16. előadás Relativitáselmélet

Az előadások a következő témára: "16. előadás Relativitáselmélet"— Előadás másolata:

1 16. előadás Relativitáselmélet
Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése – a káosz fogalma Helyünk a világegyetemben (az Univerzum fejlődéstörténete)

2 A speciális relativitáselmélet

3

4 A Michelson-féle interferométer

5

6 Az Einstein-féle relativitási elv
Az általánosított Galilei-féle relativitási elv A kölcsönhatások véges terjedési sebességének elve

7 Következmények

8 A relativitáselmélet alapfogalmai

9 Az invariáns mennyiség
Ami nem függ a koordináta-transzformációtól A két pont közötti távolság invariáns mennyiség:

10 A négydimenziós téridőben az ívhossz az invariáns mennyiség

11 A Lorentz-transzformáció

12

13 A speciális relativitáselmélet programja: A fizikai törvények Lorentz-invariáns alakban való felírása Elektrodinamika – OK Newtoni mechanika – módosítani kell!

14 Az idődilatáció

15 A Lorentz-kontrakció

16 A sebességösszeadás

17 A transzverzális sebesség

18 A rugalmas ütközés vizsgálata

19 A relativisztikus energia

20 Kis sebességek esete

21 Az energia és az impulzus kapcsolata
Az energia és az impulzus-megmaradás nem két független törvény.

22 Négyesvektorok

23 Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése
(A determinisztikus káosz)

24 Érzékszerveink működése logaritmikus
Weber-Fechner féle pszichofizikai törvény: az érzet erőssége az inger erősségének logaritmusával arányos Hallás Látás

25 Agyunk működése lineáris
Ez mennyi búza? Szalmonella (15 percenként)

26 A valódi világ komplex  (gondolkodásunkkal átlátható) modelleket alkotunk
(a „természettörvények”-re az embereknek van szüksége, nem a természetnek) fizika műszaki tudományok biológia közgazdaságtan ……...

27 Modellek geometriai pont egyenes- tömegpont ponttöltés
harmonikus oszcillátor áramgenerátor ……….

28 Az inga Mozgásegyenlet: linearizálás:

29 A modell egyszerű  a modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű
lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

30 Az ingaóra Christian Huygens és George Graham

31 Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot.
Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a sokkal bonyolultabb valóságot.

32 A szerkezet azért bonyolultab (a veszteségeket pótolni kell)

33 Látott-e már valaki pontot egyenest a kör kerülete 2R a narancsé?

34 Mekkora Skandinávia kerülete?
  A gömb felszíne 4R2 A narancsé?  ?

35 Fizikai rendszerek lineáris oszcillátor: nemlineáris oszcillátor:
(harmonikus rezgőmozgás) nemlineáris oszcillátor: kényszerrezgés: hőtágulás:

36 Még bonyolultabb problémák
Háromtest-probléma Naprendszer Csillagpulzáció Időjárás Populációnövekedés Gazdasági növekedés …..

37 Megoldási módszerek Fizikai modell készítés, kísérlet
Számítógépes modell Analóg számítógép Digitális számítógép

38 Érzékeny a kezdőfeltételre
Lorentz 1961-ben nyomtatott lapja Érzékeny a kezdőfeltételre Rayleigh – Bénard konvekció x – a konvekció intenzitása y – hőmérsékletkülönbség z – vertikális hőmérsékletprofil nemlinearitása

39 Korlátozó feltétel nélkül a népesség a végtelenhez tart
Populációdinamika Korlátozó feltétel nélkül a népesség a végtelenhez tart

40 Populációdinamika Volterra-egyenlet
x - nyúl y - róka

41 Korlátozott szaporodás
Populációnövekedési ráta: Ha R=r(>0) (const) korlátozó feltétel:

42

43 Visszacsatolt erősítő
+ > r 1-u u u(1-u) 1V (r=3, )

44 A logisztikus leképezés
r=0,8 r=2,5 r=3,1 r=3,8

45 Optikai visszacsatolás

46 Vizsgálati módszerek Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ...

47 Definíciók (1) trajektória - a rendszer pályája a fázistérben
attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben különös attraktor: végtelen számú egymás melletti rétegbôl álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetû) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedô rendszert ír le.

48 Időbeli és fázistérbeli viselkedés
fixpont határciklus bifurkáció különös attraktor

49 Az előrejelezhetőség reguláris kaotikus Ljapunov idő:

50 Az előrejelezhetőség (számpéldák)
Legyen: (az elektron sugara) (11 millió év) Időjárás T~3..4 nap Laskar tag Dt=500 év 200 milló évre (előre és vissza) Naprendszer T~ milló év belső bolygók T~5 milló év

51 Definíciók (2) bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

52 Nemlineáris RLC kör I. Kirchoff: R L D v U be ki

53 QV-ben nem lineáris – bifurkáció lép fel
Nemlineáris RLC kör II. QV-ben nem lineáris – bifurkáció lép fel

54 Konkluzió Determinisztikus egyenletekkel meghatározott rendszerek látszólag véletlenszerű viselkedést mutatnak A komplex rendszerek viselkedése megfogható, nem számítási hiba eredménye

55 A dimenzió A Hausdorff-dimenzió A felületet lefedni: N=L2/e2.
L - a vonal hossza e - mértékegység Hány e hosszúságú szakasszal lehet lefedni az L vonalszakaszt? N=L/e. A felületet lefedni: N=L2/e2. általában d - a tér dimenziója N=Ld/ed. Dimenzió:

56 Jellemzőjük: az önhasonlóság
Tört dimenziók d=log(2)/log(3) d=2log(2)/log(3) Jellemzőjük: az önhasonlóság

57

58

59

60

61

62

63

64 A különös attraktorok fraktál dimenziójúak

65

66

67 Komplex számok iterációja
Mandelbrot: z0 - fix c - változik Julia: z0 - változik c - fix

68

69

70

71

72

73

74

75

76 Helyünk az Univerzumban
Penzias és Wilson,Bell lab.

77

78

79

80

81

82

83