Kontinuum modellek 3.  Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásának alapjai  Bevezetés  Peremérték-probléma  Kezdetiérték-probléma

Bevezetés A parciális differenciálegyenletek (PDE) numerikus megoldása egy igen széles terület.  A PDE-k a számítógépes analízisek vagy szimulációk középpontjában állnak. A legtöbb probléma matematikai megfogalmazása PDE-khez vezet.  Tipikusan kontinuumok fizikai viselkedésének leírására használatosak folyadékok szilárdtestek (amikor kontinuumnak tekinthető, pl. az amorf gyakran) elektromágneses tér emberi test stb. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 2

Bevezetés Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 3

Bevezetés Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 4

Bevezetés Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 5

Bevezetés A PDE-k ilyen kategorizálásának nem igazán van jelentősége numerikus számítási szempontból.  Legalábbis más szempontoknál mindenképpen kevésbé fontos Fontosabb kategorizálás  kezdetiérték-probléma; pl.: hullámegyenlet diffúziós egyenlet  peremérték-probléma; pl.: Poisson egyenlet Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 6

Bevezetés Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 7

Bevezetés Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 8

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 9

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 10

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 11 x t

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 12

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 13

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 14

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 15

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 16

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 17

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 18

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 19

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 20

Kezdetiérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 21

Kezdetiérték-probléma Az időfüggő Schrödinger egyenlet is lényegében egy parabolikus PDE  az előzőekhez hasonlóan oldható meg (nem részletezzük)  megjegyzés: napjainkban az anyagtudomány is elérte a kvantummechanika által kezelt kicsiny idő- és méretskálát Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 22

Peremérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 23 x y

Peremérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 24

Peremérték-probléma Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 25

PDE egyéb megoldása A véges differencia módszereken kívül léteznek más technikák is a PDE-k megoldására  végeselem  véges térfogat  Monte Carlo  variációs  stb. Ezek meghaladják a kurzus anyagát  A véges térfogat módszer egy egyszerű változatával a következő előadáson találkozunk. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 26