Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

MECHANIKA KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 2 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "MECHANIKA KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 2 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK."— Előadás másolata:

1 MECHANIKA KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

2 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 2 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A rúdszerkezetek méretezése során nem elegendő ismerni a keresztmetszet egészére ható erőket (igénybevételeket), hanem az anyagi kapcsolatot pontonként helyettesítő faj- lagos belső erőket (feszültségeket) kell összehasonlítani az alkalmazott anyag ellenállásával, terhelhetőségével, szilárdságával. Ehhez a keresztmetszeti síkidom jellemző mennyiségeire (is) szükség van. A következőkben a legfontosabb keresztmetszeti jellemzők definícióit, tulajdonságait és előállításuk algoritmusait tárgyaljuk.

3 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 3 A TÁRGYALT KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK NULLADRENDŰ NYOMATÉK – TERÜLET ELSŐRENDŰ NYOMATÉK – STATIKAI NYOMATÉK MÁSODRENDŰ NYOMATÉK –TEHETETLENSÉGI/INERCIA NYOMATÉK –CENTRIFUGÁLIS/DEVIÁCIÓS NYOMATÉK

4 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 4 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE Készítsünk egy egyenletes osztású négyzet (téglalap) hálózatot, és jelöljük meg azokat az elemeket, amelyek teljes egészükben a vizsgá- landó síkidom kontúrvonalán belül vannak. Ezeket össze- gezve a síkidom területének alsó korlátját kapjuk meg. A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. xx yy

5 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 5 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE Készítsünk egy egyenletes osztá- sú négyzet (téglalap) hálózatot, és jelöljük meg azokat az eleme-ket, amelyekkel a teljes vizsgálandó síkidom lefedhető, úgy hogy an- nak kontúrvonala mindenütt a lép- csősábrán belül marad. Ezeket összegezve a síkidom területének felső korlátját kapjuk meg. A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. xx yy

6 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 6 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE A belülről közelítő és a kívülről közelítő lefedettséget egy ábrába rajzolva láthatjuk, ez az eljárás meglehetősen pontatlan, az alsó és a felső korlát között nagy a távolság. Ha a pontosságot e módszer alkalmazása mellett kívánjuk növelni, sűrűbb, finomabb felosztásra lesz szükség. A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. xx yy

7 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 7 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK ELŐÁLLÍTÁSI MÓDSZERE A háló felosztását finomítva lát- ható, hogy a kék színű, minoráns és a piros színű majoráns terület mennyivel jobban közelíti a valódi terület nagyságát. A felosztás minden határon túli finomításával a minoráns és a majoráns terület határértéke megegyezik, és pontosan adja meg a görbe vonallal határolt terület nagyságát. xx yy

8 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 8 A KM. SÍKIDOM TERÜLETE A terület meghatározása történhet a síkidomBA ill. a síkidom KÖRÉ rajzolható, ismert területű téglala- pok területösszegének meghatáro- zásával. Így a tényleges terület al- só ill. felső korlátja állítható elő. Ha az elemi téglalap területét min- den határon túl csökkentjük, határ- átmenetben a síkidom TÉNYLE- GES területét kapjuk meg.

9 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 9 A KM. JELLEMZŐK MATEMATIKAI DEFINÍCIÓI Az általános helyzetű elemi síkidom területösszegének, első- ill. másodrendű nyo- matékai összegének szum- mázása az elemi síkidom oldalainak mindenhatáron túli csökkentésével a keresett mennyiségek matematikai definícióját, az elvi meghatározás integrál- kifejezését szolgáltatja. (A tényleges számításban általában nem lesz szükség az integrálásra, csak az integrálás, mint összegzés tulajdonságait használjuk ki.)

10 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 10 A POLÁRIS INERCIANYOMATÉK x xx yy y  x×  y=  A r A tehetetlenségi nyomatékokat mindig egy tengelyre (x, y, , ,...) számítjuk. A síkból kitekintve értelmezhető a sík normálisára, a z tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyoma- ték is, amiben a négyzetesen szereplő távol- ságot a z tengely döféspontjától (a síkbeli koordinátarendszer origójától) mérjük. Az r 2 =x 2 +y 2, összefüggés alapján pedig általánosan igaz, hogy:

11 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 11 A KM. JELLEMZŐK SZIMMETRIATULAJDONSÁGAI Egy y tengelyre szimmetrikus helyzetű síkidomban pontpárokat kiválasztva ezek y koordinátája mindig megegyezik, x koordinátája pedig egymás ellentettje. Ezért minden olyan szorzatösszeg, ami- ben az x koordináta első (páratlan) fo- kon szerepel, erre a pontpárra zérust ad. Ha a síkidom az y tengelyre szimmetri- kus, akkor az egyik oldalon felvett pon- tokhoz mindig egy és csak egy pont tar- tozik az y tengely másik oldalán, tehát a síkidom egészére igaz, hogy az x koor- dinátát első (páratlan) fokon tartalma- zó szorzatösszeg zérust ad. x y dA x-x y A

12 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 12 A KM. JELLEMZŐK ELŐJEL- TULAJDONSÁGAI A síkidom teljes területének (a fela- dat lényege alapján) pozitívnak kell lennie (részterület lehet negatív, ha a kiegészített területet ezzel kompen- záljuk). A matematikai definíció alapján (és a szimmetria-tulajdonságok körében kifejtett gondolatmenetnek megfele- lően) a statikai nyomaték bármi- lyen előjelű lehet (ha zérus, a ten- gely súlyponti tengely!), a centri- fugális nyomaték bármilyen előjelű lehet (ha zérus, a tengelyek tehetet- lenségi főtengelyek!), az inerciák viszont bármely tengelyre (létező síkidomra!) csak pozitív előjelűek lehetnek.

13 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 13 cycy cxcx MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL) ha x súlyponti tengely, akkor az erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! x’ y’ y x x’ y’ x y A dA

14 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 14 cycy cxcx MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL) ha y súlyponti tengely, akkor az erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! x’ y’ y x x’ y’ x y dA A

15 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 15 dA cycy cxcx x’ y’ y x x’ y’ y x MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL) ha x és y súlyponti tengely, akkor az ezekre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! A

16 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 16 J c x ’’ cx’cx’ MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK PÁRHUZAMOS TENGELYEKRE (A STEINER-TÉTEL) A Steiner-tagban szereplő pozitív (teljes) terület és a tengelytáv négyzetes alakja garantálja, hogy a párhuzamos tengelyekre felírható tehetetlenségi nyomatékok közül mindig a súlyponti tengely adja a legkisebb értéket. x’ y x x’’ J x’’ JxJx J x’ S

17 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 17 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI (TÉGLALAP) minthogy y nem függvénye x-nek, az integráljel elé kiemelhető a/2 b/2 y dy x y dx

18 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 18 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI (TÉGLALAP) a/2 x y b/2 a/2 b/2 x’ A téglalap oldalegyenesére a tehetetlenségi nyomaték a STEINER tétel alkalmazásával állítható elő:

19 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 19 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG a m y x x=a/m×y a derékszögű háromszög tehetetlenségi nyomatéka a csúcson átmenő, és a szemközti befogóval párhuzamos tengelyre: dA=dx×dy y’’ x’’

20 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 20 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG A derékszögű háromszögekben az alappal párhuzamos, a szemközti csúcson átmenő tengelyre felírt tehetetlenségi nyomatékban az alap mérete csak első fokon szerepel, így az összefüggés a fenti, két derékszögű háromszögből összeállított általános háromszögre is igaz. x’’ y’’ a=a 1 +a 2 m

21 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 21 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG x’’ y’’ a=a 1 +a 2 m Az általános háromszög egyik oldal- egyenesére ill. a vele párhuzamos súlyponti tengelyre a tehetetlenségi nyomaték a STEINER tétel (értelem- szerű) alkalmazásával írható fel. x x’ c x’’ =2/3m c x’ =1/3m

22 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 22 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG A szimmetriatengelyt is tartalmazó tengelykeresztre egy síkidom centrifugális nyo- matéka mindig zérus. Az eddigi elemi síkidomok esetében mindig lehetett ilyen ten- gelykeresztet választani, az általános háromszög esetében azonban nem lehet. Ilyenkor csak az a lehetőség marad, hogy az idomot szimmetrikus (éspedig a glo- bális koordinátarendszer valamelyik tengelyével párhuzamos szimmetriatengelyű) elemekre bontjuk, amelyekre a centrifugális nyomaték zérus, majd minden fel- bontott elemre meghatározzuk a STEINER tagot, és ezek összege szolgáltatja a teljes síkidom centrifugális nyomatékát a globális tengelykeresztre. ha az elemi síkidomok szimmetrikusak, akkor x y xIxI yIyI x II y II x III y III x IV y IV

23 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 23 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI KÖR A kör esetében célszerűen poláris koordinátarendszert alkalmazva a középpontra vonatkozó poláris inercianyomatékot kaphatjuk meg. A kör szimmetriája alapján azonban ebből adódik, hogy bármely tengelyre a tehetetlenségi nyomaték a poláris tehetetlenségi nyomaték fele lesz. r dr dd rd   dA=dr×rd 

24 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 24 EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI FÉLKÖR x’ x y x y’ x y x’ y J x  +J x  =J x  ; J y’  +J y’  =J y  J x’  +J x’  =J x  ; J y  +J y  =J y  A félkör tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyére ill. az oldal- átmérőre a teljes kör inerciájából egyszerűen származtatható. VIGYÁZAT! A vesszős tengelyek NEM SÚLYPONTI TENGELYEK!!!

25 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 25 A FÉLKÖR SÚLYPONTJA x’ Rcos  dA=R×Rd  y’ R  dd A súlypont-meghatározást polárkoordinátarendszerben végezhetjük. 2/3R

26 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 26 y=x n x dx y y max =b x max =a EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI HATVÁNYFÜGGVÉNY ALATTI TERÜLET Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület nagysága és súlypontjának x koordinátája a befoglaló téglalap adataiból egyszerűen meghatározható.

27 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 27 y=x n x dx y y max =b x max =a EGYSZERŰ SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKAI HATVÁNYFÜGGVÉNY ALATTI TERÜLET Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület esetén a másodrendű nyomatékok értéke (a koordinátatengelyekre!!!) a befoglaló téglalap adataiból egyszerűen meghatározható.

28 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 28 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Első lépésként a súlypont helyét kell megállapíta- nunk, hiszen a másodrendű nyomatékokat a súlyponti tengelykeresztre keressük. Határozzuk meg az összetett síkidom keresztmetszeti jellemzőit! Vegyük észre, hogy a síkidom elemi, egyszerűen meghatározható keresztmetszeti jellemzőkkel rendel- kező síkidomokból összeállítható, vagy ilyenre kiegészíthető.

29 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 29 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Az összetett síkidom súly- pontját az x’-y’ (tetszőle- gesen felvehető) viszonyí- tási koordinátarendszerben keressük, ezért az elemi síkidomok súlypontjainak helyét (és statikai nyoma- tékaikat) is ebben a koordinátarendszerben kell meghatároznunk. Első elemként vegyünk fel (az ábra szerint) egy a 1 -b 1 oldalú téglalapot. Ez a teljes síkidom nagy részét lefedi, de emellett olyan területeket is tartalmaz, amelyek az eredeti síkidomnak nem részei. Ezeket a területeket a későbbiekben negatív előjellel kell majd szerepeltetnünk.

30 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 30 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Második elemként a téglalap feletti a 2 -b 2 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, ami szintén tartalmaz az eredeti síkidomon kívüli területrészt is.

31 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 31 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Harmadik elemként az ábra szerinti a 3 -b 3 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban figyelembe vett fölösleges felület egy részét.

32 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 32 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Ha a 4. jelű háromszög nem egyenlőszárú, két derékszögű háromszöggel kell helyettesítenünk. Negyedik elemként az ábra szerinti b 4 alapú és a 4 magasságú egyenlőszárú háromszö- get vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban és a 2. háromszögben figyelembe vett fölösleges felület többi részét.

33 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 33 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Ötödik elemként az r 5 sugarú teljes félkörrel számoljunk. Ennek során a 6. jelű kör területének hatását is figyelembe vettük, amit a későbbiekben majd le kell vonni. A félkör súlypontjának helyét a szimmetriatengelyen a 4r/3  összefüggés adja meg.

34 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 34 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Végül hatodik elemként az 5. félkörben lévő r 6 sugarú lyukat vegyük figyelembe, természetesen negatív előjelű területként

35 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 35 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA JELAx iS y iS SySy SxSx 1 a 1 ×b 1 a 1 /2b 1 /2A 1 ×x 1S A 1 ×y 1S 2 (a 2 ×b 2 )/22a 2 /3-b 2 /3A 2 ×x 2S A 2 ×y 2S 3 -(a 3 ×b 3 )/22a 3 /3(b 1 -b 3 /3)A 3 ×x 3S A 3 ×y 3S 4 -(a 4 ×b 4 )/2(a 1 -a 4 /3)(-b 2 +b 4 /2)A 4 ×x 4S A 4 ×y 4S 5 r 5 2  /2 r5r5 -4r 5 /3  A 5 ×x 5S A 5 ×y 5S 6 -r 6 2  b 1 -b 3 - r 6 A 6 ×x 6S A 6 ×y 6S AA SySy SxSx

36 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 36 ÖSSZETETT SÍKIDOM TERÜLET- ÉS SÚLYPONTSZÁMÍTÁSA Természetesen más felbontás-kiegészítés is lehetséges, mint pl. a fenti ábra szerinti felbontás.

37 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 37 A SÚLYPONTI TENGELYKERESZT ELFORDÍTÁSÁNAK HATÁSA Az eddigiekben megvizsgáltuk, hogyan lehet egy síkidom másodrendű nyomatékait a súlyponti tengelyekre előállí- tani. A STEINER tétel segítségével a tengely(ek) transz- lációjának (párhuzamos eltolásának) hatását is figyelem- be tudjuk venni. A továbbiakban azt nézzük meg, milyen változást okoz a tengelyek (súlypont körüli) elfordítása, rotációja. Ennek ismeretében (egy transzláció és egy rotáció összetételével) bármilyen állású tengelyre elő tudjuk állítani a síkidom másodrendű nyomatékait.

38 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 38 A KOORDINÁTA- TRANSZFORMÁCIÓ Az x-y koordinátarendszernek az origó körüli  szögű elfordításával kapott  -  koordinátarendszerben a pont koordinátáit az alábbi transzformációs összefüggés szolgáltatja: dA=dx×dy dA=d  ×d 

39 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 39 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az elfordított tengelyekre alkalmazva a másodrendű nyomatékok matematikai definícióját, és az abban szereplő új (  -  ) változók helyére beírva az x-y koordináták transzformált összefüggését, az eredeti x-y koordináták és az elfordítási szög függvényében előállíthatók az elfordított tengelykeresztre érvényes másodrendű nyomatékok.

40 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 40 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az J  -re kapott összefüggésben a sin  cos  a sin(2  ) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a J x és J y együtthatóit is  kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon:

41 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 41 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az J  -ra kapott összefüggésben a sin  cos  a sin(2  ) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a J x és J y együtthatóit is  kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon:

42 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 42 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az elfordított tengelyekre alkalmazva a másodrendű nyomatékok matematikai definícióját, és az abban szereplő új (  -  ) változók helyére beírva az x-y koordináták transzformált összefüggését, az eredeti x-y koordináták és az elfordítási szög függvényében előállíthatók az elfordított tengelykeresztre érvényes másodrendű nyomatékok.

43 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 43 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az J  -re kapott összefüggésben a sin  cos  a sin(2  ) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a J x és J y együtthatóit is  kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon:

44 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 44 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Az J  -ra kapott összefüggésben a sin  cos  a sin(2  ) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a J x és J y együtthatóit is  kétszeres szögfüggvényével felírni. adjunk hozzá a jelölt kifejezéshez 0-t, a következő módon:

45 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 45 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN Mindezek alapján a  és  tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a következő egyszerű(bb) alakban írható fel:

46 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 46 A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK AZ ELFORDÍTÁSI SZÖG FÜGGVÉNYÉBEN A centrifugális nyomaték előállítása:

47 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 47 A TEHETETLENSÉGI FŐIRÁNYOK A  -  koordinátarendszert az origó körül forgatva minden állásban értelmezhetők és előállíthatók a síkidom másodrendű nyomatékai, azaz az J , az J  és a C  az a elfordítási szögnek folytonos függvénye. Ugyanakkor 360 fokos elfordítás után a koordinátarendszer az eredeti helyzetbe kerül vissza, tehát az J , az J  és a C  az a elfordítási szögnek periodikus függvénye. Ha pedig egy függvény egyidejűleg folytonos és periodikus, akkor korlátos is. Ha pedig a tehetetlenségi nyomatékok elfordítási szög szerinti függvénye korlátos, akkor meg lehet (és meg is kell!) határoznunk a szélső értékeit, és az azokhoz tartozó elfordítási szögek értékeit.

48 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 48 A FŐTEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK Az J  összefüggésére alkalmazva a d/da differenciáloperátort keressük a derivált függvény zérushelyét. Az átalakítások eredményén látható, hogy az (egy előjelváltástól és egy 2-es szorzótól eltekintve) a C  képletével azonos, azaz a tehetetlenségi nyomaték a tengelykereszt forgatása során abban a tengelyállásban veszi fel a szélső értékeit, amelyben a tengelykeresztre felírható centrifugális nyomaték értéke zérus.

49 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 49 A FŐTEHETETLENSÉGI NYOMATÉKOK A főtehetetlenségi nyomatékok számítási képletei és az inerciák alakulása a különböző elforgatási szögű tengelyekre 1. 2.

50 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 50 A TEHETETLENSÉGI MOHR KÖR Egy síkidom másodrendű nyomaté- kait a tengely elfordítási szögének függvényében ábrázolva a síkidom tehetetlenségi MOHR körét kapjuk. J C JxJx JyJy C xy C yx x tengely y tengely J1J1 J2J2 x y     

51 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 51 A „RENDŐRELV” HASZNÁLATA Határozzuk meg a síkidom főtehetetlenségi nyomatékait! A szimmetria miatt bizonyos, hogy a bejelölt x-y tengelykeresztre a síkidom centrifugális nyomatéka zérus, azaz ezek a tengelyek te- hetetlenségi főirányok. Tehát, az J x és az J y a tengelykereszt forgatásával előálló lehetsé- ges tehetetlenségi nyomatékoknak a mini- muma ill. maximuma lesz. Ugyanakkor azt látjuk, hogy az x és az y tengely a síkidomot teljesen azonos részekre osztja, elhelyezke- dése a síkidom szempontjából teljesen azo- nos, ennek alapján pedig az J x és az J y értéke megegyezik, tehát J  majoránsa és mino- ránsa azonos, azaz J  = J x = J y = J 1 = J 2 J 2 ≤J  ≤J 1 x y  

52 SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 52 EGY MÁS GONDOLATMENET Határozzuk meg a síkidom főtehetetlenségi nyomatékait! x y J x =J y =J 1 =J 2 =J  =J  A szimmetria miatt bizonyos, hogy a bejelölt x-y tengelykeresztre a síkidom centrifugális nyoma- téka zérus, azaz ezek a tengelyek tehetetlenségi főirányok. Ugyanakkor a  -  tengelyek is szim- metriatengelyek, tehát a síkidom centrifugális nyomatéka erre a tengelykeresztre is zérus, azaz ezek a tengelyek is te-hetetlenségi főirányok. Márpedig ha egy síkidomnak 2-nél több főiránya van, akkor már minden irány főirány, emiatt csak azonos lehet minden (súlyponti) tengelyre a tehetetlenségi nyomaték, és zérus minden tengelykeresztre a centrifugális nyomaték.  


Letölteni ppt "MECHANIKA KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK. SZÉCHENYI EGYETEM, Szerkezetépítési Tanszék MECHANIKA I. Keresztmetszeti jellemzők 2 A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK."

Hasonló előadás


Google Hirdetések