Becsléselmélet - gyakorlat október 14.

Példa 1 - Feladatgyűjtemény Egy nagyvállalat személyzeti osztályvezetője azt gyanítja, hogy különbség van a szellemi és a fizikai dolgozók betegség miatti hiányzása között. A gyanú kivizsgálására véletlenszerűen kiválasztott 45 fizikai és 38 szellemi foglalkozású dolgozót és megvizsgálta az elmúlt egy évben mennyit hiányoztak betegség miatt. A kapott eredményeket az alábbi táblázat mutatja. 90%-os megbízhatósági szinten becsüljük meg a betegség miatti hiányzás várható értékei közötti eltérést! Megoldás: két várható érték különbségének becslése ismeretlen elméleti szórás esetén, de mivel a mintaelemszám mindkét mintában elég nagy (n>30), így a standard normális eloszlás táblázatot használjuk. Kvantitatív módszerek FizikaiSzellemi Mintaszám4538 Átlag10,47,8 Szórás12,85,5

Példa 1 - Megoldás  A konfidencia-intervallum:   = 10 %  z  /2 = z 0,95 =1,65 (=Ф(z)) (standard normális eloszlás táblázatból)  Behelyettesítve: Kvantitatív módszerek FizikaiSzellemi Mintaszám4538 Átlag10,47,8 Szórás12,85,5 -0,876 <  d < 6,076 A hiányzások várható értékei közötti eltérés 90%-os valószínűséggel -0,876 nap és 6,076 nap között van.

Példa 2 - Feladatgyűjtemény Egy új fogászati érzéstelenítő kipróbálására egy rendelőben véletlenszerűen kiválasztottak 10 pácienst. 5 páciens a hagyományos, 5 pedig az újfajta érzéstelenítőt kapta. Kezelés közben megkérték a pácienseket, hogy egy 0-tól 100-ig terjedő skálán értékeljék, hogy mennyire érzik kellemetlennek a kezelést. (A magasabb érték nagyobb kellemetlenséget mutat.) Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Becsüljük meg a páciensek két csoportja közötti kellemetlenségi szint várható értékei különbségét 99%-os megbízhatósági szinten! (A kellemetlenségi szint normális eloszlással írható le, mindkét csoportban.) Kvantitatív módszerek HagyományosÚj Mintaszám55 Átlag60,3332,21 Szórás15,8212,77

Példa 2 - Megoldás  Megoldás: két várható érték különbségének becslése ismeretlen elméleti szórás esetén.  Feltétel: az alapsokaság normalitása és a szórások egyezősége  Végezzük el az F-próbát! Kvantitatív módszerek HagyományosÚj Mintaszám55 Átlag60,3332,21 Szórás15,8212,77 F krit (DF 1 =4; DF 2 =4) = 16 Az alapsokasági szórások egyezőségét elfogadjuk 1%-os szignifikancia szinten.

Példa 2- Megoldás  A konfidencia-intervallum:   = 1 %, DF = n 1 +n 2 -2 = 8  t 0,995 = 3,355 (a Student eloszlás táblázatából) Kvantitatív módszerek HagyományosÚj Mintaszám55 Átlag60,3332,21 Szórás15,8212,77 Az ismeretlen sokasági szórásnégyzet torzítatlan becslőfüggvénye A két érzéstelenítő hatása közötti különbség várható értéke 99%- os valószínűséggel -2,38 és 58,62 pont között van.

Példa 3 - Feladatgyűjtemény Egy tv műsort néző 400 felnőttből és 600 fiatalból álló mintából az derült ki, hogy 100 felnőttnek és 300 fiatalnak tetszett a műsor. Becsüljük meg 95%-os szinten azon felnőtt és fiatal nézők arányának különbségét, akiknek tetszett a műsor! Megoldás: két sokasági arány különbségének becslése Kvantitatív módszerek

Példa 3 - Megoldás   = 5 %  z  /2 = z 0,975=1,96 (a standard normális eloszlás táblázatból)  1-es index: a fiatalok  p 1 = 300/600 = 1/2, q 1 = 1/2, n 1 = 600  2-es index: felnőttek  p 2 = 100/400 = 1/4, q 2 = 3/4, n 2 = 400 Kvantitatív módszerek 0,192 < P 1 -P 2 < 0,308 Az adott tv műsor tetszési arányának fiatalok és felnőttek közötti különbsége 19,2% és 30,8% között van 95%-os valószínűséggel. Azaz nagy valószínűséggel állíthatjuk, hogy a fiataloknak jobban tetszett a műsor, mint a felnőtteknek.

Példa 4 - Feladatgyűjtemény Egy urnában ismeretlen arányban piros és fehér golyók vannak. Az urnából 60 elemű véletlen visszatevéses mintát véve, a golyók 70%-a bizonyult pirosnak. Határozzuk meg a piros golyók tényleges arányának 95 és 99%-os konfidencia intervallumát! Mekkora mintát kellene vennünk, hogy 95, ill. 99%-osan biztosak lehessünk abban, hogy a tényleges arány nem tér el több mint 5%-al a mintabeli aránytól? Megoldás: sokasági arány becslése, illetve mintaszám meghatározása Kvantitatív módszerek

Példa 4 - Megoldás  A sokasági arány becslése  p = 0,7   = 5 %  z  /2 = z 0,975 = 1,96   = 1 %  z  /2 = z 0,995 = 2,58 Kvantitatív módszerek 0,584 < P < 0,816 0,547 < P < 0,853 A piros golyók aránya 58,4% és 81,6% között van 95% valószínűséggel. A piros golyók aránya 54,7% és 85,3% között van 99% valószínűséggel.

Példa 4 - Megoldás   = 0,05  p = 0,7   = 0,95  z 0,975 = 1,96   = 0,99  z 0,995 = 2,58 Kvantitatív módszerek Az elemszám 323 db kell, hogy legyen, ahhoz, hogy a tényleges arány ne térjen el több, mint 5%-kal a mintabeli aránytól. Az elemszám 560 db kell, hogy legyen, ahhoz, hogy a tényleges arány ne térjen el több, mint 5%-kal a mintabeli aránytól.

Példa 5 - Feladatgyűjtemény Egy speciális diéta hatásosságát vizsgálják. Ehhez minden vizsgálati személy testsúlyát megmérték a diéta előtt és után. A hipotetikus kísérlet eredménye 9 kísérleti személyen a következő táblázatban látható: Becsüljük meg 90%-os megbízhatósággal a diéta előtti és utáni testsúly várható értékeinek különbségét! Kvantitatív módszerek A vizsgált személy sorszáma Testsúly a diéta előttTestsúly a diéta után

Példa 5 - Megoldás  Megoldás: várható értékek különbségeinek becslése páros minta esetén Kvantitatív módszerek A vizsgált személy sorszáma Testsúly a diéta előtt Testsúly a diéta után didi

Példa 5 - Megoldás  A keresett konfidencia-intervallum tehát: Kvantitatív módszerek A diéta megkezdése előtti és utáni várható testsúlyok különbsége 90%-os megbízhatósággal 2,69 kg és 6,43 kg között lesz.

Példa 6 - Feladatgyűjtemény Egy közvélemény-kutató 1000 elemű, állítása szerint az ország teljes felnőtt lakosságát reprezentáló FAE mintákkal dolgozik. Két – időben egymást két hónappal követő – közvélemény-kutatás eredménye szerint az egyik politikust a lakosság 62, illetve 68%-a tartotta rokonszenvesnek. 99%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a rokonszenvüket kifejezők arányának különbségére! Ha felére kívánjuk csökkenteni a becslés hibáját, akkor mekkora mintát kellene vennünk? Megoldás: két sokasági arány különbségének a becslése, mintaelemszám meghatározása Kvantitatív módszerek

Példa 6 - Megoldás  A mintákat akkor tekinthetjük kellően nagynak, ha az alábbi konfidencia-intervallumok nem tartalmazzák sem a 0-t, sem az 1- et.  α=1%, α/2=0,5%=0,005 Kvantitatív módszerek

Példa 6 - Megoldás  A keresett intervallum: Kvantitatív módszerek Vagyis a két sokasági arány (rokonszenv mértéke) közötti különbség 99%-os megbízhatósággal 5% és 11,5% között van.

Példa 6 - Megoldás  Mintaelemszám meghatározása:  A Δ értéke 0,055, ha ezt felére kívánjuk csökkenteni, akkor az 0,0275.  Így közel 3989 elemű mintát kellene vennünk mindkét időszakban. Kvantitatív módszerek

Példa 7 - Feladatgyűjtemény Egy élelmiszergyárban – többek között – 1kg-os darabos gyümölcskonzerveket csomagolnak automata töltőgéppel. Korábbi felmérések szerint a töltősúly normális eloszlása feltételezhető. A napi termelés ellenőrzésére az első műszakban vettek egy 100 elemű FAE mintát, amelynek töltősúly szerinti megoszlása: Egy másik műszakban vettek egy 200 elemű mintát, ahol az átlagos töltősúly 1002,5 grammra adódott, a minta alapján számolt szórás 7,6 grammra adódott. Kvantitatív módszerek Doboz töltősúlya (g)Darab Összesen100

Példa 7  95%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a két műszak várható töltősúlyainak különbségére!  Mekkora mintára van szükség, ha az előző becslés pontosságát 99%-os megbízhatósági szinten kívánjuk garantálni?  A második műszakban az 1000 gramm feletti töltések aránya 52%-os. Készítsünk 95%-os megbízhatósággal becslést a két műszak 1000 gramm feletti töltései arányának különbségére!  Mekkora mintára van szükségünk ha az előző becslésnél a hibát harmadára kívánjuk csökkenteni? Kvantitatív módszerek

Példa 7 - Megoldás  95%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a két műszak várható töltősúlyainak különbségére!  A sokasági szórások nem ismertek, de mindkét műszakban a minta elemszáma > 30, így használhatjuk az alábbi képletet: Kvantitatív módszerek Doboz töltősúlya (g)Darab Összesen100

Példa 7 - Megoldás A két műszakban töltött konzervek várható töltősúlya között különbség - 0,409gramm és 3,609 gramm között van 95%-os megbízhatósággal a minták alapján. Kvantitatív módszerek Mekkora mintára van szükség, ha az előző becslés pontosságát 99%-os megbízhatósági szinten kívánjuk garantálni? 221 elemű mintára lenne szükség mindkét műszakból.

Példa 7 - Megoldás A második műszakban az 1000 gramm feletti töltések aránya 52%-os. Készítsünk 95%-os megbízhatósággal becslést a két műszak 1000 gramm feletti töltései arányának különbségére! Kvantitatív módszerek Doboz töltősúlya (g)Darab Összesen100

Példa 7 - Megoldás  α=5%, α/2=2,5%=0,025 Kvantitatív módszerek A minták alapján a két műszakban az 1000 gramm felett töltött konzervek arányának különbsége 7,73% és 30,27% között van. Mekkora mintára van szükségünk, ha az előző becslésnél a hibát harmadára kívánjuk csökkenteni? Δ új =0, Közel 1240 elemű mintára lenne szükség mindkét műszakból.

Példa 8 - Feladatgyűjtemény 7 alkalmazás indításának időszükségletét hasonlították össze egy felső és egy középkategóriás okostelefonon. Az eredmények az alábbi táblázatban láthatóak: Adjon 95%-os konfidencia-intervallumot a két okostelefonon az alkalmazások megnyitásához szükséges idők közötti különbségre! (Tegye fel, hogy az eloszlások normálisak!) Megoldás: két várható érték különbségének becslése – páros minta Kvantitatív módszerek Az alkalmazás indításához szükséges idő [s] AlkalmazásKözépkategóriás telefonFelsőkategóriás telefon 1.5,64,5 2.12,310,4 3.20,623,4 4.11, , ,327,5 7.4,23

Példa 8 - Megoldás Kvantitatív módszerek Az alkalmazás indításához szükséges idő [s]didi AlkalmazásKözépkategóriás telefon Felsőkategóriás telefon 1.5,64,51,1 2.12,310,41,9 3.20,623,4-2,8 4.11,4101,4 5.13,4121,4 6.24,327,5-3,2 7.4,231,2 Átlag13,11412,971

Példa 8 - Megoldás  DF=6 t α/2 =2,447 Kvantitatív módszerek 95%-os megbízhatósággal a két típusú okostelefonon az alkalmazások megnyitásához szükséges várható idők közötti különbség -1,768 és 2,054 sec között van.

Példa 9 - Feladatgyűjtemény Két autósiskolában vizsgálták, hogy a tanulók hány gyakorlati óra után tesznek sikeres vizsgát. Az adatokat a következő tábla mutatja: Feltételezve a mintavételi eloszlás normalitását, adjon 95%-os becslést az autósiskolákban a sikeres vizsga letételéhez szükséges gyakorlati órák számának különbségére! Megoldás: két sokaság várható értékének különbségére vonatkozó becslés, nem ismertek az alapsokasági szórások, csak a minta korrigált tapasztalati szórása. Feltétel: az alapsokasági szórások egyezősége (F-próba) Kvantitatív módszerek Aladár iskolájaBalázs iskolája Mintaszám4462 Átlagos óraszám2824 Korrigált tapasztalati szórás 6,25,4

Példa 9 - Megoldás  A nullhipotézist elfogadjuk, feltételezhető az alapsokasági szórások egyezése.  Az ismeretlen sokasági szórásnégyzet kombinált becslése: Kvantitatív módszerek

Példa 9 - Megoldás Kvantitatív módszerek 95%-os megbízhatósággal az Aladár iskolájában tanulók óraszáma várhatóan 1,758-6,242 órával több, mint a Balázs iskolájában tanulók óraszáma