Végtelen halmazok számossága Georg F. Cantor munkássága

Az előadások a következő témára: "Végtelen halmazok számossága Georg F. Cantor munkássága"— Előadás másolata:

1 Végtelen halmazok számossága Georg F. Cantor munkássága

2 Georg F. Cantor (1845-1918) matematikus, a halmazelmélet megalapítója
Oroszországban született, de élete nagy részét Németországban töltötte. Kronecker (egykori tanára, példaképe): „sarlatán, renegát, az ifjúság megrontója.” Poincaré (francia matematikus): „a halmazelmélet betegség, patológiai elfajulás, amiből az emberiség idővel kigyógyul majd.” Hilbert (német matematikus): „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, melyet Cantor teremtett nekünk.”

3 Előzmények Euklidesz V. axiómája: az egész nagyobb a résznél. Ennek ellentmond pl. Galilei észrevétele: … n … … n2 … Bolzano (cseh matematikus, )

4 Cantor munkássága 1874-ben megjelent cikkétől számítjuk a modern halmazelmélet születését. ben megjelent műveiben kifejti a halmazelmélet teljes felépítését. Legfontosabb eredményei: végtelen halmazok számossága kontinuumhipotézis Cantor-tétel

5 Végtelen halmazok számossága

6 A kontinuumhipotézis és a Cantor-tétel
Cantor azt feltételezte, hogy nincs a megszámlálhatóan végtelennél nagyobb és a kontinuumnál kisebb számosság. Erről a kérdésről csak 1963-ban látták be, hogy nem dönthető el, hasonló a szerepe a párhuzamossági axiómáéhoz a geometria felépítésében. Cantor bebizonyította, hogy minden halmaz esetében a halmaz részhalmazaiból álló halmaz (hatványhalmaz) nagyobb számosságú, mint az eredeti halmaz. Ebből következik, hogy nincs legnagyobb számosságú halmaz.

7 Halmazelméleti ellentmondások és következményeik
Egy ellentmondás: az összes dolgok halmaza (jelölje H) definíció szerint tartalmazza önmaga hatványhalmazát (jelölje P(H)). Így viszont egyszerre igaz az, hogy H számossága nagyobb vagy egyenlő, mint P(H) számossága, másrészt (Cantor imént említett tételéből következően) H számossága kisebb, mint P(H) számossága. Később: axiomatikus halmazelmélet (Neumann János)