Kísérlettervezés 2018/19.

Az előadások a következő témára: "Kísérlettervezés 2018/19."— Előadás másolata:

1 Kísérlettervezés 2018/19

2 A kísérlettervezés általános célja
A jól kiválasztott kísérlettervek maximalizálják az adott „mennyiségű” kísérlettel elérhető „információt”. A termelési paramétereket nyilván nem kereshetjük az összes lehetséges beállítás „kipróbálásával”, hanem bizonyos, lehetőleg kis számú kísérleti beállítás mellett vizsgáljuk az elért minőséget, és ezek alapján következtetünk a helyes gyártási beállításra. Ezeket az elvégzendő kísérleteket kell megtervezni, hogy minimális költséggel és idővel a lehető legtöbb információhoz jussunk.

3 A kísérleti adatokban lévő információt minél teljesebb mértékben ki kell nyerni.
Erre a matematikai statisztikai módszerek adnak lehetőséget. Szintén a matematikai statisztikai módszerek segítségével lehet felépíteni olyan kísérleti terveket, amelyek lehetővé teszik, hogy a kívánt információt minél kevesebb kísérleti munkával szerezzük be.

4 Tematika 1. Valószínűségelméleti és statisztikai alapok
2. Regresszióanalízis 3. Varianciaanalízis (ANOVA) 4. Faktoros kísérleti tervek

5 1. Valószínűségelméleti és statisztikai alapok
1.1. Eloszlások 1.2. Paraméterbecslés 1.3. Hipotézisvizsgálat, statisztikai próbák

6 1.1. Eloszlások Alapfogalmak: Véletlen jelenség Sokaság, minta
A vizsgálat célja a sokaság megismerés, de a vizsgálatot a mintára korlátozzuk Valószínűségi változó Azok a mennyiségek, melyek értéke esetről esetre más és más lehet. Meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek megadott határok közé. Lehet: - diszkrét folytonos

7 Diszkrét valószínűségi változó
sűrűségfüggvénye: eloszlásfüggvénye:

8 Folytonos valószínűségi változó
sűrűségfüggvény

9 Folytonos valószínűségi változó
eloszlásfüggvény

10 Példa:

11 Paraméter és statisztika
Sokaság jellemzői: paraméterek Minta jellemzői: statisztikák Várható érték: Számtani átlag:

12 Variancia (szórásnégyzet):
Szórásnégyzet (tapasztalati szórásnégyzet):

13

14 Statisztikai következtetés
A matematikai statisztika módszereivel következtetünk a minta statisztikai jellemzőiből a sokaság eloszlásának paramétereire.

15 Normális eloszlás (Gauss-eloszlás)
A legfontosabb folytonos eloszlás. Sok, egymástól független, kis hatású tényező hatása összeadódik. Szokásos jelölése: N(m, s2), pl. N(0,1)

16

17

18

19 Normalizált (standard) normális eloszlás: z-eloszlás (u-eloszlás)
N(m, s2) standardizálása:

20 1-1. példa Budaörsön 1998-ban NO2 koncentrációjára m = 46,6 μg/m3 és s = 19,9 μg/m3 értékeket határoztak meg a napi átlagokra. A napok hány %-ban lépték túl az akkori 70 μg/m3 egészségügyi határértéket, ha az adatokra normális eloszlást feltételezünk? 1-2. példa Egy test többször megismételt tömegmérése során 5 mg várható értéket és 0,1 mg szórást állapítottak meg. Mekkora valószínűséggel mérünk legalább 5,05 mg tömeget? Mekkora a valószínűsége, hogy 4,8 és 5,2 mg közé esik a mért érték? 1-3. példa Let us suppose that the body weights of 800 students have a normal distribution with mean m = 66 kg and standard deviation s = 5 kg. Find the number of students whose weight is: a) between 65 and 75 kg; b) over 72 kg. calculator.tutorvista.com/normal-distribution-calculator.html

21 Számtani középérték – maga is valószínűségi változó
Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciája pedig s2/n. (centrális határeloszlás-tétel)

22 t-eloszlás (Student-eloszlás)
A z-eloszlás sokszor nem használható, mert nem ismerjük a varianciát (s2). Ilyenkor alkalmazható a t-eloszlás. Egy x normális eloszlású változóból így kapunk t-eloszlásút: Ahol s a tapasztalati szórás Az eloszlás paramétere: n – szabadsági fokok száma, ami a nevezőben lévő szórás négyzetének szabadsági fokszáma: n-1 t származtatása egy n elemű minta középértékéből: Student: William Gosset írói álneve

23

24 1-4. példa 10 mérés eredménye a következő: 24,46; 23,93; 25,79; 25,17; 23,82; 25,39; 26,54; 23,85; 24,19; 25,50. Milyen intervallumban van a valódi érték 95%-os valószínűséggel? (95 %-os konfidencia intervallum) Lásd később

25 F-eloszlás Két sokaság varianciájának, szórásának összehasonlítására szolgál. Azonos varianciájú normális eloszlású sokaságokból vett minták tapasztalati szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlású. f(F) F

26 1.2. Paraméterbecslés Becsléskor a sokaság tulajdonságára (eloszlásának paraméterére) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján. Becslés a mintából kiszámított statisztika (pl. a várható értéknek egy lehetséges becslése a mintaelemek számtani középértéke.) Szokásos jelölések: m, s, a: paraméterek valódi értéke m, s, a: becslés vagy : paraméter : becslés

27 A becslés valószínűségi változó, eloszlása van
a jobb becslés mint b, mert kisebb az ingadozása c-re a várható érték nem a Q paraméter

28 Becslések tulajdonságai
egy n elemű mintából származó becslés, amely valószínűségi változó, mintáról mintára más-más értéket vehet fel. Torzítatlan becslés: Torzítás: Aszimptotikusan torzítatlan becslés: A becslés varianciája a becslés hatásosságának a mértéke.

29 Példaként vizsgáljuk meg, hogy
a, a számtani átlag b, az n-edik mért érték Milyen becslése a várható értéknek. a, A becslés várható értéke: torzítatlan A becslés varianciája:

30 b, A becslés várható értéke: torzítatlan A becslés varianciája: Az a becslés hatékonyabb a b-nél.

31 A sokaság eloszlásának egy paraméterét becsülhetjük:
1. Pontbecslés: egyetlen számértékkel 2. Intervallumbecslés: egy intervallummal, mely nagy valószínűséggel tartalmazza paramétert: konfidencia intervallum Pl. a várható értékre egy (L, U) intervallum: ez 100(1-a)%-os megbízhatósági v. konfidencia intervallum. (pl. a=0.05; 95%-os konfidencia intervallum) A megbízhatósági intervallum lehet kétoldali vagy egyoldali.

32 A pontbecslés módszerei:
1. Legkisebb négyzetek módszere Pl. várható érték becslése esetén a mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét minimalizálja. 2. Maximum-likelihood módszer Azt a sűrűségfüggvényt, illetve paramétereit fogadjuk el becslésként, amelyből legnagyobb valószínűséggel kapnánk a ténylegesen mért adatokat.

33 Intervallumbecslés: a sokaság varianciája ismert

34 Intervallumbecslés: a sokaság varianciája ismeretlen

35 Példák intervallumbecslésre
ld példa 1-5. példa Egy alkatrészsorozat tömege eloszlásának varianciája s2=0.01 g2. Az eloszlás normális. Adjunk 95%-os kétoldali konfidenciaintervallumot az eloszlás várható értékére négy darab alapján, amelyekre a mérések átlaga 50 g. 1-6. példa 11 vizsgálatot végezve egy reaktoron a következő konverzió adatokat kaptuk: 32; 55; 58; 59; 59; 60; 63; 63; 63; 63; 67. Adjunk 95%-os konfidenciaintervallumot a konverzió várható értékére. ( = 58.36; s = 9.33)

36 Példák intervallumbecslésre
1-7. példa Egy folyadék forráspontjára a következő értékeket kaptuk 6 minta mérése alapján: , 101.7, 103.1, 100.9, és102.2°C. A mérések átlaga: °C. Ha a módszer szórása ismert, 1.2 °C, mi a várható érték konfidencia intervalluma 95%-os konfidenciaszinten? 1-8. példa Egy folyadék forráspontjára a következő értékeket kaptuk 6 minta mérése alapján: , 101.7, 103.1, 100.9, és102.2°C. A mérések átlaga: °C. Mi a várható érték konfidencia intervalluma 95%-os konfidenciaszinten?

37 Example 1-4. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

38

39 Example 1-5. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=95

40 Example 1-6. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96

41 Example 1-7. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=95

42 Example 1-8. http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=96