Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 7. előadás
Racionális törtfüggvények Célunk most a racionális törtfüggvények integrálása
A polinomrész integrálása könnyű Polinomosztás Ha a törtünk számlálójában álló polinomnak nagyobb a foka, mint a nevezőben álló polinomnak, (azaz n > m), akkor polinomosztást kell végrehajtanunk: A polinomrész integrálása könnyű
A nevező gyöktényezős felbontása Minden valós együtthatós polinom felbontható az alábbi alakban, ahol xi a polinom egy valós gyöke, i a multiplicitása, a másodfokú tényezőknél kapjuk a komplex konjugált gyököket, i multiplicitással.
Parciális törtekre bontás A racionális törtfüggvényt megfelelő konstansokkal részekre lehet bontani:
A parciális törtfüggvények integrálása A valós gyökökhöz tartozó részek egyszerűen integrálhatók:
A parciális törtfüggvények integrálása A komplex gyökökhöz tartozó törtek integrálása: ( A nagyobb multiplicitású tagok integrálása is lehetséges, bár az ennél bonyolultabb…)
Példák polinomosztás
Példák
Racionalizáló helyettesítések Olyan kifejezéseknél is jó a parciális törtekre bontás, amely törtfüggvények az exponenciális függvény polinomjaiból épül fel:
Racionalizáló helyettesítések
folytatás…
Trigonometrikus törtfüggvények Abban az esetben, amikor egy racionális törtfüggvénybe sin x-et és cos x-et írunk be, egy alkalmas helyettesítéssel racionális törtfüggvényt kaphatunk: polinomok
Racionalizáló helyettesítés
Egy alkalmazási példa
Irracionális függvények integrálása Gyakran kell az alábbi alakú integrált kiszámolnunk. Megbeszéljük a megoldáshoz vezető általános módszert.
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Irracionális függvények integrálása
Egy példa