Morley-tétel bizonyítás

Az előadások a következő témára: "Morley-tétel bizonyítás"— Előadás másolata:

1 Morley-tétel bizonyítás
Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

2 Morley-tétel bizonyítás
Története Frank Morley 1899-ben felfedezte 1909-ben nyilvánosságra került 1929-ben publikálta Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

3 Morley-tétel bizonyítás
A tétel Egy tetszőleges háromszögben a szomszédos szögharmadolók 3 metszéspontja egy egyenlő oldalú háromszöget határoz meg. Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

4 Morley-tétel bizonyítás
Bizonyítása A tételt kétféleképp bizonyíthatjuk, mi a trigonometriai megoldást alkalmazzuk. Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

5 Morley-tétel bizonyítás
Az ABC háromszög szögei 3α, 3ß és 3γ. AC= b, AB= c és BC= a, BR= u, BP= v Jelöljük továbbá az ABC háromszög körülírt körének átmérőjét d-vel! Mivel az a=d·sin3α, b=d·sin3ß, c=d·sin3γ Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

6 Morley-tétel bizonyítás
Alkalmazva a sinus-tételt a BPC háromszögre: Átalakítás: 3α+3ß+3γ=180°, α+ß+γ=60°, ß+γ=60°-α Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

7 Morley-tétel bizonyítás
Levezetés Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

8 Morley-tétel bizonyítás
Levezetés ezért van olyan háromszög, amelynek szögei: Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

9 Morley-tétel bizonyítás
Levezetés Legyen e háromszög körülírt körének átmérője 1. Ekkor a háromszög oldalai : A cosinus tétel alapján : A PQRΔ PR oldalára a következő kifejezést kapjuk A QR és PQ szakaszok hosszát is meghatározhatjuk ugyanebből a kifejezésből az α, ß,ϓ szögek ciklikus felcserélésével . Mivel azonban α, ß,ϓ a PR-re kapott kifejezésben szimmetrikusak, ezért QR=PQ=PR=4 d sinα sinß sinϓ, tehát a PQR háromszög egyenlő oldalú Ezzel a tételt beláttuk Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás

10 Morley-tétel bizonyítás
Szépség,- vagy alkalmazás ?! A szépsége abban rejlik hogy sem a régi görögök, sem azóta évszázadokig nem volt ismert még a tétel kimondása sem. Egészen a 20. század hajnaláig kellett erre várni. Az alkalmazás irányába mutat az a régen ismert tétel, hogy a szög harmadolás euklideszi úton (körzővel és vonalzóval ) nem megoldható. A bizonyítás során a szögharmadolással számoltunk ugyan, annak ellenére hogy a szerkesztés maga nem végrehajtható. Morley-tétel bizonyítás Kiss Norbert - Takács Adrián - Barta Emil - Gieszer Tamás