A Maxima komputeralgebrai rendszer

Az előadások a következő témára: "A Maxima komputeralgebrai rendszer"— Előadás másolata:

1 A Maxima komputeralgebrai rendszer
Horváth Anita V. matematika - IV. informatika

2

3 Tartalom: Egyszerűsítés Polinomok
Határértékszámítás, differenciálás, integrálás Egyenletek, differenciálegyenletek Mátrixok Függvényábrázolás

4 Egyszerűsítés

5 Trigexpand: trigonometrikus és hiperbolikus függvények esetén kifejti:
függvények I. Trigexpand: trigonometrikus és hiperbolikus függvények esetén kifejti: szögek összegét többszörös szögeket Trigsimp: egyszerűsít a következő azonosságok felhasználásával:

6 Trigonometrikus és hiperbolikus
függvények II. Trigreduce: trigonometrikus és hiperbolikus függvények esetén egyesíti: a trigexpand által kifejtett szögek összegét a trigexpand által kifejtett többszörös szögeket függvények hatványait Triginverses: trigonometrikus és hiperbolikus függvényekre és inverzeikre vonatkozó egyesítéseket szabályozza. Értékei: all: arctrig(trig(x)) = x trig(arctrig(x)) = x true: — trig(arctrig(x)) = x false: — — Trig = sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, ...

7 Példák a trigexpand, trigsimp és trigreduce eljárásokra
(C1) 'cos(2*x)=trigexpand(cos(2*x)); (C2) trigsimp(%); (C3) 'sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)=trigreduce(sin(x)*cos(y) +cos(x)*sin(y));

8 Példák a triginverses változóra
(C1) triginverses:true; (C2) asin(sin(x)); (C3) sin(asin(x));

9 Logaritmus és exponenciális
függvény Rat: az exponenciális kifejezéseket kifejti. (Az egyesítés automatikus.) Logexpand: a logaritmust tartalmazó kifejezések kifejtését szabályozza. Értékek: all true false +   +   + + – Logcontract: a logaritmust tartalmazó kifejezéseket egyesíti.

10 Gyököt és hatványt tartalmazó
kifejezések Rat, radcan: hatványt tartalmazó kifejezéseket fejt ki. (Az egyesítés automatikus.) Rootscontract: gyököt tartalmazó kifejezéseket egyesít. Rootsconmode: a rootscontract működését szabályozza. Értékek: False: True: All: minden esetben átalakít.

11 Példák a rat, radexpand eljárásokra és az automatikus egyesítésre
(C1) 'x^(y+z)=rat(x^(y+z)); (C2) '(x*y)^z=radcan((x*y)^z); (C3) (x^y)/(x^z);

12 Polinomok

13 Coeff: a változó valamely hatványának együtthatója.
Polinomok I. Coeff: a változó valamely hatványának együtthatója. Hipow: a legmagasabb hatvány együtthatója. Lopow: a legalacsonyabb hatvány együtthatója. Quotient: maradékos osztás hányadosa. Remainder: maradékos osztás maradéka. Divide: maradékos osztás hányadosa és maradéka. Gcd: legnagyobb közös osztó. Ezgcd: legnagyobb közös osztó és a vele leosztott polinomok. Content: az együtthatók legnagyobb közös osztója. Zeroequiv: a racionális kifejezés nulla-e.

14 Polinomok II. Num,ratnumer: a racionális függvény számlálója.
Denom, ratdenom: a racionális függvény nevezője. Xthru: közös nevezőre hozás. Subst, ratsubst: egy helyettesítés. subst (helyettesítő kifejezés, helyettesítendő részkifejezés, kifejezés) Sublis: egyszerre több helyettesítés. sublis ([helyettesítendő=helyettesítő, …], kifejezés) Expand, ratexpand: kifejtés. Factor: szorzattá alakítás. Ratsinp, fullratsimp, rat: egyszerűsítés.

15 Példák a divide, ezgcd és xthru eljárásokra
(C1) divide(5*x^5+3*x^3+x^2–2*x+1, 7*x^4–3*x^3+7*x^2–3*x,x); (C2) ezgcd(7*x^4–3*x^3+7*x^2–3*x, 5*x^5+3*x^3+x^2–2*x+1,x); (C3) xthru((–x)/(y+x)^20+1/(y+x)^19 +((2+x)^20–2*y)/(y+x)^20);

16 Példák a sublis, expand és factor eljárásokra
(C1) sublis([x=y,y=z],x*y^2); (C2) expand((x^2-x)*(x^2+2*x+1)); (C3) factor(%);

17 Határértékszámítás, differenciálás, integrálás

18 Limit: a határértékszámítás eljárása.
differenciálás,integrálás Limit: a határértékszámítás eljárása. limit (függvény, változó, hová tart, plus/minus) Plus: jobboldali határérték. Minus: baloldali határérték. Diff: a differenciálás eljárása. diff (függvény, változó1, konstans1, …) Integrate: határozatlan integrál számításának eljárása. integrate (függvény, változó) Ldefint: határozott integrál számításának eljárása. ldefint (függvény, változó, konstans1, konstans2) Inf: plusz végtelen. Minf: mínusz végtelen.

19 Példák a limit, diff, és ldefint eljárásokra
(C1) 'limit(cos(x)^(1/x^3),x,0,plus)= limit(cos(x)^(1/x^3),x,0,plus); (C2) 'diff(x^4+y^4-4*x^2*y^2,x,2,y,1)= diff(x^4+y^4-4*x^2*y^2,x,2,y,1); (C3) 'ldefint(1/(x^2+1)^2,x,minf,inf)= ldefint(1/(x^2+1)^2,x,minf,inf);

20 Egyenletek, differenciálegyenletek

21 Solve: egyenleteket old meg.
differenciálegyenletek Solve: egyenleteket old meg. Allroots: egy egyenlet összes gyökét megadja. Realroots: egy egyenlet valós gyökeit adja meg. Nroots: egyenlet gyökeinek száma egy adott intervallumban. nroots (egyenlet, balvégpont, jobbvégpont) Resultant: két egyenlet rezultánsát számítja ki. Algsys, linsolve: egyenletrendszert oldanak meg. linsolve ([egyenletek listája],[változók listája]) Ode2: differenciálegyenletet old meg. ode2 (differenciálegyenlet, függő változó, független változó)

22 Példák a solve és ode2 eljárásokra
(C1) solve(x^4-2*x^3+2*x^2+4*x-8,x); (C2) 'diff(y,x,2)+'diff(y,x,1)=4*%E^x; (C3) ode2(%,y,x);

23 Mátrixok

24 Entermatrix, matrix: mátrix létrehozása.
Mátrixok I. Entermatrix, matrix: mátrix létrehozása. matrix ([sor1],[sor2], …); Genmatrix: mátrix létrehozása tömbből. Augcoefmatrix: együtthatómátrix létrehozása. augcoefmatrix ([egyenletek listája], [változók listája]); Diagmatrix: diagonális mátrix létrehozása. Ident: egységmátrix létrehozása. Zeromatrix: zérusmátrix létrehozása. Mátrix műveletek: + mátrixok összeadása. . mátrixok szorzása. * skalárral való szorzás.

25 Determinant: mátrix determinánsa.
Mátrixok II. Determinant: mátrix determinánsa. Rank: mátrix rangja. Invert: mátrix inverze. Adjoint: mátrix adjungáltja. Transpose: mátrix transzponáltja. Charpoly: mátrix karakterisztikus polinomja. Eigenvalues: sajátérték. Eigenvectors: sajátvektor. Row: a mátrix tetszőleges sora. Column: a mátrix tetszőleges oszlopa. Triangularize: mátrix felső trianguláris alakja.

26 Submatrix: egy mátrixból részmátrix kiválasztása.
Mátrixok III. Submatrix: egy mátrixból részmátrix kiválasztása. submatrix (elhagyni kívánt sorok, mátrix neve, elhagyni kívánt oszlopok); Setelmx: mátrix egy elemének egy másikra cserélése. setelmx (új elem, sor, oszlop, mátrix neve); Addrow: a mátrixhoz új sor hozzáadása. addrow (mátrix neve, [új sor elemei]); Addcol: a mátrixhoz új oszlop hozzáadása. addcol (mátrix neve, [új oszlop elemei]);

27 Példa az entermatrix eljárásra
(C1) A:entermatrix(3,3); Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric 4.General Answer is 1, 2, 3 or 4: 2; Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column 2: 2; Row 1 Column 3: 3; Row 2 Column 2: 1; Row 2 Column 3: 2; Row 3 Column 3: 1; Matrix entered.

28 Példa az invert és submatrix eljárásokra
(C2) A1:invert(A); (C3) submatrix(1,3, A1,3);

29 Függvényábrázolás

30 Kétdimenziós ábrázolás:
Függvényábrázolás Kétdimenziós ábrázolás: Plot2d (sin(x),cos(x),[x,-5,5],[y,-1,1]); Plot2d([parametric,sin(t),[t,0,2*%PI]]); Háromdimenziós ábrázolás: Plot3d(x^2-y^2,[x,-2,2],[y,-2,2],[grid,12,12]); Menüsor: zoom: nagyítás (bal egérgomb) kicsinyítés (shift+bal egérgomb) config: mentés Postscript fájlként

31 Példa a plot2d eljárásra
(C1) plot2d([sin(x),cos(x)],[x,-5,5],[y,-1,1]); (D1)

32 Példa a plot3d eljárásra
(C1) plot3d(x^2-y^2,[x,-2,2],[y,-2,2],[grid,12,12]); (D1)