Fraktálok a tőzsdén Szegedi Tudományegyetem

Az előadások a következő témára: "Fraktálok a tőzsdén Szegedi Tudományegyetem"— Előadás másolata:

1 Fraktálok a tőzsdén Szegedi Tudományegyetem
Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Matematika-tanár szak Szakdolgozat Fraktálok a tőzsdén Gombos Kitti Kata Témavezető: Dr. Kurusa Árpád 2010

2 Tartalomjegyzék Bevezető Káosz és fraktál 2.1 Fraktálok a természetben 2.2 Káosz és fraktál 2.3 Fraktálok előállítása 2.4 Szabálytalanság és dimenzió 2.5 Önhasonlóság Fraktálok és dimenzióik 3.1 Hausdorff-dimenzió 3.2 Dobozszámláló dimenzió 3.3 Konkrét számítások Fraktálok a közgazdaságban 4.1 Bevezetés 4.2 A hozamok függetlensége 4.3 R/S analízis és Hurst-exponens Fraktálok keresése a valós tőzsdéken 5.1 A Dow Jones index vizsgálata 5.2 A General Electric részvény vizsgálata 5.3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől 6. Fraktálok és furcsaságok 6.1 Peano-görbe 6.2 Az ördögi lépcső 6.3 Koch-sziget Tartalmi összefoglaló Irodalomjegyzék Felhasznált ábrák listája Köszönetnyilvánítás Nyilatkozat

3 1. Bevezető

4 2. A fraktálfogalom és kialakulása
1975 Mandelbrot: a fraktál Falconer az alábbi tulajdonságok teljesülése után nevez egy halmazt fraktálnak: Finom struktúrája van Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában Önhasonló Fraktáldimenziója nagyobb mint a topológiai dimenziója Egyszerűen definiálható

5 2.1 Fraktálok a természetben

6 2.2 Káosz és fraktál Hétköznapi értelemben a káosz a teljes zűrzavar, a fejetlenség, a rendetlenség, illetve az összevisszaság megjelölésére utal Matematikai értelemben: Molekuláris Determinisztikus káosz - Káoszjáték (Sierpinski-háromszög)

7 2.3 Fraktálok előállítása

8 Cantor-halmaz

9 Sierpinski-háromszög

10 Sierpinski-szőnyeg & Menger-szivacs

11 Mandelbrot-halmaz

12 Koch-görbe

13 2.4 Szabálytalanság és dimenzió

14 Nem rektifikálható görbék

15 2.5 Önhasonlóság Szigorú önhasonlóság
Pontbeli önhasonlóság Szigorú önhasonlóság X önhasonlóság (természetben előforduló fraktálok)

16 3. Fraktálok és dimenzióik
3.1 Hausdorff-dimenzió 3.2 Dobozszámláló-dimenzió 3.3 Konkrét számítások kb. 1,352 kb. 1,59 kb. 1,26

17

18 4. Fraktálok a közgazdaságtanban
4.1 Bevezetés Hagyományos gondolkozás Újklasszikus iskola 4.2 A hozamok függetlensége A piaci hatékonyság szintjei: Gyenge hatékonyság Közepes hatékonyság Erős hatékonyság 4.3 R/S analízis és Hurst-exponens Az R/S-analízis különböző időperiódusokra kiszámolja a kumulált adatok átlag körüli ingadozásainak R terjedelmét, majd ezt az adatok S szórásával elosztva standardizálja Mit is mutat meg számunkra a Hurst-exponens? ha H<0.5 akkor ún. antiperzisztens viselkedés ha H=0,5 véletlen bolyongás ha H>0.5 perzisztens viselkedés

19 5. Fraktálok keresése a valós tőzsdéken

20 5.1 A Dow Jones index vizsgálata
A vizsgálat lépései: Az árfolyamokból készített diagram képe fraktál? Függetlenség vizsgálata R/S-analízis

21 1. Dobozszámláló-dimenzió kiszámítása
dimDJ: kb.1,204

22 2. Függetlenség vizsgálat
A vizsgálat eredménye: A Dow Jones ipari index hozamai nem függetlenek az január és december közötti időszakban, ezáltal nem áll fenn a hatékony piacok hipotézise.

23 3. R/S-analízis

24

25

26 Eredmény: H=0,418 A Dow Jones ipari index január és decembere közötti hozamai közepesen hatékonyak.

27 5.2 A General Electric részvény vizsgálata
Lépései: a hozamok függetlenségének vizsgálata R/S-analízis

28 1. Függetlenség vizsgálata
A General Electic részvény hozamai az január és december közötti időszakban függetlenek, így fennáll a hatékony piacok hipotézise.

29 2. R/S-analízis H=0,5

30 5.3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől
Észrevételek: 2000-res évi vizsgálatok: 0,7 körüli Hurst-expones Saját vizsgálat: 2000 januártól 2009 decemberéig terjedő adatsorra, 0,553 körüli érték az utóbbi években a magyar piac „másolja” a külföldre jellemző gazdasági tendenciákat

31 6. Fraktálok és furcsaságok
Peano-görbe Az ördögi lépcső Koch-sziget

32 6.1 A Peano-görbe

33 6.2 Az ördögi lépcső (1)

34 6.2 Az ördögi lépcső (2) Az ördögi lépcső az a síkhalmaz, amelyet az f függvény grafikonja, az x-tengely és az y=1 egyenletű egyenes határol.

35 6.3 Koch-sziget (1)

36 6.3 Koch-sziget (2)

37 Köszönöm a figyelmet!