FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJUK összefoglalás 9. osztály

Függvényfogalom H K Definíció: 1 2 3 4 5 6 12 18 24 30 36 42 H K Definíció: Adott két halmaz: H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon ( de egyértelműen) hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést függvénynek nevezzük. A H halmaz a függvény értelmezési tartománya (a változó lehetséges értékeinek a halmaza). A K (vagy annál bővebb halmaz) a függvény értékkészlete (a lehetséges függvényértékek halmaza). Hozzárendelési szabály: megadja, hogy a változó lehetséges értékeihez milyen függvényértékek tartoznak Helyettesítési érték: az f függvény x0 helyen felvett értéke. Jelölése: f(x0) Pl: f: HK, x 6x

Feladat: Válogasd ki a következő rajzok közül azokat, amelyek függvény grafikonjai lehetnek! Olvasd le a függvénygrafikonok értelmezési tartományát és értékkészletét! a) b) d) c)

Megoldás: a) Nem függvény Függvény. É.T: x  R; É.K: f ( x ) = 3 b) d) Függvény. É.T.:x ≥ −6; É.K.: −4 ≤ f ( x ) ≤ 7 b) c) d)

A lineáris függvény Az f: R → R, f(x) = ax + b (a, b konstans,a ≠ 0) függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Az elsőfokú függvények képe egyenes. Az f: R → R, f(x) = ax + b függvény a=0 esetén f(x)=b. Ezt konstansfüggvénynek nevezzük. Képe az x tengellyel párhuzamos egyenes

Példák elsőfokú függvényekre Y=2x Y=2x- 4 Y=2x+4

Másodfokú függvény Az f: R → R, f(x) = ax2 + bx + c (a, b, ckonstans,a ≠ 0) függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük. x y normálparabola A másodfokú függvények képe parabola

Példák másodfokú függvényekre y=x2+4 y=(x – 6)2 Y=(x+6)2 Y=x2 - 4

A négyzetgyök függvény Az függvényt négyzetgyök függvénynek nevezzük. x Y

Az abszolútérték függvény Az f: R → R, f(x) = |x| függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük. x y

Feladat Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát! Megoldás: f(x)=Ix-2I g(x)=IxI-3 h(x)=2IxI i(x)=-Ix-1I + 3

Az elsőfokú törtfüggvény Az függvényt (ahol a, b, c, d konstans,c ≠ 0 és ad ≠ bc) elsőfokú törtfüggvénynek nevezzük. Az elsőfokú törtfüggvények képe hiperbola

Az egészrész függvény Az x valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb az x-nél vagy egyenlő vele. Az egészrész jelölése: [x] (olvasd: „x egészrésze”). Például: [2,1] = 2; [3,98] = 3; [ –0,2] = –1; [ –7,8] = –8; [5] = 5. A definíció alapján: x – 1 < [x] ≤ x. Az f: R → R, f(x) = [x] függvényt egészrész-függvénynek nevezzük

A törtrész függvény Az x valós szám törtrésze az x - [x] szám. A törtrész jelölése: {x} (olvasd: „x törtrésze”). Például: {2,1} = 0,1; {3,98} = 0,98; { –0,2} = 0,8; { –7,8} = 0,2; {5} = 0. A definíció alapján: 0 ≤ {x} < 1 és x = [x] + {x}. Az f: R → R, f(x) = {x} függvényt törtrész-függvénynek nevezzük

A szignumfüggvény Jellemzi a számok előjelét, innen kapta a nevét (szignum=jel) Grafikus képe: egy pontból és két félegyenesből áll (a félegyenesek végpontjai nem tartoznak a függvényképhez). A (0; 0) pont a grafikon egy elszigetelt (izolált) pontja.

Függvény transzformációk esetei A függvényérték transzformációi A változó transzformációi f(x)+c f(x+c) –f(x) f(– x) cf(x) 0<c f(cx) 0<c Alapfüggvényünk az f függvény, helyettesítési értéke az x helyen: f(x).

Az eredeti függvény grafikonjának változása A függvényérték transzformációi A változó transzformációi f(x)+c: az f függvény képe az y tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0<c felfelé, ha 0>c lefelé f(x+c): az f függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0<c balra, ha 0>c jobbra -f(x): az f függvény képe az x tengelyre tükröződik f(-x): az f függvény képe az y tengelyre tükröződik cf(x): az f függvény képe az y tengely irányában c-szeresére nyúlik, ha 1<c, összenyomódik, ha 0<c<1 f(cx): az f függvény képe az x tengely irányában 1/c-szeresére összenyomódik, 1<c, nyúlik, ha 0<c<1

A függvényvizsgálat lépései Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Szélsőérték vizsgálat A függvény menete