FRAKTÁLOK

Mi a fraktál? Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg). önmagához hasonló Benoit Mandelbrot (1924-2010) adta a fraktál nevet (fractus - latin), jelentése: szabálytalan, töredezett

Önhasonlóság Az alakzat olyan kisebb részekből áll, amely részek hasonlóak az alakzathoz (ezeknél a példáknál ez nem egészen van így )

Konstrukció iterációval

Példák fraktálokra I. A Cantor-halmaz: Sierpinski-féle háromszög (1915) (a Cantor-halmaz síkbeli megfelelője) Koch-féle görbe (hópehely):

Példák fraktálokra II. Mandelbrot halmaz:

Mire alkalmazhatók a fraktálok? Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.

Példák természetes „fraktálokra”

Matematikai „definíció” Fraktál : Finom struktúrája van Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában Önhasonló (esetleg csak közelítőleg, vagy statisztikusan) Olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a topológiai (euklideszi) dimenziójánál.

Topológiai dimenzió Pont – 0, egyenes – 1, sík – 2, tér - 3 Egy H halmaz topológiai dimenziója (lefedési dimenzió). Egy elszigetelt pontokból álló halmaz dimenziója 0, mert a pontok kellően szűk környezeteit véve semelyik kettőnek nem lesz közös része. Egy vonal dimenziója 1, mert mindig lefedhető kellően kis körökkel úgy, hogy azokat "felfűzzük" a vonal mentén, és egyszerre mindig csak kettő találkozik. Az n-dimenziós euklideszi tér lefedési dimenziója n.

Fraktál dimenzió Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres kicsinyítései H-nak.

Nem fraktálok dimenziója Pl.: egyenes szakasz N= 2 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek Pl.: négyzet N= 4 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek Pl.: kocka N= 8 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek

Fraktálok dimenziója A Koch-féle görbe A Sierpinski háromszög N= 4 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek A Sierpinski háromszög N= 3 db hasonló rész s= 2-szoros kicsinyítése az egésznek

Mekkora a fraktálok dimenziója? Feladatok Sierpinski-szőnyeg Mekkora a fraktálok dimenziója? N= 8 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek N= 6 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek

Mandelbrot-halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = 0, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|=<2) majdnem önhasonló

Julia-halmazok Azon z komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = z, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál (c itt paraméter, azaz minden c-hez tartozik egy Julia-halmaz). c = 0.75

Julia-halmaz II.

Julia-halmazok Különféle c értékekre.

Fraktál hegyek Osszunk egy háromszöget három rész-háromszögre, mozdítsuk el a középpontokat. Ismételjük meg a folyamatot a rész-háromszögekre, stb. A sík pontjaihoz rendeljünk magassági értékeket annak megfelelően, hogy hány háromszög fedi azokat le; melyik a legkisebb lefedő háromszög.

Fraktál hegyek

Plazma felhők Hasonló a fraktál hegyeknél alkalmazott módszerhez, csak itt négyzeteket osztunk részekre és a végén nem magassági, hanem fényességi értékeket készítünk.

Fraktál növény

27-a 6 db lapközép kocka-1 db középső kocka= 20 3D fraktálok Térbeli Julia-halmaz Menger-szivacs Mekkora a dimenziója? 27-a 6 db lapközép kocka-1 db középső kocka= 20