Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat1 A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Gábor Dénes Főiskola.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat1 A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Gábor Dénes Főiskola."— Előadás másolata:

1 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat1 A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ Szatmárnémeti tagozat

2 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat2 Bevezetés •A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel •tartalom: -komplex számok matematikája -az áramkörök tanulmányozása -feladat megoldás

3 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat3 1.Komplex számok, komplex függvények A komplex szám fogalma ( az algebrai alak ). Sokszor a legegyszerűbb másodfokú egyenlet megoldása sem végezhető el a valós számok halmazán (az R-en), ilyen, pl. az x 2 +1=0 egyenlet. Ha az egyenletből a -et értelmezzük, egy "számnak" tekinjük és i-vel jelöljük. Ez egy egészen új szám, mivel i 2 =-1 negatív, amely a valós számhalmazban lehetetlen. Ez a "szám" a képzetes imaginárius egység, amelynek segítségével egészen új jellegű "számokat" képezhetünk, ilyen a z=a+bi, ahol a és b valós számok.. A z=a+bi, a komplex szám algebrai alak- ja., ahol a a valós és b a képzetes rész Könnyen belátható, hogy a komplex számok segítségével bármely másodfokú egyenlet megoldható a C ={z=a+bi| a,b  R  komplex számhalmaz-ban.

4 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat Műveletek komplex számokkal Legyen z 1 =a 1 +b 1 i és z 2 =a 2 +b 2 i két komplex szám. Egyenlőség. z 1 =z 2, akkor és csakis akkor, ha: a 1 =a 2 és b 1 =b 2. Összeadás. A z 1 és z 2 két komplex szám összegén a z=z 1 +z 2 =(a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 ) i komplex számot értjük. Több komplex szám esetén: z 1 +z 2 +  +z n =(a 1 +a 2 +  +a n )+(b 1 +b 2 +  b n ) i. Kivonás. A z 1 és z 2 két komplex szám különbsége a z=z 1 -z 2 =(a 1 -a 2 )+(b 1 -b 2 )i komplex szám. Szorzás. A z 1 és z 2 szám szorzatán a z=z 1 z 2 =(a 1 a 2 -b 1 b 2 )+(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i komplex számot értjük.

5 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat5 Osztás: Ha z 2  0, akkor a z 1 és z 2 két komplex szám hányadosán a komplex számot értjük. Műveleti tulajdonságok : Összeadásra : A 1 : Az összeadás asszociatív, (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ), bármely z 1, z 2, z 3  C esetén. A 2 : Az összeadás kommutatív, z 1 +z 2 =z 2 +z 1, bármely z 1, z 2  C esetén. A 3 : Létezik semleges elem az összeadásra nézve,  0=0+0·i  C, úgy hogy 0+z=z+0=z bármely z  C esetén. A 4 : Bármely elemnek van ellentettje, bármely z  C,  -z  C úgy hogy z+(-z)=(-z)+z=0.

6 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat6 Szorzásra: I 1 : A szorzás asszociatív, (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ), bármely z 1,z 2,z 3  C esetén. I 2 : A szorzás kommutatív: z 1 z 2 =z 2 z 1, bármely z 1,z 2  C esetén. I 3 : Létezik semleges elem a szorzásra nézve,  1=1+0i  C, úgy hogy 1z=z1=z, bármely z  C esetén. I 4 : Bármely z  0, z  C esetén  z -1 = úgy, hogy zz -1 =z -1 z=1. Disztributivitás: A fentebbi két tulajdonság csoportot összeköti a szorzás disztributivitása az összeadásra nézve z 1 (z 2 +z 3 )=z 1 z 2 +z 1 z 3, bármely z 1, z 2, z 3  C esetén.

7 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat Komplex szám konjugáltja. A tetszőleges z=a+bi komplex számhoz hozzárendelhető a komplex szám, a z konjugáltja. Tulajdonságok. Legyen z 1 és z 2 két tetszőleges komplex szám: és ha z 2  0, valamint A komplex számok ábrázolása. A z=a+bi komplex szám valós és képzetes része egy P(a,b) pontot jelöl ki a koordináta rendszerben. Mértani értelemben minden komplex számhoz hozzárendelhető (egyértelműen) a sík egy pontja és fordítva.

8 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat8 Ezért ezt a síkot a komplex számsík-nak nevezhetjük, ahol az Ox tengely a valós tengely és az Oy pedig a képzetes tengely. Ha ugyanazon koordináta rendszerben ábrázoljuk a z és a számokat észrevesszük, hogy a grafikus képek szimmetrikusak az Ox tengelyre nézve. y x a b +-+- P(a,b) P(a,-b) z 0 A komplex szám egy másik mértani értelmezése, hogy a sík minden P pontjához rendeljük hozzá ennek helyzetvektorát (rádiuszvektorát), az vektort. Így bármely z=a+bi komplex szám ábrázolható az vektorral, ahol P(a,b) a sík egy pontja ábra

9 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat A komplex számok összeadásának és kivonásának mértani értelmezése. A komplex számoknak vektorokkal való ábrázolása lehetővé teszi az összeadás és kivonás műveletének mértani értelmezését. y x P1P1 P2P2 S 0 Legyen z 1 =a 1 +b 1 i és z 2 =a 2 +b 2 i két komplex szám és az ezeknek megfelelő két vektor, és, melyek koordinátái (a 1, b 1 ) és (a 2,b 2 ), akkor az (ahol S a paralelogramma negyedik csúcsa) vektor koordinátái (a 1 +a 2,b 1 +b 2 ), ábra. Az vektor a z 1 =a 1 +b 1 i és z 2 =a 2 +b 2 i két komplex szám összegének felel meg ábra

10 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat10 y P2P2 P1P1 P P!2P!2 x 0 A z 1 -z 2 különbség mértani értelmezése a következőképen levezethető. Tekintsük a P 2 -nek az origóra vonatkoztatott szimmetrikusát, legyen ez P 2, ahol az vektor koordinátái (-a 2,-b 2 ). Mivel z 1 -z 2 =z 1 +(-z 2 ), figyelembe véve a komplex számok összeadásának mértani értelmezését, következik, hogy a P pont koordinátái: (a 1 -a 2, b 1 -b 2 ) és az a z 1 -z 2 különbségnek felel meg A komplex szám abszolút értéke (nagysága, hossza). A z=a+bi komplex szám abszolút értékén a valós számot értjük. Mint azt az ábrán is látjuk az abszolút érték nem más mint a P(a,b) pontnak az origótól való r távolsága ábra

11 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat11 Néhány fontosabb reláció a komplex számok abszolút értékére vonatkozóan: (háromszög egyenlőtlenség). 1.2.A komplex szám trigonometrikus alakja. Az alkalmazott matematikában sokszor szükség van a komplex szám más alakjára is, ilyen például a trigonometrikus alak. Az ábrából kitűnik, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=r  cos , a képzetes rész pedig b=r  sin  alakban írható, ahol (1.2.1)

12 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat12 Innen adódik, hogy z=r(cos  +isin  ) alakban is megadható. Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A  szög meghatározása a következőképen történik, ha  (- ,  ]. (1.2.2.)

13 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat Műveletek. Legyen z 1 =r 1 (cos  1 +isin  1 ) és z 2 =r 2 (cos  2 +isin  2 ) két tetszőleges komplex szám. Szorzat. z 1 z 2 =r 1 r 2 (cos(  1 +  2 )+isin(  1 +  2 )). Abszolút értéke, az abszolút érétkek szorzata, szöge pedig a szögek összege. Hányados. Abszolút értéke, az abszolút értékek hányadosa, szöge pedig a szögek külömbsége. Hatvány. Ha z=r(cos  +isin  ) és n  N,n  1, akkor z n =r n (cosn  +isinn  ). Tehát az abszolút érték n-edik hatványát, a szög n-szeresét vesszük.

14 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat14 Gyök. Ha z=r(cos  +isin  ) és n  N, n  2, akkor: Mint látjuk egy komplex számnak n-db. gyöke van, mindegyik abszolút értéke ugyanaz:. 1.3.A komplex szám exponenciális alakja. Az r abszolút érték és a  szög segítségével minden z=a+bi komplex szám z=re i  alakban is felírható. Ez a komplex szám exponenciális alakja.

15 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat Műveletek. Legyen z 1 =r 1 e i  1 és z 2 =r 2 e i  2, két tetszőleges komplex szám. Szorzat. z 1 z 2 =r 1 r 2 e i(  1 +  2 ) Hányados., ahol z 2  0. Hatvány. Ha z=re i  tetszőleges komplex szám és n  N, n  1, akkor z n =r n e in . Gyök. Ha z=re i  egy tetszőleges komplex szám és n  N,n  2, akkor: Megjegyzés :Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r(cos  +isin  )=re i , ahonnan e i  =cos  +isin .( Euler-féle összefüggés.)

16 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat Komplex függvények. Értelmezés: Az f függvényt komplex függvénynek nevezzük, ha mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a komplex számok halmazának valamely részhalmaza. Azaz, ha D a komplex sík valamely halmaza, akkor a z=a+bi  D ponthoz, az f által egyértelműen rendelt, w=f(z) komplex szám alakja u(x,y)+iv(x,y), ahol az u és a v kétváltozós valós függvény értelmezési halmazát azon (x,y) valós érték párok képezik, amelyekre nézve x+yi  D. A valós függvények vizsgálatakor értelmezett fogalmak: környezet, torlódási pont, határérték, differenciálható függvény, derivált függvény, stb. fogalmak a komplex függvényekre is lényegében változatlanul átvihetők. Bizonyos feltételeknek eleget tevő komplex függvények deriváltjának és integráljának meghatározása, a valós függvényekéhez hasonlóan történik

17 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat17 2. Váltóáramú áramkörök tanulmányozása Az áramköri elemek : ellenállás (R),tekercs (L) és kondenzátor (C) viselkedése a váltakozó áramú áramkörökben, egy sor gyakorlati problémát vet fel az elektromosságtanban, ezért jelentős szerepet tölt be az elektrónika világában is. Az áramkörök vizsgálati módszerei között megemlítjük a : • forgóvektoros ; valamint • komplex számok módszereit, melyek a legelterjedtebb módszerek, ezen a téren. Be fogjuk mutatni a két módszert, valamint alkalmazzuk ezeket feladatok megoldásánál, kiemelve mindkét módszer előnyeit és hátrányait. Kezdjük a kérdésfeltevéssel : mi történik az áramkörökben ?

18 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Adott az alábbi áramkör : u(t) u R u L u C R L C A huroktörvény alapján felírható: i(t) A kondenzátor kezdeti töltését zérónak vettük. A megoldást szinuszos alakban keressük. (2.1.1)

19 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat19 Vagyis i(t)=I m sin(  t+  a műveletek elvégzése után kapjuk : A jobboldal három tagját úgy is tekinthetjük, mint három különböző forgóvektor eredőjét, amelyek kezdőfázisai különbözőek,(lásd fazor). Ábrázoljuk a vektorok összeadását, a kezdeti időpontban. Az időpont megválasztása lényegtelen mivel a forgás közben a vektorok egymáshoz viszonyított helyzete amúgy sem változik.  LI m RI m UmUm I

20 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat20 Az ábrából látszik, hogy egy soros áramkörben az áramerősség kiszámítható, ha ismerjük a feszültséget (maximális, vagy effektív értékét) és az impedanciának nevezendő, alábbi mennyiséget. Természetesen, ha a kapcsolási mód megváltozik, újra kell tárgyalni, előröl az egész áramkört. Ez érvényes a vegyes kapcsolású áramkörre is, ahol a tárgyalás esetenként nagyon bonyolult is lehet. Nézzük egy párhuzamos kapcsolás esetén

21 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat21 R L C i R i L i C u(t) I Ebben az esetben az áramerős- ségek adódnak össze: i(t)=i R +i L +i C a csomópont törvény értelmé- ben. Most is felrajzolhatjuk a fazorokat, de itt a viszonyítási mennyiség az U. U ImIm  C U m Az impedancia pedig:

22 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat AZ ÁRAMKÖR KOMPLEX SZÁMOKKAL VALÓ TÁRGYALÁSA Ha most a ( ) egyenlet megoldását az alábbi alakban keressük (j=i) Akkor, az alábbi összefüggést kapjuk Ahol az a komplex áramerősség. Látható, hogy az impedancia három részből áll, ami lényegében két féle. Az R, ami valós, a másik kettő képzetes. Ami valahol természetes is mert más jellegű, másfajta jelenség hozza létre.

23 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat23 Mivel a dolgok valahol összefüggnek, az impedanciát felfoghatjuk úgy is, hogy komplex jellege, csak a kétféle dolog megkülöböz- tetését szolgálja, mint a két koordináta tengely által alkotott sík pontjai. Tehát: =R+j(X L -X C )=R+jX vagyis Természetesen csak a valós értékeknek lehet fizikai megfelelőjük, csak azok mérhetők, ezért a moduluszukkal számolunk. A fent vázolt módszernek az előnye az, hogy a törvények alakja nem változik.

24 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat24 Az eredő impedancia: •soros kapcsolás esetén: •párhuzamos kapcsolás esetén: A Kirchhoff törvények felírhatók : •csomópontra : •hurokra : A valós fizikai mennyiség valójában a komplex mennyiségek modulusza, vagyis :

25 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat25 3.A MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A következőkben feladatokon keresztül hasonlítjuk össze a két módszert, egyszerű és bonyolultabb feladatok esetén. -Legyen egy kapcsolás melyben R=4  L=12,7mH= vagyis X L =4  valamint vagyis X C =7  ha  valamint U=20 V. A három elemből alkotunk először egy egyszerű áramkört, ismerve az elemeit, számítsuk ki az áramerősségeket és a feszültségeket. R L C U u R u L u C i

26 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat A FORGÓ VEKTOROS MÓDSZER Kiszámoljuk a mennyiségeket U U R =RI=4•  =16V, U L =X L I=4•  =16V, U C =X C I=7•4=28V Látszik, hogy a feszültségek összege nem egyenlő az áramkör sarkain a feszültséggel.Vagyis a fazoriális diagram így néz ki : U R U C U L I

27 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat A KOMPLEX MÓDSZER Felírjuk a komplex mennyiségeket:

28 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat28 Megállapítások : -A komplex módszernél a feszültségek összege a tápfeszültséggel egyenlő. -Egyszerü áramkörnél előnyösebb a forgóvektoros módszer. Változtassunk a kapcsolási rajzon és egy bonyolultabb feladatot kapunk. Megőrizzük az adatokat és megoldjuk az új feladatot (3.2) R C L I I 2 I1I1 U

29 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat A FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Észrevehető, hogy vegyes kapcsolásunk van. Az elöbbiek értelmében kiszámítható: Az eredő I áramerősség kiszámításához szükségünk van a fázisdiagramra.

30 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat30 I2I2 I ULUL URUR U I1I1 Ezt egy kicsit átalakítva kapjuk : I I2I2  I1I1 U I1XLI1XL RI 1 

31 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat31 Ebeen az esetben szerencsénk van az  szög értékére. Ha nem tudom megállapítani a szög értékét, akkor az eljárás a következő: Ugyanakkor a  szög is kiszámítható, vagyis a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között, a következő összefüggésekkel:

32 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat A KOMPLEX MÓDSZER Felírva a mennyiségek komplex értékeit meghatározzuk az áramerősségeket. Természetesen ugyanazt az értéket kaptuk.

33 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat33 Mivel az áramok összeadódnak: Természetesen úgy is ki lehet számítani, ha először az eredő impedanciát számolom ki:

34 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat34 Ahogy látszik is, megegyezik a fenti értékkel. A feszültségek kiszámítása: Számítsuk még ki az áramkör sarkain a feszültséget: Amint az következik, a sorba kapcsolt elemeken a feszültségek összeadódnak.

35 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat35 Előnyünk van viszont a  fázis szög kiszámításánál, ugyanis komplex számok esetében a tg  a képzetes és valós részek aránya az (1.2.1.) és (1.2.2.) összefüggések értelmében : Látszik, hogy a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között könnyebbenen megállapítható, mivel a tápfeszültségnek csak valós része volt.

36 Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat36 4. KÖVETKEZTETÉSEK •Mindkét módszer alkalmazható, ugyanarra az eredményre vezet (természetesen). •Egyszerű feladatok estén a forgóvektoros módszer alkalmazása előnyösebb. •Bonyolult feladatok esetén, a komplex módszer alkalmazása szükséges is lehet. Nem kell fázisdiagramokat készíteni, majd onnan kiokosodni, mert komplexben alkalmazhatók a törvényszerűségek az általunk ismert alakban. •A fázis szöget viszont lényegesen egyszerübb kiszámolni a komplex módszerrel, ezért az elektrónika inkább ezt a módszert használja.


Letölteni ppt "Gábor Dénes FõiskolaTávoktatási Módszertani Dolgozat1 A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Gábor Dénes Főiskola."

Hasonló előadás


Google Hirdetések