Egy 1965-ös versenyfeladat története…

Az 1965. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny (OKTV) második fordulójának 1. feladata így szólt: Felfüggesztett L hosszúságú, elhanyagolható tömegű rugóra kisméretű testet akasztunk. A rugót a testtel együtt vízszintes helyzetbe hozzuk (a rugó akkor nyújtatlan állapotban van, hossza L) és elengedjük. Ismeretes a rugó D állandója, amely szerint a rugalmas erő arányos x megnyúlással: F=-Dx. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test éppen a felfüggesztési pont alatt halad át?

Az OKTV bizottság a versenyzők dolgozatainak átnézése közben vette észre, hogy a feladat nem megoldható! Vermes Miklóst, az OKTV bizottságának elnökét nem hagyta nyugodni a probléma. "Muki bácsi" (1905-1990) De hosszas számolgatással is csak egy közelítő eredményt tudott megadni arra az esetre, ha a rugó megnyúlása kicsi.

Vermes Miklós nem elégedett meg a számítási eredményeivel. Felkereste a Magyarországon akkor legmodernebbnek számító Ural II számítógép „gazdáját”, Szelezsán Jánost az MTA Számítástechnikai Központjában. Az Ural II. számítógépet 1959-ben a Szovjetunióban fejlesztették ki, majd gyártották 1959-1964 között, összesen 139 példányban (Magyarországra 3 darab került). Elektroncsöves gép volt, ennek megfelelően elhelyezése 100 négyzetméteres helyiséget igényelt, fogyasztása pedig 30 kW volt. Átlagosan 5000-6000 művelet elvégzésére volt képes másodpercenként. (További információk: www.hszk.bme.hu/pictures/ural2.html)

Röviden vázoljuk fel Vermes Miklós numerikus megoldását!

A mozgásegyenletek: Vegyük észre: a mozgásegyenletek nemlineárisak!

Vermes Miklós a lehető legegyszerűbb módszert, az Euler módszert választotta a numerikus megoldásra, -es lépésközzel.

Vermes Miklós összesen hét különböző mozgást tanulmányozott különböző tömegekkel és rugómegnyúlással. Dolgozatában bemutatott hét eset mindegyikét rekonstruáltam. Az utolsó kettő (100 cm-re nyújtott rugók, 34 és 102 gramm tömegek, nyugalmi hosszúság 50 cm):

Vermes Miklós a hét képéből kettő teljesen hibás volt, valószínűleg nem a cikkben megadott súlyokkal és megnyúlásokkal indultak. Ez egy konzervatív rendszer: az energia megmarad. Vermes is ezt használta fel arra, hogy megbecsülje, hogy mennyi ideig mehet el a szimulálásban. Hozzávetőlegesen 3 másodpercig.

(Szaggatott a Vermesé, folytonos a pontos.) Vajon mennyire pontosan sikerült Vermes Miklósnak a szimuláció? (Szaggatott a Vermesé, folytonos a pontos.)

A Runge-Kutta-módszer és a mai gyors számítógépek lehetővé teszik a mozgások hosszabb ideig való követését. Lássuk először az a) esetet!

A b) eset:

Készítsünk egy leképezést, egy ún. Poincaré-leképezést! Sematikus ábra egy kaotikus trajektóriára (a.), valamint egy egyes- és egy kettes-ciklusra (b.). Esetünkben a döfési felületet az l = L feltétel fogja adni, a döfési irányt pedig a feltétel határozza meg.

20000 másodpercig (kb. 5 és fél óráig) követve és leképezve az a) eset mozgását (22139 pont):

Egy 2 GHZ-es processzorral, Turbó Pascal programmal, az időléptéket 0 Egy 2 GHZ-es processzorral, Turbó Pascal programmal, az időléptéket 0.001-nek beállítva, hozzávetőlegesen másfél percig tartott az előbbi ábra elkészítése. Szelezsán János becslése szerint, ugyanekkora munka elvégzése az Ural II.-nek akár hónapokig is eltarthatott volna.

Mi lehet az „öblökben” és „lyukakban”? Indítsunk mozgásokat azokból is! A paraméterek és az energia nem változik egyiknél sem! Az ábra gyakorlatilag egy hengerpalást.

Az öblökben és a lyukakban lévő néhány pontnak és zárt görbének a térbeli pályája.

A h-val jelölt kis lyukak közepében lévő mozgás:

Vermes Miklós általunk bemutatott a másik mozgása, a b) eset, ez volt:

Ennek a Poincaré-leképezése:

Ehhez a paraméterekhez és energiához tartozó teljes Poincaré-térkép:

A véletlen úgy hozta, hogy a Vermes Miklós által vizsgált hét mozgásból három volt kaotikus, s négy kváziperiódikus. Ő azonban semmit nem tudhatott erről, hiszen káoszelmélet első alapcikkei az 1960-as években jelentek meg. Mint megválaszolandó kérdés, a probléma fel sem merült. Valószínűleg a „szabálytalan” jelzővel illette volna őket. Hogy a kaotikus rendszerek tulajdonságaiba mennyire nem nyújt betekintést a mozgásegyenlet puszta alakja, az abból is kiviláglik, hogy nemcsak egy Poincaré-metszet megalkotásához, hanem még a felfüggesztési pont alatti első(!) áthaladás kiszámításához is számítógép segítségét kellett igénybe vennünk.

Hiába egyszerű tehát egy mechanikai rendszer Hiába egyszerű tehát egy mechanikai rendszer. Mivel a mozgásegyenletek nemlineárisak, könnyen kialakulhat káosz. Ilyenkor viszont a tulajdonságok felderítéséhez már nélkülözhetetlen a számítógép, mellyel a szó valódi értelmében „felfedezés” a feltáró munka… Vermes Miklós 1967-es cikke az ebbe az irányba tett első lépés a magyar fizikában.