Becslés gyakorlat 2016. november 3. Gazdaságstatisztika Becslés gyakorlat 2016. november 3.

1. példa Egy elektronikai gyártósoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta átlaga 10,34mm-re adódott. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Megoldás: Várható érték becslése ismert elméleti szórás esetén Mintaelemszám meghatározása adott pontosság eléréséhez

1. példa Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen μ várható értékkel és ismert σ0=0,03 mm elméleti szórással. n=10 95%-os megbízhatósági szinten az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értéke 10,321mm és 10,359mm között van. 

1. példa Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel legfeljebb 0,01mm eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 35 elemű minta szükséges.

1. példa - kiegészítés Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% megbízhatósággal, és negyedakkora hibával szeretnénk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel negyedakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 160 elemű minta szükséges.

1. példa - kiegészítés Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 99% megbízhatósággal, de ugyanakkora hibával szeretnénk becsülni? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 99%-os valószínűséggel és ugyanakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 18 elemű minta szükséges.

2. példa Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé adagolt térfogatára! Megoldás: Az adagolt kávétérfogat normális eloszlású valószínűségi változó, melynek elméleti várható értékét és elméleti szórását nem ismerjük. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így az következő összefüggést használhatjuk:

2. példa Mintaátlag: A minta korrigált tapasztalati szórása: Az eszpresszó kávé adagolt térfogata 95%-os valószínűséggel a (98,454ml; 101,946ml) intervallumba esik. DF=n-1=9

2. példa - kiegészítés Ha az előző becslés hibáját a harmadára szeretnénk csökkenteni ugyanekkora (95%) megbízhatóság mellett, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel harmadakkora eltéréssel tudjuk becsülni, legalább 90 elemű minta szükséges.

3. példa Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a tengelyek várható átmérő méretére! b.) a tengelyek átmérőjének szórására! Megoldás: várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén sokasági szórás becslése

3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a tengelyek várható átmérő méretére! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére ismeretlen elméleti szórás esetén. DF= n-1=30-1=29 A tengelyek átmérőjének várható értéke 54,8994mm és 55,1006mm között van

3. példa - kiegészítés ∆≈0,1 ∆új≈0,05 Ha a becslés hibáját a felére szeretnénk csökkenteni, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? ∆≈0,1 ∆új≈0,05 Kb. 122 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy a becslés hibáját harmadára csökkentsük.

3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a tengelyek átmérőjének szórására! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható szórására. DF=n-1=30-1=29 A tengelyek átmérőjének szórása 99%-os megbízhatósági szinten 0,1489mm és 0,2973mm között van.

3. példa - kiegészítés Tegyük fel, hogy a megadott 0,2mm a mintából számított tapasztalati szórás (és nem korrigált): DF=30-1=29 A tengelyek átmérőjének szórása 99%-os megbízhatósági szinten 0,1684mm és 0,3018mm között van. SZÉLESEBB AZ INTERVALLUM

4. példa Megoldás: várható érték becslése, sokasági szórás ismeretlen Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az izzók várható élettartamára! Megoldás: várható érték becslése, sokasági szórás ismeretlen Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

4. példa Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

4. példa Mivel n>30, így két lehetőségünk van, mivel a mintából számított korrigált tapasztalati szórás használható a sokasági szórás közelítésére: 1. lehetőség: várható érték becslése ismert sokasági szórás esetén Az izzók várható élettartama 95%-os megbízhatósággal a (15,455hónap; 18,945 hónap) intervallumba esik.

4. példa Az izzók várható élettartama 95%-os valószínűséggel a (15,42 hónap; 18,98 hónap) intervallumba esik. 2. lehetőség: a várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén

4. példa - kiegészítés Adjunk 95%-os becslést a sokasági szórásra! DF=60-1=59 Az izzók élettartamának szórása 95%-os megbízhatósággal a (5,839 hónap; 8,325 hónap) intervallumba esik.

5. példa Az előző feladat adatai alapján adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! Megoldás: sokasági arány becslése A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 37,35% és 62,65% intervallumba esik. Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1

5. példa - kiegészítés Ha az előző becslés pontosságát a negyedére kívánjuk csökkenteni, akkor mekkora mintára lenne szükségünk? Kb. 961 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy a becslés hibáját negyedére csökkentsük.

5. példa Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): Élettartam (hónap) Izzók száma (db) 0≤t<6 5 6≤t<12 7 12≤t<18 18 18≤t<24 22 24≤t<30 30≤t<36 1 A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 9,88% és 30,12% intervallumba esik.

5. példa - kiegészítés Ugyanilyen pontosság eléréséhez 99%-os megbízhatósággal mekkora mintára lenne szükségünk? Kb. 104 elemű mintára van szükség ahhoz, hogy ugyanezt a pontosságot 99%-os megbízhatósággal érjük el.