a bejelölt x-y tengelykeresztre a síkidom centrifugális nyoma-téka zérus, azaz ezek a tengelyek tehetetlenségi főirányok. Ugyanakkor a x-h tengelyek is szim-metriatengelyek, tehát a síkidom centrifugális nyomatéka erre a tengelykeresztre is zérus, azaz ezek a tengelyek is te-hetetlenségi főirányok. Márpedig ha egy síkidomnak 2-nél több főiránya van, akkor már minden irány főirány, emiatt csak azonos lehet minden (súlyponti) tengelyre a tehetetlenségi nyomaték, és zérus minden tengelykeresztre a centrifugális nyomaték. x x h y Jx=Jy=J1=J2=Jx=Jh SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I Keresztmetszeti jellemzők