Készítette: Horváth Zoltán

Az előadások a következő témára: "Készítette: Horváth Zoltán"— Előadás másolata:

1 Készítette: Horváth Zoltán
Koordinátageometria Készítette: Horváth Zoltán

2 Tartalom Pontok Vektorok Egyenesek Körök

3 Pontok, ponthalmazok, szakaszok

4 Jelöld be az A(3; 5) pont helyét a koordinátarendszeren!
A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

5 Jelöld be a B(-3; 5) pont helyét a koordinátarendszeren!
A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

6 Jelöld be a C(5;-5) pont helyét a koordinátarendszeren!
A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

7 Milyen távol van az A(3; 4) pont a az origótól?
Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,O pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AO szakaszt, és a szakasz alatti területet!

8 Milyen hosszú az AB szakasz? A(-5; -3); B(7; 2);
Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,B pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AB szakaszt, és a szakasz alatti derékszögű háromszöget!

9 Milyen hosszú az AB szakasz? A(5; -5); B(-3; 10);
Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,B pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AB szakaszt, és a szakasz alatti derékszögű háromszöget!

10 Milyen hosszú az AB szakasz? A(-6; -15); B(6; 20);
Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

11 Milyen hosszú az AB szakasz? A(-19; -42); B(-6; 42);
Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

12 Milyen hosszú az AB szakasz? A(-60; -42); B(5; 30);
Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

13 Milyen hosszú az AB szakasz? A(-5; 6); B(7; -8);
Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

14 Mekkora a P1 P2 szakasz? P1(2; -4); P2(-6; 8);
Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

15 Vektorok

16 Legyen v1(vx ; vy) és w2(wx ; wy)
Egy adott eltoláshoz tartozó irányított szakaszok halmazát vektoroknak nevezzük. Legyen v1(vx ; vy) és w2(wx ; wy) Ekkor: Két vektor összege illetve különbsége: Egy vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor közbezárt Szögének koszinusza:

17 Legyen V( 3 ;4 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát!
5 -5 x y 9 -9

18 Legyen V( -5 ;12 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát!
x y 9 -9

19 Legyen V( -4 ;-7 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát!
5 -5 x y 9 -9

20 Legyen v (3 ; 4) és w (2 ; 8)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

21 Legyen v (-2 ; 3) és w (5 ; 1)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

22 Legyen v (-4 ; 1) és w (1 ; 3)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

23 Legyen v (-4 ; 5) és w (5 ; 3)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

24 Legyen v (-2 ; 5) és w (1 ; 1)! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t
Határozd meg a két vektor különbségét, és annak hosszát! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t A két vektor különbsége: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

25 Legyen v (-2 ; 3) és w (4 ; 5)! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t
Határozd meg a két vektor különbségét, és annak hosszát! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t A két vektor különbsége: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

26 Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!
Legyen v (3 ; 4) és w (5 ; -5)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

27 Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!
Legyen v (-1 ; 3) és w (2 ; -2)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

28 Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!
Legyen v (5 ; 8) és w (2 ; 7)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

29 Legyen v (4 ; 2) és w (-2 ; 4)! A két vektor skaláris szorzata:
Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

30 Legyen v (4 ; 2) és w (-1 ; 2)! A két vektor skaláris szorzata:
Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

31 Legyen v (3 ; 4) és w (-4 ; 3)! A két vektor skaláris szorzata:
Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

32 Legyen v (-2 ; 3) és w (4 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

33 Legyen v ( -4 ; 3) és w (3 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

34 Legyen v ( -5 ; 2) és w (2 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

35 Legyen v ( -4 ; 2) és w (2 ; 4)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

36 Legyen v ( -4 ; 2) és w (3 ; 6)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

37 Legyen v ( -6 ; 2) és w (1 ; 3)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

38 Osztópontok, súlypontok

39 és Felezőpontja:

40 Határozd meg az AB szakasz felezőpontját!
Legyen adott két pont: A( 3 ; 5 ) és B( 7; 5 )! 5 -5 x y 9 -9

41 Határozd meg az AB szakasz felezőpontját!
Legyen adott két pont: A( -3 ; 5 ) és B( 7; 5 )! 5 -5 x y 9 -9

42 Határozd meg az AB szakasz felezőpontját!
Legyen adott két pont: A( -3 ; 5 ) és B( 7; -5 )! 5 -5 x y 9 -9

43 Határozd meg az AB szakasz felezőpontját!
Legyen adott két pont: A( 0 ; 0 ) és B( 8; 6 )! 5 -5 x y 9 -9

44 Határozd meg az AB szakasz felezőpontját!
Legyen adott két pont: A( -5 ; 5 ) és B( 5; -5 )! 5 -5 x y 9 -9

45 és Adott arányban osztó pont koordinátái:

46 Oszd fel az AB szakaszt 1:2 arányban!
5 -5 x y 9 -9

47 Oszd fel az AB szakaszt 2:1 arányban!
5 -5 x y 9 -9

48 Oszd fel az AB szakaszt 1:2 arányban!
5 -5 x y 9 -9

49 Oszd fel az AB szakaszt 2:1 arányban!
5 -5 x y 9 -9

50 Oszd fel az AB szakaszt 2:3 arányban!
5 -5 x y 9 -9

51 Oszd fel az AB szakaszt 3:5 arányban!
-5 x y 9 -9

52 Egyenesek

53 Az egyenes irányvektoros egyenlete
Ahol: a v irányvektor első jelzőszáma, a v irányvektor második jelzőszáma; valamint az egyenesre illeszkedő P pont első jelzőszáma, az egyenesre illeszkedő P pont második jelzőszáma.

54 Az egyenes meredeksége 3/2 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 2 ; 3), és a P (2;-2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 3/2 , azaz a P ponttól 2 egységet lépjünk jobbra 3 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba!

55 Az egyenes meredeksége -1/2 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 2 ; -1), és a P (-4; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -1/2 , azaz a P ponttól 2 egységet lépjünk jobbra, 1 egységet le! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

56 Az egyenes meredeksége 5/3 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 3 ; 5 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 5/3 , azaz a P ponttól 3 egységet lépjünk jobbra, 5 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

57 Az egyenes meredeksége 1/2 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 4 ; 2 ), és a P ( 6 ; 4 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 1/2 , azaz a P ponttól 4 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

58 Az egyenes meredeksége 0 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 1 ; 0 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 0 , azaz a P ponttól 1 egységet lépjünk jobbra, 0 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

59 0 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel!
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 0 ; 2 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! 0 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük x-re az egyenletet! Az egyenes meredeksége ∞ , azaz a P ponttól 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

60 Az egyenes normálvektoros egyenlete
Ahol: a n normálvektor első jelzőszáma, a n normálvektor második jelzőszáma; valamint az egyenesre illeszkedő P pont első jelzőszáma, az egyenesre illeszkedő P pont második jelzőszáma.

61 Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét!
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 2 ; 1 ), és a P( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! Az egyenes meredeksége -2 , azaz a P ponttól 1 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

62 Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét!
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 3 ; 5 ), és a P( -3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! Az egyenes meredeksége -3/5 , azaz a P ponttól 5 egységet lépjünk jobbra, 3 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

63 Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 4 ; 3 ), és a P( -3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 3 egységet lépjünk jobbra, 4 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

64 Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 4 ; 3 ), és a P( -3 ; -2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 3 egységet lépjünk jobbra, 4 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

65 Az egyenes meredeksége -1 , azaz a P ponttól
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 1 ;1 ), és a P( -3 ; -2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -1 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 1 egységet lépjünk jobbra, 1 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

66 Egyenesek irányvektora, normálvektora

67 A 2x +3y = 11 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát!
A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

68 A 5x +y = 111 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát!
A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

69 A +y = 7 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát!
A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

70 A +5y = -3 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát!
A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

71 A 2x = 3 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát!
A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

72 A háromszög nevezetes vonalai

73 Súlyvonal Egy háromszög súlyvonala az a szakasz, amelyik végpontjai a háromszög egyik csúcsa, és az ezzel a csúccsal szemben lévő oldalfelező pont. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást: a S súlypontban.

74 Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(0;0); B(6;2); C(3;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Számoljuk ki az a oldal felezőpontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget 5 -5 x y 9 -9

75 Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Számoljuk ki az a oldal felezőpontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget 5 -5 x y 9 -9

76 Számoljuk ki a háromszög Súlypontjának koordinátáit!
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Számoljuk ki a háromszög Súlypontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát 5 -5 x y 9 -9

77 Magasságvonal Egy háromszög magasságvonala az az egyenes, amelyik egyik pontja a háromszög egyik csúcsára illeszkedik, és az ezzel szemben lévő oldalra merőleges. A háromszög Magasságvonalai egy pontban metszik egymást: az M magasságpontban.

78 Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát!
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

79 Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát!
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-7;-6); B(5;-5); C(0;4). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

80 Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát!
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-5;-5); B(5;-5); C(0;5). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

81 Körök

82 A C(0;0) középpontú, r sugarú kör egyenlete:
A C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

83 Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara 5 hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

84 Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara 7 hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

85 Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

86 Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 2 ;0 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

87 Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 3 ;4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

88 Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

89 Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;-4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

90 Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét!
Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;-4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

91 Két pontra, mint átmérő végpontjaira illeszkedő kör egyenlete

92 Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( -3 ;-4 ), B( 7;20 )!
Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(2;8) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

93 Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( 0 ;0 ), B( 6;8 )!
Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(3;4) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

94 Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( 3 ;2 ), B( 1;0 )!
Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(3;4) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

95 Pont és egyenes távolsága

96 Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)?
Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

97 Ezt visszahelyettesítve az f egyenes egyenletébe:
Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az f egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

98 Határozzuk meg az E és a P pont távolságát!
Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és egyenes távolsága:

99 Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)?
Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

100 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe:
Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

101 Határozzuk meg az E és a P pont távolságát!
Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és az egyenes távolsága:

102 Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)?
Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

103 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe:
Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

104 Határozzuk meg az E és a P pont távolságát!
Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és az egyenes távolsága:

105 Pont és görbe illeszkedése

106 Illeszkedik-e a P(3;4) pont az e: 2x-3y=6 egyenletű egyenesre?
Helyettesítsük be a pont jelzőszámait az egyenes egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak az egyenes egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott egyenesre. és

107 Illeszkedik-e a P(-3;-4) pont az e: 2x-3y=6 egyenletű egyenesre?
Helyettesítsük be a pont jelzőszámait az egyenes egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak az egyenes egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség teljesül. Ebből az következik, hogy a pont illeszkedik a megadott egyenesre. és

108 Illeszkedik-e a P(5;-3) pont az f: (x-7)2+1=y egyenletű görbére?
Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott görbére. és

109 Illeszkedik-e a Q(-5;5) pont az f: (x+7)2+1=y egyenletű görbére?
Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség teljesül. Ebből az következik, hogy a pont illeszkedik a megadott görbére. és

110 Illeszkedik-e az R(2;0) pont az g: (x-3)2+1=y egyenletű görbére?
Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott görbére. és

111 Az y mely paraméterére illeszkedik a P(2; y) pont az e: 2x+5y=7 egyenletű egyenesre?
Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A P ( 2 ; 0,6 ) pont illeszkedik a 2x + 5y =7 egyenletű egyenesre.

112 Az y mely paraméterére illeszkedik a Q(5; y) pont az f: x2-2x+6=y egyenletű görbére?
Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A Q ( 5 ; 21 ) pont illeszkedik az y=x2-2x+6 egyenletű görbére.

113 Az y mely paraméterére illeszkedik a R(3; y) pont az g: x2-5x+6=y egyenletű görbére?
Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A Q ( 3 ; 0 ) pont illeszkedik az y=x2-5x+6 egyenletű görbére.

114 A háromszögek területe

115 Ekkor a keresett háromszög területe:
Határozd meg annak a háromszögnek a területét, amelyik csúcspontjai A(-6;-1) B(8; 4) C(10;7) A megoldáshoz vegyünk fel két segédpontot a felső pontok alá az alsóval egy szintbe! Ekkor a keresett háromszög területe: 5 -5 x y 9 -9

116 Ekkor a keresett háromszög területe:
Határozd meg annak a háromszögnek a területét, amelyik csúcspontjai A(-6;-1) B(8; 4) C(10;7) A megoldáshoz vegyünk fel két segédpontot a felső pontok alá az alsóval egy szintbe! Ekkor a keresett háromszög területe: 5 -5 x y 9 -9