Határfelület-ábrázolás elve és topológiai struktúrája Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Matematikai Intézet Alkalmazott matematikus MSc Modellezés c. tantárgy 2. téma Határfelület-ábrázolás elve és topológiai struktúrája Dr. Horváth László http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ A viewport felvételek nem csupán illusztrációk, azok mindig saját, működő modellről készülnek, így a modellező rendszer által megkövetelt tudás próbáján átmentek. A laboratóriumi feladatok kísérletei során ezt a hallgatók egyénileg megtapasztalják. Ez a prezentáció szellemi tulajdon. Hallgatóim számára rendelkezésre áll. Minden más felhasználása és másolása nem megengedett! A prezentációban megjelent képernyő-felvételek a CATIA V5 és V6 PLM rendszereknek, az Óbudai Egyetem Intelligens Mérnöki Rendszerek Laboratóriumában telepített installációján készültek, valóságos működő modellekről, a rendszer saját eszközeivel. CATIA V5 és V6 PLM rendszerek a Dassult Systémes Inc. és a CAD-Terv Kft támogatásával üzemel laboratóriumunkban Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Tartalom Előadás Határfelület-ábrázolás célja. Poliéder modell testek topológiájának leírására Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal Síkmodell Szomszédság Közös él. Hasított (szárnyas) él topológiai struktúra. Topológiai konzisztencia Manifold és nem-manifold topológia. Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal. Laboratórium A topológiai struktúra felismerése, tulajdonságainak és szerepének vizsgálata kísérleti alakmodellen. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Határfelület-ábrázolás célja A határfelület-ábrázolás (angolul boundary representation vagy B-rep) a test határoló felületét írja le annak felület-komponenseivel és a komponensek metszésgörbéivel. Például G1 az F1 és F2 felületek metszésvonala. . G1 F1 A felület-komponens és a metszésgörbék matematikai ábrázolása nem-egyenközű racionális B-szplájn (NURBS, Lásd. a kurzus 3. témáját). F2 A viewport-on rögzített képen látható, hogy nagyszámú felület összekapcsolása lehet a cél. A modellt generáló eljárások előírt folytonosságot biztosítanak. Ehhez szükséges az információ, hogy mely felületek mely görbéknél csatlakoznak. Ezt az információt a B-rep modellben, a geometria leírásán túl a topológia biztosítja. A mérnöki rendszerekben a termékek alkatrészeihez alkalmazott modellek ma már minden esetnem tömör testeket ábrázolnak. Ehhez geometriai és topológiai szempontból is komplett (konzisztens) modell alapvető követelmény. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Poliéder modell testek topológiájának leírására Ez egyszerű testmodell viewport-on rögzített megjelenése. Ez nem sok információt ad, de látható, hogy a határfelület a modellben nagyszámú felülettel és görbével ábrázolt. Tetszőleges komplexitású struktúra leírására van szükség. A testet határoló felületek és görbék kapcsolatainak ábrázolásához, ezen keresztül a test tulajdonságainak vizsgálatához poliéder modellt alkalmaznak. A határfelület: zárt héjjá összekapcsolt lapok sokasága. A geometriai elemeket csúcsokhoz, élekhez és lapokhoz kapcsoljuk. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal Csúcs (V - vertex) Él (E - edge) Zárt él-lánc (loop, ring A topológiai entitásokhoz kapcsolt geometriai entitások Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal Héj+anyag =test (body) Lap (F - face) Héj (shell) A topológiai entitásokhoz kapcsolt geometriai entitások Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal A testet egy topológiai lap eltávolításával felnyitjuk. 2 darab (lump) =test (body) A megfelelő modellgeneráló procedúra kibővíti a testet a határfelület ofszetjével és annak konzisztens integrálásához szükséges topológiai és geometriai entitásokkal. Az alaksajátossággal történt módosítás mindkét darabon bekövetkezett. Egy test és tükrözöttje két darabként ábrázolva egy testmodellben Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Síkmodell A határfelület-ábrázolás topológiájának matematikai elemzésének eszköze a síkmodell, ahol síkban ábrázolt alakzatot alkalmaznak a határfelület tulajdonságainak meghatározására. A síkmodell az éleket azonosítja és megmutatja azok irányítottságát. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Síkmodell A topológiának a modellgenerálás közben való elemzése szomszédsági összefüggések mentén működik. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal Síkmodell váz: él-eltávolítási és csúcs-egyesítési műveletek során egyetlen csúcsot és egyetlen poligont tartalmazó modell keletkezik Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Hasított (szárnyas) él topológiai struktúra A topológiai lapok közös él mentén kapcsolódnak közös él (coedge) A közös élhez kapcsolódó görbe valamennyi pontjának benn kell lenni mindkét topológiai laphoz tartozó felületben. Ez a nulla rendű folytonosság megvalósulásának a (Lásd. 3. téma) feltétele. F 1 2 E V E F 1 2 megelőző él követő él V Probléma: a közös él a két élláncban eltérő irányítottságú Megoldás: hasított, más néven szárnyas élstruktúra, ahol a közös él minkét éllánc felé a megfelelő irányítottságot mutatja Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Szomszédság V 1 2 3 4 E F V 1 Csúcs szomszédsága Csúcsok Élek Lapok V 2 3 4 E 1 F Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai konzisztencia A struktúra igénye szerinti topológiai elemeknek, hiány és redundancia nélkül, a megfelelő helyen kell lenni. A konzisztens test-topológia alapszabályai E 1 3 2 V Csúcsba (V) befutó élek száma kettő vagy több E V 1 2 F Egy él (E) két laphoz tartozik E 4 F 1 3 2 A lapot (F) élek zárt lánca veszi körül Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai konzisztencia A testet határoló felület Euler jellemzője: V - E + F Az Euler jellemző állandó. A különálló testeket és áttöréseket nem tartalmazó alakok esetében az Euler jellemző értéke 2. Az Euler formula: V - E + F = 2. Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus. Példák: V-E+F=8-12+6=2 V-E+F=10-15+7=2 V-E+F=2-3+3=2 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai konzisztencia Az Euler formula általánosítása: Euler-Poincaré formula Furatokat, áttöréseket és különálló testeket tartalmazó testekre az Euler szabály nem alkalmazható. Az Euler szabály általánosítása szükséges. Az Euler-Poincaré formula: V - E + F - (L - F) - 2(S - G) = 0 ahol V: the number of vertices E: the number of edges F: the number of faces G: nem-átmenő benyomódások (genus) száma S: a héjak száma, amely legalább 1, mivel a tömör test topológia eleve tartalmaz héjat. L: a külső és belső gyűrűk száma. Példa: V-E+F-(L-F)-2(S-G) = 8-12+6-(6-6)-2(1-0) = 0 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Manifold és nem-manifold topológiák Manifoldnak nevezzük azt a topológiát, amely követi a fenti topológiai szabályokat. Az alábbi három eset tipikus nem-manifold topológiákat mutat. Négy lap tartozik egy élhez. A manifold topológiához ún. lengőlap kapcsolódik. Két héj csúcsban kapcsolódik. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal Lokális Euler operátorok. Csúcson, élen és lapon működnek. MEV – készíts élet és csúcsot! MEF– készíts élet és lapot! KEMR – távolíts el élet és hozz létre gyűrűt (zárt élláncot)! Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal Példa Euler operátorok alkalmazására MVFS (make vertex, face and shell) készíts csúcsot, lapot és héjat. 3xMEV (make edge and vertex) készíts élet és csúcsot. MEF (make edge and face) készíts élet és lapot. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal 4xMEV (make edge and vertex) készíts élet és csúcsot. 4xMEF (make edge and face) készíts élet és lapot. MEV (make edge and vertex) készíts élet és csúcsot. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal KEMR (kill edge and make ring) távolíts el élet és hozz létre gyűrűt (zárt él-láncot) . 3xMEV (make edge and vertex) készíts élet és csúcsot. MEF (make edge and face) készíts élet és lapot. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal 4xMEV (make edge and vertex) készíts élet és csúcsot. 4xMEF (make edge and face) készíts élet és lapot. KFMRH (kill face make ring and and hole) távolíts el lapot készíts készíts gyűrűt és áttörést. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal A globális Euler operátorok héjakat kapcsolnak össze vagy választanak szét. KFEVB (kill face and associated edges and vertices and the shell carriing them) távolíts el lapot a hozzá tartozó élekkel és csúcsokkal és a héjat amely hordozza azokat Az ábrákon a lapok az áttekinthetőség érdekében nincsenek kitöltve! Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Topológiai struktúra definiálása lokális és globális Euler operátorokkal A globális Euler operátorok héjakat kapcsolnak össze vagy választanak szét. KFEVB (kill face and associated edges and vertices and the shell carriing them) távolíts el lapot a hozzá tartozó élekkel és csúcsokkal és a héjat amely hordozza azokat Az ábrákon a lapok az áttekinthetőség érdekében nincsenek kitöltve! Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

A topológia alakfüggetlensége A geometria változása a topológiai struktúra változása nélkül Geometria A Topológia Geometria C Geometria B Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/