XI. Ördöglakat találkozó Szilassi Lajos: Poliéderek tetraéderekre bonthatósága Poliéderek tetraéderekre bontása XI. Ördöglakat találkozó Budapest, 2017.
Bármely egyszerű sokszögnek van legalább két „levágható”háromszöge. Bontsunk fel egy egyszerű sokszöget olyan háromszögekre, amelyeknek a csúcsai a sokszögnek is csúcsai. Bármely egyszerű sokszögnek van legalább két „levágható”háromszöge.
… és a Császár-poliéder? Bontsunk fel egy egyszerű poliédert olyan tetraéderekre amelyeknek a csúcsai a poliédernek is csúcsai. A feladat nem mindíg oldható meg: A legegyszerűbb (6 csúcsú) ellenpélda a Schönhardt –poliéder (1928.) Erich Schönhardt 1881-1972. Minden átlója kívül van. Van-e olyan tórusz szerű poliéder, amelynek minden átlója belül van a poliéderen? Van-e olyan tórusz szerű poliéder, amelynek minden átlója kívül van a poliéderen? Igen! Igen! ↔ Tetraéderekre bontható. Tetraéderekre bontható. Van-e olyan tórusz szerű poliéder, amely nem bontható tetraéderekre? … és a Császár-poliéder? Igen!
Parkettázzuk ki a síkot (szabályos) háromszögekkel. A hét csúcsú teljes gráf lerajzolható a tóruszfelületre. (Ez a Möbius-tórusz.) Parkettázzuk ki a síkot (szabályos) háromszögekkel. Számozzuk meg a csúcsokat az 1..7 számokkal úgy, hogy bármely két számhoz pontosan egy közös él tartozzon. (Csak egyféle helyes számozás lehetséges.) Vágjunk ki egy akkora paralelogrammát, amely mind a hét számot pontosan egyszer tartalmazza. A kivágott részt deformáljuk téglalappá, majd ragasszuk össsze tórusszá. Eredmény: Csak egyféleképpen rajzolható a tóruszra a hét csúcsú teljes gráf: bármely két ilyen térkép izomorf. Lapok: (1- 2 - 6) , (1 - 4 - 2) , (5 - 3 - 2) , (4 - 1 - 3) , (2 - 7 - 6) , (3 - 7 - 2) , (1 - 7 - 3) (6 - 5 -1) , (6 - 3 - 5) , (2 - 4 - 5) , (3 - 6 - 4) , (5 - 7 - 1) , (4 - 7 - 5) , ( 6 - 7 - 4)
Tetraéderekre bontható-e a Császár poliéder? Igen, mind a négy ránézésre különböző változat tetraéderekre bontható, de csak egyféleképpen.
Köszönöm a megtisztelő figyelmüket!