A Catalan-összefüggésről

Az előadások a következő témára: "A Catalan-összefüggésről"— Előadás másolata:

1 A Catalan-összefüggésről
Molnár István Szent István Egyetem Agrár- és Gazdaságtudományi Kar Békéscsaba

2 Eugène Charles Catalan
belga matematikus fő kutatási területe a lánctörtek és a számelmélet

3 Állítás (Catalan-összefüggés)
Minden n pozitív egész szám esetén fennáll a következő összefüggés:

4 Bizonyítás

5 Alkalmazások

6 1. feladat Mutassuk meg, hogy ha és , akkor

7 1. feladat megoldása (ahol felhasználtuk azt a tényt, hogy a zárójelekben lévő mennyiségek különbsége minden esetben pozitív szám)

8 2. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha n egy pozitív egész szám, akkor

9 2. feladat megoldása

10 Következmény Ha n pozitív egész szám, akkor illetve

11 3. feladat Mutassuk meg, hogy bármely n pozitív egész szám esetén

12 3. feladat megoldása

13 3. feladat általánosítása
Hogyan változik a Catalan-összefüggés bal oldalán álló kifejezés, ha a jobb oldalon szereplő kifejezésben a tagok tetszőleges pozitív egész hatványa szerepel, azaz ha a jobboldalon álló kifejezés alakú, ahol p pozitív egész?

14 3. feladat általánosítása

15 3. feladat általánosítása
Összefoglalva: Bármely n pozitív egész szám esetén ahol p pozitív egész.

16 21. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (London, 1979)
4. feladat Legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Bizonyítsuk be, hogy m osztható 1979-cel! 21. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia (London, 1979)

17 4. feladat megoldása

18 4. feladat megoldása(folytatás)
A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és Mivel az 1979 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 1979, következik, hogy b és 1979 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy az 1979 osztója kell legyen m-nek.

19 4. feladat általánosítása
Legyen p háromnál nagyobb prímszám, valamint legyenek m és n olyan pozitív egészek, amelyekre fennáll, hogy Ekkor m osztható p-vel.

20 4. feladat általánosítása (megoldás)
Mivel p háromnál nagyobb prímszám, ezért vagy alakú, ahol Ha , akkor Ha , akkor

21 4. feladat általánosítása ( p=6k+1 eset)

22 4. feladat megoldása( p=6k+1 eset)
A zárójelben lévő kifejezés a közös nevezőre hozás után alakú lesz, ahol a pozitív egész és Mivel a 6k+1 prímszám és b minden tényezője kisebb, mint 6k+1, következik, hogy b és 6k+1 relatív prímek. Innen az egyenlőséget átírva alakra és felhasználva, hogy kapjuk, hogy a 6k+1 osztója kell legyen az m-nek, azaz p osztója m-nek. 22 22

23 5. feladat 57. Putnam verseny (1996)
Ha p háromnál nagyobb prímszám és , akkor bizonyítsuk be, hogy a összeg osztható tel.

24 5. feladat megoldása A feltételek alapján a minden binomiális együttható osztható p-vel

25 5. feladat megoldása (folytatás)
Lássuk be, hogy az S összeg osztható p-vel. Ha az S-ben szereplő törtek számlálóiban a megfelelő műveleteket elvégezzük, az összevonások után S átírható alakra, ahol egészek.

26 5. feladat megoldása (folytatás)
A 4. feladat általánosítása alapján: alakú, ahol az m osztható p-vel (azaz , ) és az n nem többszöröse p-nek.

27 5. feladat megoldása (folytatás)
Mindezek alapján ahol egyetlen nevező sem osztható p-vel, tehát az S osztható p-vel.

28 Néhány alkalmazási lehetőség
Az alábbi általános tagú sorozatok vizsgálata: ahol k, n, p és q pozitív egészek, valamint p > q . 28

29 Köszönöm a figyelmet!