Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika.

Az előadások a következő témára: "Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika."— Előadás másolata:

1 Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika

2 Tartalomjegyzék Bevezetés Másodfokú függvények alapfüggvény
általános alak kiegészítés teljes négyzetté transzformációk Másodfokú egyenlet megoldása grafikus megoldás különleges esetek diszkrimináns fogalom, példák jelentése megoldóképlet levezetés használat Gyöktényezős alak Viéte formulák Paraméteres egyenletek Másodfokúra redukálható egyenletek 1 2 Feladatgyűjtemény

3 Bevezetés Másodfokú egyenletek alkalmazásával számos feladat és gyakorlati probléma megoldható. A Mezopotániában Kr. E táján kiégetett ékírásos agyagtáblák alapján megállapítható, hogy abban az időben már nagy biztonsággal oldották meg ezeket a faladattípusokat. Ebből az időből származik a következő feladat A feladatban szereplő négyzetoldalt x-szel jelölve, a következő egyenletet kapjuk eredményül:   

4 Másodfokú függvények Alapfüggvény Fogalom: Az alapfüggvény: f(x) = x2
Az olyan függvényt, amelyben a független változó az x a második hatványon szerepel, másodfokú függvénynek nevezzük. Az alapfüggvény: f(x) = x2 Grafikon Jellemzés: ÉT: x R ÉK: y 0 Képe: parabola, ehhez viszonyítjuk a többi másodfokú függvényt Menete: x=0-ig szigorúan monoton csökkenő, x=0-tól szigorúan monoton növekvő Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: minimum x=0 helyen y=0. Paritása: páros Korlátosság: alulról korlátos Folytonos a függvény

5 Másodfokú függvények Általános alak Általános alak:
A másodfokú függvény általános alakja: f(x) = ax2+bx+c, ahol a, b, c R, de a 0 Az ilyen típusú függvények a teljes négyzetté kiegészítés módszerével a következő alakra hozhatók: f(x) = a(x - u)2+v, ahol a, u, v R, de a 0 Minden másodfokú függvény képe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Csúcspontja: C(u;v)

6 Másodfokú kifejezések
Kiegészítés teljes négyzetté 1. Példa 2. 3. 4.

7 Másodfokú függvények Transzformáció x tengely mentén u-val,
y tengely mentén v-vel tolódik el; ha a >1, akkor nyúlik; ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik az y tengely mentén; ha a < 0, akkor tükröződik az x tengelyre Az y = (x-1)2 függvény Az y = x2-2 függvény

8 Megoldás Általános alak Általános alak: ax2 + bx + c = 0,
Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: ax2 + bx + c = 0, ahol az a, b, c adott valós számok, és a 0 Általános alakra hozás: Az egyenletet mindig ax2 + bx + c = 0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk a tizedes számoktól

9 Megoldás Grafikus megoldás 1. módszer
Ha az egyenlet ún. nullára redukált alakú, akkor a baloldalt az ismeretlen függvényének tekintjük. A függvényt teljes négyzetté alakítjuk: f(x) = a(x - u )2+ v Az így kapott alakot transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Ahol a grafikon metszi vagy érinti az x tengelyt, az lesz a zérushely. A zérushelyek adják a megoldást. Ha nincs zérushely, akkor nincs megoldás sem. Példa x2 + 4x = -3 x2 + 4x + 3 =0 f(x) = x2 + 4x + 3 f(x) = (x +2)2 - 1 Megoldás: x = -1 és x = -3

10 Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer
Ennek a módszernek lényege, hogy a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az egyenlet egyik oldalán a másodfokú tag (x2) szerepeljen, a másik oldalon pedig az elsőfokú tag a konstans taggal (számmal). Az egyenlet bal oldalán levő másodfokú függvényt, és a jobb oldalon levő elsőfokú függvényt ábrázolva megkeressük a két függvény metszéspontját. (lehet 0; 1 vagy 2 metszéspont). Ezek a metszéspontok lesznek az egyenlet megoldásai. Példa x2 - x - 2 =0 Megoldás: x = -1 és x = 2 x2 =x +2 f(x) = x2 g(x) =x +2

11 Megoldás Grafikus megoldás Feladat
Oldd meg grafikusan (mindkét módszerrel) az alábbi egyenletet: 1. módszer Megoldás:

12 Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Megoldás: g f

13 Megoldás Különleges esetek Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet
Példa Megoldás Tiszta másodfokú egyenlet Példa Megoldás

14 Megoldás Diszkrimináns Példák
Az egyenletet mindig ax2 + bx + c =0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk meg a tizedes számoktól). A b2 - 4ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük. Példák 4x2 - 5x + 3 = 0 x2 - 5x + 6 = 2 x2 - 5x + 4 = 0 x2 - 4x + 4 = 0

15 Megoldás Diszkrimináns Jelentés
A diszkriminánstól függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány megoldása lehet a valós számok körében. Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenletnek: két valós van, ha D = b2 - 4ac > 0 egy valós van, ha D = b2 - 4ac < 0 nincs valós gyöke, ha D = b2 - 4ac = 0

16 Megoldás Diszkrimináns két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök
A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolat D>0 D=0 D<0 két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök

17 Megoldás Megoldóképlet Megoldóképlet levezetése
A másodfokú egyenlet megoldóképlete: Bizonyítás Mivel, oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát vele, majd vigyük át a konstanst a jobb oldalra és adjunk mindkét oldalhoz -tet. A bal oldalon teljes négyzet áll: A jobb oldali tört előjele a számlálójától függ, jelöljük ezt D-vel. Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

18 Megoldás Megoldóképlet vagy
Ha D = 0, akkor a jobb oldalon 0 áll, így egy megoldás van, az Ha D > 0, akkor két lehetőség van: Ezekből: Ezzel az állítást bebizonyítottuk. vagy

19 Megoldás Példák Megoldás Megoldás -25 < 0, tehát nincs valós gyöke

20 Megoldás Példák Megoldás Megoldás , tehát nincs valós gyöke

21 Megoldás Példák Megoldás Megoldás -45 < 0, tehát nincs valós gyöke

22 Megoldás Példák Megoldás

23 Megoldás Példák Megoldás

24 Megoldás Példák Ha két brigád együtt dolgozik, akkor a munkával 14 nap alatt készülnek el. Ha csak egy brigád dolgozik, akkor az elsőnek 8 nappal többre van szüksége, mint a másiknak. Hány napig tart a munka külön-külön mindegyik brigádnak? Megoldás A második brigád x nap alatt készül el a munkával, az első x + 8 nap alatt. Egy nap alatt az első brigád a munka részét, a második pedig részét végzi el A két brigád együtt naponta a munka részét végzi el. 14 nap alatt elkészül a munka, tehát az egész munka részével egyenlő az egynapi munka

25 Megoldás Példák A feladat megoldása tehát: Az első brigád 32,56 nap, a második brigád pedig 24,56 nap alatt végzi el a munkát

26 Megoldás Példák Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 3 : 4. Milyen hosszúak a befogók, ha az átfogó 100 cm? Megoldás 100 a = 3x b = 4x

27 Megoldás Példák Mennyi idő alatt esik le 200 m magasból egy kő?
A levegő ellenállását nem vesszük figyelembe; a mozgás szabad mozgás esés: s = 200m; g = 10 m/s2; Tehát a kő 6,3 másodperc alatt érkezik le.

28 Gyöktényezős alak Példák A gyöktényezős alak
Az alakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. 1. példa 2. példa Alakítsuk szorzattá a 2x2 – 3x – 2 polinomot 1. Megkeressük a 2x2 – 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeit. 2. 3. 4.

29 Viéte-féle formulák Példák Viéte formulák
Az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a következő összefüggések: Ezeket az összefüggéseket Viéte-féle formuláknak nevezzük. 1. példa A valós számok halmazán adott az x2 + x - 6 = 0 egyenlet. A gyökök kiszámítása nélkül határozza meg a gyökeinek a négyzetösszegét!

30 Viéte-féle formulák Példák 2. példa
Adja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: Megoldás:

31 Paraméteres egyenletek
Példák 1. példa Állapítsa meg a c értékét az x2 - 4x + c =0 egyenletben úgy, hogy a másodfokú egyenlet egyik gyöke a másik négyszerese legyen. Megoldás Viéte formulákból következik: A feladatból következik: Akkor:

32 Paraméteres egyenletek
Példák 2. példa Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a 2x2 -4x +c =0 másodfokú egyenletnek két pozitív gyöke legyen! Megoldás Az egyenletnek akkor lesz két valós gyöke, ha: Másik oldalról a Viéte formulák alapján: Mindkét gyök akkor és csak akkor lesz pozitív, ha a gyökök összege és szorzata pozitív. A felírt összefüggések szerint az összeg pozitív, a szorzat pedig akkor lesz pozitív, ha: Tehát az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha

33 Másodfokúra redukálható egyenletek
Megoldás Általános alak: Megoldás: Ismeretlennek xn-t választjuk, és meghatározása után már csak tiszta n-ed fokú egyenletet kell megoldanunk. Példa 1

34 Másodfokúra redukálható egyenletek
Példa Példa 2

35 Feladatokhoz kattints ide!!!

36 Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán!
Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 7 Megoldás x = 0 és x = - 4 Megoldás x = 2 és x = - 2 Megoldás Nincs megoldás Megoldás y= 7 és y = - 7 Megoldás x = 3 és x = 0,2 Megoldás x = 2,5 és x = 1,75 Megoldás x = 1 és x = - 6

37 Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán!
Tovább Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldás x = 0 és x = 0,4 Megoldás x = 1 és x = 0,5 Megoldás x = 5 és x = - 5 Bontsd fel elsőfokú tényezők szorzatára a polinomokat! Megoldás (2 – 3x)(x – 1) Megoldás (x – 3)(2x + 1) Megoldás 2(x – 3)(x + 1)

38 Tovább Feladatgyűjtemény Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét gyöktényezős alakban! Megoldás (x – 3)(x – 7) = 0 Megoldás (x + 2)(x – 10) = 0 Mennyi a egyenlet valós gyökei reciprokának az összege? Megoldás - 1 Mennyi az egyenlet valós gyökeinek a négyzetösszege? Megoldás 29

39 Tovább Feladatgyűjtemény Két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége 51. Melyek ezek a számok? Megoldás - 26 és -25 A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött? Megoldás Az egyenlet: x(x – 1) =306; 18 csapat mérkőzött. 630 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába? Megoldás Az egyenlet: x2 + (x – 5)2 = 625; és 225 fát ültettek Egy szabályos sokszögnek 54 átlója van. Mekkora a sokszög egy szöge? Megoldás 150°

40 Tovább Feladatgyűjtemény Egy víztároló két csövön át 18 óra alatt telik meg. Ha a víz csak egy csövön át folyik, akkor a második csövön át 15 órával több idő alatt telik meg, mint az első csövön át. Hány óra alatt tölti meg a víztárolót külön-külön mindegyik cső? Megoldás Első cső 30 óra, második cső 45 óra alatt tölti meg a víztárolót Állapítsa meg m értékét az x2 - 5x + m =0 egyenletben úgy, hogy az egyik gyök 6-tal nagyobb legyen, mint a másik. Megoldás A p valós paraméter mely értékei mellett lesz az x2 + px +3 = 0 egyenlet gyökeinek különbsége 2; négyzetösszege 19 a) Megoldás b) Megoldás

41 Feladatgyűjtemény Oldja meg a következő egyenleteket a való számok halmazán. a) Megoldás 1; -1; 0,25; -0,25 Megoldás 1; -1; b) c) Megoldás 2; -1; Az m paraméter mely értékeire van az alábbi egyenletnek két különböző valós gyöke Megoldás