Folytonos jelek Fourier transzformációja

Az előadások a következő témára: "Folytonos jelek Fourier transzformációja"— Előadás másolata:

1 Folytonos jelek Fourier transzformációja
Milyen jelekre alkalmazható a Fourier transzformáció? Nem csak véges időtartamú jelekre alkalmazható, a feltétel: Véges energia van a rendszerben Ebben az esetben a hibajel energiatartalma nulla kezd.

2 Folytonos jelek Fourier transzformációja
Dirichlet feltételek A folytonos helyeken: Szakadási-helyeken: A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség) a jobb és baloldali határérték átlagértéket adja

3 Példák a Fourier transzformáció alkalmazására
Dirac delta függvény Szintetizáló egyenlet d(t)-re

4 Példák a Fourier transzformáció alkalmazására
Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

5 Példák a Fourier transzformáció alkalmazására
Négyszög impulzus az időtérben A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!! Itt Itt

6 Példák a Fourier transzformáció alkalmazására
Gauss függvény A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!!

7 Periodikus jelek Fourier transzformáltja
Tegyük fel Periodikus jel Általánosabban

8 Periodikus jelek Fourier transzformáltja
„vonalas spektrum”

9 Periodikus jelek Fourier transzformáltja
Mintavevő periodikus jelsorozat t –ben periodikus jelnek a frekvenciában periodikus jel felel meg. Inverz összefüggés a periódikusokban

10 A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai
1) Linearitás 2) Időbeli eltolás Az amplitúdó nem változik Fázis: lineáris eltolás

11 A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai
Konjugált szimmetria páros páratlan páros páratlan

12 A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai
Időskála megváltoztatása Időbeni összenyomás frekvenciában széthúzás x(t) valós és páros Valós és páros x(t) valós és páratlan Képzetes és páratlan

13 A FT konvolúciós tulajdonság
Inverz Fourier transzformáció Y(jw)-ra

14 A FT konvolúciós tulajdonság
Következmények a frekvencia válaszra h(t) Frekvencia válasz Impulzus válasz Egy folytonos lineáris invariáns rendszer frekvencia válasza az impulzus válasz Fourier transzformáltja

15 A FT konvolúciós tulajdonság
Példa: H(jw) Az előzőek szerint

16 A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai
Differenciál operátor Lineáris invariáns rendszerek esetében Erősíti a magas-frekvenciájú jeleket, p/2 fáziseltolás

17 Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza
Def. Nem kauzális rendszer!

18 Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza
Mi a rendszer válasza az egységugrás függvényre tvégtelen

19 Sorbakapcsolt szűrők Élesebb frekvencia szelektivitás

20 Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus alkalmazása és a konvolúció
szorzás

21 Konvolúció alkalmazása
Gauss fv. konvolúciója Gauss fv=Gauss fv Gauss fv. szorozva Gauss fv=Gauss fv

22 Példák a Fourier transzformáció alkalmazására
Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

23 Konvolúció alkalmazása
racionális törtfüggvények felbontása Inverz Fourier transzformáció

24 Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek
Differenciálási szabály alkalmazásának Mindkét oldal Fourier transzformációja

25 Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek
racionális törtfüggvény a jw-nak parciális törtekre való bontás után meg lehet határozni Ha X(jw) is racionális, akkor Y(jw) is racionális lesz

26 A teljes energia a frekvencia spektrális energia sűrűség
Parseval tétel A teljes energia az időtartományban A teljes energia a frekvencia tartományban spektrális energia sűrűség